数学排列题目
1. 一道关于数学排列的题目
分以下情况：
1)
两个人都在后排
A12
(2)
-
2A11(1)
//把所有的情况去掉两个人相邻的情况
2)
两个人都在前排
i:
都在左边的4个，
A4(2)
-
2A3(1)
ii：都在右边的
4个，
A4(2)-
2A3(1)
iii:
左右各一个
：
2*A4(1)A4(1)
3)
一个前排，一个后排
2A8(1)A12(1)
然后把所有的情况求和
2. 数学排列题目解答
开场节目和压轴节目已被指定,而三个歌曲联唱必须排在一起,那么应用捆绑法将专3个歌曲捆绑成一个整体属
剩下5个节目,因为两个相声要分开,先不考虑排,就剩下三个节目
这三个节目和三个歌曲捆绑成的整体先进行排列,为P44(由于无法打出来,说明一下一个4在P的下面,还有个4在P的上面,这是
排列组合
的符号)
三个歌曲联唱又可以进行排列为P33(一个3在P的下面,还有个3在上面)
另外两个相声要求分开,总共四个节目有5个空,将两个相声插入这5个空中,就满足分开了,这样排列为C52(一个5在C的下面,还有个2在C的上面)
最后安排的方法数为:P44*P33*C52=24*6*10=1440种
3. 谁能给我一些关于数学排列组合的题目，有用即可
例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 ( ） A．120种 B．96种 C．78种 D．72种
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A44
=24种排
法；2）若甲在第二，三，四位上，则有3*3*3*2*1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。
解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。 二、特殊元素与特殊位置优待法
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。 例2、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）
（A） 280种 （B）240种 （C）180种 （D）96种
分析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作
从剩下的四名志愿者中任选一人有14C种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有35A种不同的选法，所以不同的选派方案共有1
4C35A=240种，选B。
三、插空法、捆绑法
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
例3、7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
分析： 先将其余四人排好有A44=24种排法，再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲
2
乙丙插入，则有
C3
5=10
种方法，这样共有24*10=240种不同排法。
对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元，与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。
例4、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）
（A） 5544AA （B）554433AAA （C）554413AAA （D）
554422AAA 分析：先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，则整体有2
2A种不同的排法，
然后对4幅油画和5幅国画内部进行全排，有5544AA种不同的排法，所以不同的陈列方式有5
54422AAA种，
选D。
一、选择题
1.（2010广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法243
31212ACC；若小张、小赵都入选，则有选法122322AA，共有选法36种，选A.
2.（2010北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）
A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C
.w
【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.
2和4排在末位时，共有1
22A种排法，
其余三位数从余下的四个数中任取三个有3
443224A种排法，
于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有22448（个）.故选C. 3．（2010北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A．324 B．328 C．360 D．648 【答案】B
【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知
识、基本运算的考查
4. （数学）关于组合与排列的题目
含有5个元素的子集：9*8*7*6*5/5! = 126
含有5个元素且0个偶数元素的子集：版一个，就权是{1,3,5,7,9}
含有5个元素且1个偶数元素的子集：有4种选择偶数的方式，5*4*3*2/4! = 5种选择四个奇数的方式，所以总共有4*5 = 20个。
所以含有5个且至少有两个偶数元素的子集有 126 - 1 - 20 = 105个。
5. 数学 排列的题目
(1)百位有7种选择，十位有6种选择，个位有5种
7*6*5=210
（2)由三位偶数，可知个位必须是偶数（2，4,6）有3种选择
百位有6种选择，十位有5种选择
6*5*3=90
（3）能被5整除的三位，可知个位必须是5
百位有6种选择，十位有5种选择
6*5*1=30
(4)百位数字是2的三位奇数,可知个位必须是奇数（1,3,5,7）有4种选择
百位有1种选择，十位有5种选择
1*5*4=20
（5）百位数字是2的三位偶数，可知个位必须是偶数（4,6）有2种选择
百位有1种选择，十位有5种选择
1*5*2=10
希望你能看懂，希望你能明白，望采纳，赞同
6. 数学排列组合题目
7. 数学排列和组合练习题目
第一题，用1，3，5做末位，有3种方法，然后首位有4种选择，答案3*4*4*3*2=288个；第二题，分两类，即0做末位，结果是4*3=12个，若2或4作末位，有2*3*3=18个，所以答案是12+18=30个。
8. 数学排列组合的题目
这个是我之前做的，应该有用吧。
．有3名男生，4名女生，在下列不同的要求下，求不同的排法种数。
（1）全部排成一排；
（2）全部排成一排，其中甲只排在中间或两头；
（3）全部排成一排，甲、乙必须在两头；
（4）全部排成一排，甲不在最左边，乙不在最右边；
（5）全部排成一排，男女生各排在一起；
（6）全部排成一排，男生必须排在一起；
（7）全部排成一排，男女生各不相邻；
（8）全部排成一排，男生不排在一起；
（9）全部排成一排，其中甲乙丙丁四位同学自左向右顺序不变；
（10）全部排成一排，其中甲乙两人中间必须有三个人。
(11)其中甲乙不能相邻，丙丁也不能相邻。
厄，题目太多了。。
1.A77.即（7*6*5*4*3*2*1，下同）
2.甲固定一个位置，相当于把六个人排列，同时甲的位置有三种情况。答案为 3*A66
3.甲乙必须在两头，共有两种情况，然后其余5个人排列。有2*A55种
4.全部排列。共有A77种情况。减去甲、乙不在最左边的情况，在加上重叠的情况，答案为A77-2*A66+A55
5.男女各排在一起。则有两种情况。然后，男生3人排列，女生4人排列，共有2*A33*A44
6.男生必须排在一起。则先把男生排列，有A33种情况。然后3男生看成一个，加到女生的排列。相当于5个人排列。有A55种情况，答案为A33*A55
7.男女生个不相邻，则先把男生3人排列。有A33种情况，再把女生插到4个空位中，有A44种情况。答案为A33*A44
8.男生不排在一起，则先把女生排列。有A44种情况。然后，把3个男生插到5个空位中，有A35种情况。答案为A44*A35
9.甲乙丙丁四人位置固定，则相当于把其他3人插到5个空位当中。答案为 A35
10.先把甲乙位置情况确定，因为两人中间必须有3人，则共有2*3种情况。然后，把其余5个人排列。有A55种情况，所以答案为3*2*A55
11.全部排列共有A77种情况。减去（甲乙相邻可能为 2*A66,丙丁同样有2*A66。）再加上重叠的情况（即甲乙丙丁位置确定时的情况，为2*2*2*A33）.答案为 A77-4*A66+6*A33
9. 高2数学 排列题目
A6,2
6选2做排列，你都知道是排列了，还不敢做？因为两个数一个做分子一个做分母，会有两个，所以是有顺序的，用排列。
10. 数学排列的经典例题
通项都告你了：
h(n)=c(2n,n)/(n+1)
Catalan数h(n)与h(n-1)之间的关系你写不出来？？？
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) 是用生成函数解决的……
生成函数（也有叫做“母函数”的，但是我觉得母函数不太好听）是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。
生成函数最绝妙的是，某些生成函数可以化简为一个很简单的函数。也就是说，不一定每个生成函数都是用一长串多项式来表示的。比如，这个函数f(n)=1 （n当然是属于自然数的），它的生成函数就应该是g(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...（每一项都是一，即使n=0时也有x^0系数为1，所以有常数项）。再仔细一看，这就是一个有无穷多项的等比数列求和嘛。如果-1<x<1，那么g(x)就等于1/(1-x)了。在研究生成函数时，我们都假设级数收敛，因为生成函数的x没有实际意义，我们可以任意取值。于是，我们就说，f(n)=1的生成函数是g(x)=1/(1-x)。
我们举一个例子说明，一些具有实际意义的组合问题也可以用像这样简单的一个函数全部表示出来。
考虑这个问题：从二班选n个MM出来有多少种选法。学过简单的排列与组合的同学都知道，答案就是C(4,n)。也就是说。从n=0开始，问题的答案分别是1,4,6,4,1,0,0,0,...（从4个MM中选出4个以上的人来方案数当然为0喽）。那么它的生成函数g(x)就应该是g(x)=1+4x+6x^2+4x^3+x^4。这不就是……二项式展开吗？于是，g(x)=(1+x)^4。
你或许应该知道，(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k；但你或许不知道，即使k为负数和小数的时候，也有类似的结论：(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k+C(k,k+1)x^(k+1)+C(k,k+2)x^(k+2)+...（一直加到无穷；式子看着很别扭，自己写到草稿纸上吧，毕竟这里输入数学式子很麻烦）。其中，广义的组合数C(k,i)就等于k(k-1)(k-2)(k-i+1)/i!，比如C(4,6)=4*3*2*1*0*(-1)/6!=0，再比如C(-1.4,2)=(-1.4)*(-2.4)/2!=1.68。后面这个就叫做牛顿二项式定理。当k为整数时，所有i>k时的C(k,i)中分子都要“越过”0这一项，因此后面C(k,k+1),C(k,k+2)之类的都为0了，与我们的经典二项式定理结论相同；不同的是，牛顿二项式定理中的指数k可以是任意实数。
我们再举一个例子说明一些更复杂的生成函数。n=x1+x2+x3+...+xk有多少个非负整数解？这道题是学排列与组合的经典例题了。把每组解的每个数都加1，就变成n+k=x1+x2+x3+...+xk的正整数解的个数了。教材上或许会出现这么一个难听的名字叫“隔板法”：把n+k个东西排成一排，在n+k-1个空格中插入k-1个“隔板”。答案我们总是知道的，就是C(n+k-1,k-1)。它就等于C(n+k-1,n)。它关于n的生成函数是g(x)=1/(1-x)^k。这个生成函数是怎么来的呢？其实，它就是(1-x)的-k次方。把(1-x)^(-k)按照刚才的牛顿二项式展开，我们就得到了x^n的系数恰好是C(n+k-1,n)，因为C(-k,n)*(-x)^n=[(-1)^n*C(n+k-1,n)]*[(-1)^n*x^n]=C(n+k-1,n)x^n。这里看晕了不要紧，后文有另一种方法可以推导出一模一样的公式。事实上，我们有一个纯组合数学的更简单的解释方法。因为我们刚才的几何级数1+x+x^2+x^3+x^4+...=1/(1-x)，那么(1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k就等于1/(1-x)^k。仔细想想k个(1+x+x^2+x^3+x^4+...)相乘是什么意思。(1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k的展开式中，n次项的系数就是我们的答案，因为它的这个系数是由原式完全展开后k个指数加起来恰好等于n的项合并起来得到的。
现在我们引用《组合数学》上暴经典的一个例题。很多书上都会有这类题。
我们要从苹果、香蕉、橘子和梨中拿一些水果出来，要求苹果只能拿偶数个，香蕉的个数要是5的倍数，橘子最多拿4个，梨要么不拿，要么只能拿一个。问按这样的要求拿n个水果的方案数。
结合刚才的k个(1+x+x^2+x^3+x^4+...)相乘，我们也可以算出这个问题的生成函数。
引用内容
g(x)=(1+x^2+x^4+...)(1+x^5+x^10+..)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x)
=[1/(1-x^2)]*[1/(1-x^5)]*[(1-x^5)/(1-x)]*(1+x) （前两个分别是公比为2和5的几何级数，
第三个嘛，(1+x+x^2+x^3+x^4)*(1-x)不就是1-x^5了吗）
=1/(1-x)^2 （约分，把一大半都约掉了）
=(1-x)^(-2)=C(1,0)+C(2,1)x+C(3,2)x^2+C(4,3)x^3... （参见刚才对1/(1-x)^k的展开）
=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....
于是，拿n个水果有n+1种方法。我们利用生成函数，完全使用代数手段得到了答案！
如果你对1/(1-x)^k的展开还不熟悉，我们这里再介绍一个更加简单和精妙的手段来解释1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....。
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...是前面说过的。我们对这个式子等号两边同时求导数。于是，1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....。一步就得到了我们所需要的东西！不断地再求导数，我们同样可以得到刚才用复杂的牛顿二项式定理得到的那个结论（自己试试吧）。生成函数还有很多其它的处理手段，比如等式两边同时乘以、除以常数（相当于等式右边每一项乘以、除以常数），等式两边同时乘以、除以一个x（相当于等式右边的系数“移一位”），以及求微分积分等。神奇的生成函数啊。
我们用两种方法得到了这样一个公式：1/(1-x)^n=1+C(n,1)x^1+C(n+1,2)x^2+C(n+2,3)x^3+...+C(n+k-1,k)x^k+...。这个公式非常有用，是把一个生成函数还原为数列的武器。而且还是核武器。
接下来我们要演示如何使用生成函数求出Fibonacci数列的通项公式。
Fibonacci数列是这样一个递推数列：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。现在我们需要求出它的生成函数g(x)。g(x)应该是一个这样的函数：
g(x)=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+...
等式两边同时乘以x，我们得到：
x*g(x)=x^2+x^3+2x^4+3x^5+5x^6+8x^7+...
就像我们前面说过的一样，这相当于等式右边的所有系数向右移动了一位。
现在我们把前面的式子和后面的式子相加，我们得到：
g(x)+x*g(x)=x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+...
把这最后一个式子和第一个式子好好对比一下。如果第一个式子的系数往左边移动一位，然后把多余的“1”去掉，就变成了最后一个式子了。由于递推函数的性质，我们神奇地得到了：g(x)+x*g(x)=g(x)/x-1。也就是说，g(x)*x^2+g(x)*x-g(x)=-x。把左边的g(x)提出来，我们有：g(x)(x^2+x-1)=-x。于是，我们得到了g(x)=x/(1-x-x^2)。
现在的任务是要把x/(1-x-x^2)还原成通项公式。这不是我们刚才的1/(1-x)^n的形式，我们要把它变成这种形式。我们发现，1-x-x^2=[1-(1-√5)x/2]*[1-(1+√5)x/2] （(1-√5)/2和(1+√5)/2是怎么算出来的？显然它们应该是x^2-x-1=0的两个根）。那么x/(1-x-x^2)一定能表示成?/[1-(1-√5)x/2]+?/[1-(1+√5)x/2]的形式（再次抱歉，输入数学公式很麻烦，将就看吧）。这是一定可以的，因为适当的?的取值可以让两个分式通分以后分子加起来恰好为一个x。?取值应该是多少呢？假设前面一个?是c1，后面那个是c2，那么通分以后分子为c1*[1-(1+√5)x/2]+c2*[1-(1-√5)x/2]，它恰好等于x。我们得到这样两个式子：常数项c1+c2=0，以及一次项-c1*(1+√5)/2-c2*(1-√5)/2=1。这两个式子足够我们解出c1和c2的准确值。你就不用解了，我用的Mathematica 5.0。解出来c1=-1/√5，c2=1/√5。你不信的话你去解吧。现在，我们把x/(1-x-x^2)变成了-(1/√5)/[1-(1-√5)x/2] + (1/√5)/[1-(1+√5)x/2]。我们已经知道了1/[1-(1-√5)x/2]的背后是以(1-√5)/2为公比的等比数列，1/[1-(1+√5)x/2]所表示的数列公比为(1+√5)/2。那么，各乘以一个常数，再相加，我们就得到了Fibonacci数列的通项公式：f(n)=-(1/√5)*[(1-√5)/2]^n + (1/√5)*[(1+√5)/2]^n。或许你会问，这么复杂的式子啊，还有根号，Fibonacci数列不都是整数吗？神奇的是，这个充满根号的式子对于任何一个自然数n得到的都是整数。熟悉用特征方程解线性递推方程的同学应该知道，以上过程实质上和找特征根求解没有区别。事实上，用上面所说的方法，我们可以求出任何一个线性齐次递推方程的通项公式。什么叫做线性齐次递推呢？就是这样的递推方程：f(n)等于多少个f(n-1)加上多少个f(n-2)加上多少个f(n-3)等等。Fibonacci数列的递推关系就是线性齐次递推关系。
我们最后看一个例子。我们介绍硬币兑换问题：我有1分、2分和5分面值的硬币。请问凑出n分钱有多少种方法。想一下刚才的水果，我们不难得到这个问题的生成函数：g(x)=(1+x+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+...)(1+x^5+x^10+..)=1/[(1-x)(1-x^2)(1-x^5)]。现在，我们需要把它变成通项公式。我们的步骤同刚才的步骤完全相同。我们把(1-x)(1-x^2)(1-x^5)展开，得到1-x-x^2+x^3-x^5+x^6+x^7-x^8。我们求出-1+x+x^2-x^3+x^5-x^6-x^7+x^8=0的解，得到了以下8个解：-1,1,1,1,-(-1)^(1/5),(-1)^(2/5),-(-1)^(3/5),(-1)^(4/5)。这个不是我解出来的，我还是用的Mathematica 5.0。不是我不想解，而是我根本不会解这个8次方程。这也是为什么信息学会涉及这些东西的原因：次数稍微一高，只好交给计算机解决了。于是，(1-x)(1-x^2)(1-x^5)=(1+x)(1-x)^3(1+(-1)^(1/5) x)()()() （省略不写了）。注意那个(1-x)^3。由于等根的出现，我们不得不把(1-x)^3所包含的(1-x)和(1-x)^2因子写进一会儿的分母里，不然会导致解不出合适的c来。你可以看到很多虚数。不过没关系，这些虚数同样参与运算，就像刚才的根式一样不会影响到最后结果的有理性。然后，我们像刚才一样求出常数满足1/(1-x)(1-x^2)(1-x^5)=c1/()+c2/(1-x)+c3/(1-x)^2+c4/(1-x)^3...+c8/()。这个解太复杂了，我用Mathematica解了几分钟，打印出了起码几十KB的式子。虽然复杂，但我确实是得到了通项公式。你有兴趣的话可以尝试用Mathematica解决一下1/[(1-x)(1-x^3)] （只有1分和3分的硬币）。解c的值时可以用SolveAlways[]函数。你可以亲眼见到，一个四五行的充满虚数的式子最后总是得到正确的整数答案。
生成函数还有很多东西，推导Catalan数列啊，指数生成函数啊，之类的。我有空再说吧，已经5000多个字了。
huyichen一直在问那道题。很显然，那道题目和上面的兑换硬币有些联系。事实上，很多与它类似的题目都和生成函数有关。但那个题却没有什么可以利用生成函数的地方（或许我没想到吧）。或许每个max的值有什么方法用生成函数解出来，但整个题目是不大可能用生成函数解决的。
近来有个帖子问一道“DP天牛”题目的。那个题目也是这样，很多与它类似的题目都和DP有关，但那道题却不大可能动规。我总觉得它可以归约到装箱问题（考虑体积关系，最少要几个箱子才能把物品放完），而后者貌似属于NPC。或许我错了吧，现在没事就在研究理论的东西，很久没有想过OI题了，这方面的能力已经开始退化了。