数学竞赛数论

1. 数学竞赛 数论

答案是肯定的
c是多余的，只需考虑a+根号b，a、b是整数的情况，因为即使有c，将二项式展开还是a+根号b的形式
问题即转化为是否存在整数b，使根号b的小数部分是0.1016？
实际上根号b的小数部分可以接近任意给定的值（处处稠密的），因为如果b取的充分大，根号(b+1)-根号b=1/(根号(b+1)+根号b)可以取到任意小的值，也就是根号b，根号(b+1)，根号(b+2)...可以以非常小的步幅增大。于是可以考虑对于充分大的t，根号(t^2+1)、根号(t^2+2)、根号(t^2+3)...，一定会有一个小数部分是给定值。

思路都有了，严格证明楼主自己补一下吧。毕竟是学竞赛的

2. 高中数学竞赛数论

(b,p)=1
p|(a-b)
所以(a,p)=1
且有x, (x,p)=1使bx=M*p^k+1
p^k||(a-b)
所以p^k||(a-b)x=ax-bx=ax-M*p^k-1
p^k|ax-1令ax=N*p^k+1, 显然p不|(N-M)
x^n(a^n-b^n)=(ax)^n-(bx)^n=(Np^k+1)^n-(Mp^k+1)^n
=..............[Cni(N^i-M^i)p^(ik)]......................i=1~n
分析每项中p的指数最小值，应该就是i＝1时Cn1(N-M)p^k, 显然p^(k+l)||Cn1(N-M)p^k
下面只需要证明i>1的每项中p的指数大于l+k
i>1时Cni(N^i-M^i)p^(ik)中Cni=n!/i!(n-i)!,
设n!中p的指数为A，i!中为B, (n-i)!中为C则
A＝求和{[n/p^j] j=1~max}
B＝求和{[i/p^j] j=1~max}
C＝求和{[(n-i)/p^j] j=1~max}
显然各求和的分项无条件地有：A分项》＝B分项+C分项。
如果 (i,p)=1时
当j=1~l,[n/p^j]=[i/p^j]+[(n-i)/p^j] +1-----------整数被拆分为两个非整数，整数部分减少1
则A-B-C>＝lp^(l+k)<p^(l+ik)|Cni(N^i-M^i)p^(ik)
如果i=Q*p^r r<l, 则n-i=R*p^r (Q,p)=(R,p)=1
j<=r时，A分项＝B分项+C分项
l>=j>r, [n/p^j]=[i/p^j]+[(n-i)/p^j] +1
所以p^(l-r)*p^(ik)|Cni(N^i-M^i)p^(ik)
p^(l+k-k-r+ik)=p^(l+k)*p^(ik-k-r)
ik-k-r=Q*p^r *k -k -r=k(Qp^r-1)-r > k[Q(rp-1)-1]-r >= k[2Qr-1]-r >=kQr-r >=0

如果i=Q*p^r r>=l 显然r<i 则p^(l+k)<=p^(r+k)<p^(i+k)<p^(ik)|Cni(N^i-M^i)p^(ik)

3. 数学竞赛题 （数论）

首先证明五边形内部至少有一个整点s
然后任取4个顶点作四边形，有五个可选的四边形，证明它们联合起来覆盖了整个五边形
从而至少有一个四边形包括整点s.

4. 高中数学竞赛学习数论组合要看哪一本

数论部分推荐书目

（1）《初等数论》潘承洞潘承彪

（2）《华章数学译丛·数论概论》约瑟夫H.西尔弗曼

（3）《整数与多项式》冯克勤、余红兵

（4）《初等数论难题集》（共两卷）刘培杰

（5）《数学奥赛辅导丛书（第二辑）·初等数论》王慧兴

（6）《高中数学竞赛课程讲座·初等数论》中等数学编辑部

（7）《高中数学竞赛解题策略·数论分册》杨樟松

（8）《高中数学竞赛专题讲座·初等数论》边红平

（9）《命题人讲座·初等数论》冯志刚

（10）《奥赛经典·奥林匹克数学中的数论问题》沈文选张垚冷岗松

（11）《数学奥赛辅导丛书（第二辑）·不定方程》单墫、余红兵

（12）《基础数论典型题解300例》曾荣、王玉

（13）《数论导引》华罗庚

（14）《算术探索》高斯

组合部分推荐书目

（1）《命题人讲座·组合几何》田廷彦

（2）《命题人讲座·图论》任韩

（3）《命题人讲座·集合与对应》单墫

（4）《命题人讲座·组合问题》刘培杰、张永芹

（5）《数学奥赛辅导丛书（第二辑）·趣味的图论问题》单墫

（6）《高中数学竞赛课程讲座·组合数学》中等数学编辑部

（7）《高中数学竞赛解题策略·组合分册》

（8）中数学竞赛专题讲座·组合构造》冯跃峰

（9）《高中数学竞赛专题讲座·组合问题》王建中

（10）《高中数学竞赛专题讲座·染色与染色方法》王慧兴

（11）《奥赛经典·奥林匹克数学中的组合问题》沈文选张垚冷岗松

（12）《数学奥赛辅导丛书（第二辑）·组合几何》单墫

（13）《数学奥林匹克小丛书·高中卷1、13》刘诗雄等

（14）《中学生数学思维方法丛书》（全套12本）冯跃峰

（15）《数学奥赛辅导丛书（第一辑）·1、13》

（16）数林外传系列大量代数方面的专题科普书籍，其中如巧用抽屉原理等是比较不错的

5. 高中数学竞赛的数论问题

设a为任一整数，则式：
(a+1)(a+2)...(a+n)
=(a+n)!/a!
=n!*[(a+n)!/(a!n!)]
而式中[(a+n)!/(a!n!)]恰为C(a+n,a),也即是从a+n中取出a的组合数，当然为整数。
所以(a+1)(a+2)...(a+n)一定能被n!整除

6. 高中数学竞赛数论范围

一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
二试
1、平面几何
基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。了解下述定理：
在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。
n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
3、立体几何
多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何
直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它
抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。

7. 高中数学竞赛数论做什么书比较好

赞同楼上所答，但那本书过于深入，我认为就竞赛而言，不必主修数论，可选华东师大出的全国数学联赛备考手册

8. 一道数学竞赛题（数论）

解：记这个数集为G。且称2,3,5为小素数。题设条件总结为

S1(存在性): G中大于1的整数必有小素因数.
S2(消去律): G中的整数除去一个小因子仍属于G.
S3(置换律): G中的整数, 将它的1个小素因子置换为其它小素数仍属于G.

先简单说明几条引理

〖引理1〗G中的数不含大于5的素因数。
这是因为G中的任意数按S2除尽其小素因子后必剩下1，否则与S1相矛盾。

〖引理2〗有限集G中的最大数必为5的幂。
最大数若含有因数2或3，则按S3置换为5后变得更大，这与最大数前提相矛盾。

〖引理3〗设最大数为5^n，那么G={g|g=2^x∙3^y∙5^z,x+y+z≤n}
如果x+y+z＞n，那么按置换律将2和3全部换成5后将得到大于5^n的幂。这与5^n为最大数相矛盾.
按消去律和置换律，2^x∙3^y∙5^z,(x+y+z≤n)都是G的元素。

最后，x+y+z≤n的非负整数解数为C(n+2,3)=(n+2)(n+1)n/6,
300<(n+2)(n+1)n/6<400
解得n=12, |G|=C(n+2,3)=364.

9. 求助一个数学竞赛题，数论方面的

设非负整数x，
被17除余1，这个数可以是(17x+1)；
(17x+1)被10除余3，所以(7x)除以10余2，x最小为6，17×6+1=103，10和17最小公倍数170，这个数可以为(170x+103)；
(170x+103)被13除余5，(x+7)被13整除，x最小为6，170×6+103=1123。
这个数最小为1123。