2009高中數學聯賽
A. 2009年全國高中數學聯賽江蘇賽區復賽試題
直接從網路上搜 有詳細解答
2009年全國高中數學聯賽江蘇賽區復賽試題
第一試
一、填空題（本題滿分56分，每小題8分）
1. 已知數列 的前 項和 ，則 ．
2. 若集合 為空集，則實數 的取值范圍是 ．
3. 設 、 為實數， ，則二元函數 的最小值是 ．
4. 設 、 分別是雙曲線 的左、右焦點，以 為直徑的圓交雙曲線左支於 、 兩點，且 . 雙曲線的離心率的值介於整數 與 之間，則 ．
5. 已知長方體 的體積為 ，則四面體 與四面體 的重疊部分的體積等於 ．
6. 設 表示不大於 的最大整數，則 ．
7. 設方程 的根都是正數，且 ，則
的最大值是 ．
8. 的方格棋盤的一條對角線穿過 個棋盤格．
二、 解答題（本題滿分14分）
求函數 的值域．
三、解答題（本題滿分15分）
如圖，拋物線 及點 ，過點 的不重合的直線 、 與此拋物線分別交於點 ，
， ， ．證明： ， ， ， 四點共圓的充要條件是直線 與 的傾斜角互補．
四、解答題（本題滿分15分）
設 ， 是正數，且 ， ，求證： ．
2009年全國高中數學聯賽江蘇賽區復賽加試試題
一、（本題滿分50分）
如圖，在△ 中， ‖ ，△ 的內切圓與 切於點 ，△ 的 邊上的旁切圓切 於點 ，點 是 與 的交點，求證 、 、 三點共線.
二、（本題滿分50分）
設 ， 為給定的整數， . 對任意 元的數集 ，作 的所有 元子集的元素和，記這些和組成的集合為 ，集合 中元素個數是 ，求 的最大值.
三、（本題滿分50分）
設 ， 是互不相同的正整數，求證：
.
四、（本題滿分50分）
求滿足下列條件的所有正整數 ， ：（1） 與 互素； （2） .
B. 2009年全國高中數學聯賽分A、B卷嗎
分，叫1試和2試
2009年總分300分 一試100分二式200分
與08年不同進行了改革
二式有4個大題
09年分別是平面幾何 數列 數論 組合數學
希望對你有幫助
不是，二式只有4個題 沒有A B卷
C. 2008,2009,2010年全國高中數學聯賽河南省一等獎分數線是多少
2008全國高中數學聯賽一等獎分數線
河南 206
2009年全國高中數學聯賽一等獎分數線
171
D. 請問2009高中數學聯賽（河南賽區）獲獎名單
M084501 陳天珩 男 高二 鄭州一中 M084502 李冰女 高三 鄭州市外國語學校 M084503 韓欣彤 男 高三 鄭州一中 M084504 許禕男 高三 河南省實驗中學 M084505 劉彥麟 男 高三 河南省實驗中學 M084506 謝瑜男 高三 河南省實驗中學 M084507 陳楷男 高三 鄭州市外國語學校 M084508 連顏博 男 高三 河南省實驗中學 M084509 鄧德重 男 高三 河南省實驗中學 M084510 謝鵬宇 男 高三 河南省實驗中學 M084511 馬超男 高三 開封高中 M084512 李和意 男 高三 洛陽一高 M084513 鈕紹基 男 高三 鄭州一中 M084514 胡越男 高三 河南師大附中 M084515 高瞻男 高三 開封高中 M084516 王小毅 男 高三 河南省實驗中學 M084517 宋燚男 高三 河南省實驗中學 M084518 孫慧媛 女 高三 河南省實驗中學 M084519 柴榮東 男 高三 鄭州市外國語學校 M084520 任兵男 高三 河南師大附中 M084521 常得量 男 高三 河南省實驗中學 M084522 張索迪 女 高三 鄭州市外國語學校 M084523 崔漢琦 男 高三 鄭州一中 M084524 呂慧潔 女 高三 河南省實驗中學 M084525 方舟女 高三 河南大學附中 M084526 李偉男 高三 開封高中 M084527 李偉康 男 高三 河南省實驗中學 M084528 李瀚男 高三 河南省實驗中學 M084529 楊曉東 男 高三 鄭州市外國語學校 M084530 郭雨嘉 女 高三 河南省實驗中學 M084531 彭思怡 女 高三 鄭州一中 M084532 楊秦枝 女 高三 鄭州一中 M084533 邱宜欣 女 高三 鄭州一中 M084534 馬驍堯 男 高三 鄭州一中 M084535 劉暢男 高三 鄭州一中 M084536 陳天然 男 高三 鄭州市外國語學校 M084537 馬思遠 男 高三 鄭州一中 M084538 常豐祺 男 高三 河南師大附中 M084539 周嘉歡 男 高三 鄭州一中 M084540 胡淼然 男 高三 河南省實驗中學 M084541 段希蕾 女 高三 河南省實驗中學 M084542 方欣女 高三 河南省實驗中學 M084543 杜嘉茗 女 高三 新密人大附中 M084544 賀源男 高三 河南師大附中 M084545 韓菁慧 女 高三 開封高中
E. 09年全國高中數學競賽的時間
2009年10月11日
F. 現將10個參加2009年全國高中數學聯賽決賽的名額分配給某區四個不同的學校，要求一個學校1名、一個學校2名
根據題意，分2步進行，先把10個名額分為1，2，3，4的四組，
因10個名額之間完全相同，將其分為1-2-3-4的四組只有1種情況，
再將4個學校全排列，對應4組，有A44=24種對應方法，
則分配方案的數目有1×24=24種；
故選C．
G. 2009全國高中數學聯賽答案
1. 試求滿足方程 的所有整數對 ．
（張鵬程供題）
解： 設整數對 滿足方程 …（1），將其看作
關於 的一元二次方程，其判別式 的值
應為一完全平方數；
若 ，則 ；
若 ，則 可取 ，相應的 值分別為 和 ，它們皆不為平方數；
因此，僅當 時， 為完全平方數．
若 ，方程（1）化為 ， 解得 或 ；
若 ，方程（1）化為 ，解得 或 ．
綜上可知，滿足原方程的全部整數對為： ．
2. 在凸五邊形 中，已知 ，且
四點共圓．
證明： 四點共圓的充分必要條件是 ．
（熊斌供題）
證明：必要性：若 共圓，則由
，得 ， ，所以 ，故得 ；
充分性：記 所共的圓為 ，若 ，則圓心 在 的中垂線 上，設點 關於 的對稱點為 ，則 在 上，且因 ，即 ，所以 不共點，且 ≌ ，又由 ，知 ≌ ，因此，
≌ ，故由 ，得 共圓，即點 在 上，也即點 在 上，從而 共圓．
3. 設 ， ；
求證： ．
（唐立華供題）
證明：先證 不能構成三角形的三邊．因為
，
．
所以 ( )( )( )
,
於是
( )( )( ) ,
故 ．
4. 在一個圓周上給定十二個紅點；求 的最小值，使得存在以紅點為頂點的 個三角形，滿足：以紅點為端點的每條弦，都是其中某個三角形的一條邊．
（陶平生供題）
解：設紅點集為： ，過點 的弦有 條，而任一個含頂點 的三角形，恰含兩條過點 的弦，故這 條過點 的弦，至少要分布於 個含頂點 的三角形中；
同理知，過點 的弦，也各要分布於 個含頂點 的三角形中，這樣就需要 個三角形，而每個三角形有三個頂點，故都被重復計算了三次，因此至少需要 個三角形．
再說明，下界 可以被取到．不失一般性，考慮周長為 的圓周，其十二等分點為紅點，以紅點為端點的弦共有 條．若某弦所對的劣弧長為 ，就稱該弦的刻度為 ；於是紅端點的弦只有 種刻度，其中，刻度為 的弦各 條，刻度為 的弦共 條；
如果刻度為 （ ）的弦構成三角形的三條邊，則必滿足以下兩條件之一：
或者 ；或者 ；
於是紅點三角形邊長的刻度組 只有如下 種可能：
；
下面是刻度組的一種搭配：取 型各六個， 型四個；這時恰好得到 條弦，且其中含刻度為 的弦各 條，刻度為 的弦共 條；
今構造如下：先作 型的三角形各六個， 型的三角形
三個，再用三個 型的三角形來補充．
型六個：其頂點標號為： ；
型六個：其頂點標號為： ；
型六個：其頂點標號為： ；
型三個：其頂點標號為： ；
型三個：其頂點標號為： ．
（每種情況下的其餘三角形都可由其中一個三角形繞圓心適當旋轉而得）．
這樣共得到 個三角形，且滿足本題條件，因此， 的最小值為 ．
第六屆中國東南地區數學奧林匹克試題解答
第二天
5．設 的所有排列 的集合為 ； ，記
， ；求 ．
（其中 表示集合 的元素個數）．
（熊斌供題）
解：我們一般地證明，若 ，對於前 個正整數 的所有排列 構成的集合 ，若 ， ，
則 ．
下面用數學歸納法證明：
．
當 時，由排序不等式知，集合 中的最小元素是 ，最大元素是 ．又， ，
，
，
所以， = 共有11= 個元素．因此， 時命題成立．
假設命題在 （ ）時成立；考慮命題在 時的情況．對於 的任一排列 ，恆取 ，得到 的一個排列 ，
則 ．由歸納假設知，此時 取遍區間
上所有整數．
再令 ，則
，
再由歸納假設知， 取遍區間
上的所有整數．
因為 ，所以， 取遍區間
上的所有整數．即命題對 也成立．由數學歸納法知，命題成立．
由於 ，從而，集合
的元素個數為 ．特別是，當 時， ．
6．已知 、 分別是 的外接圓和內切圓；證明：過 上的任意一點 ，都可作一個三角形 ，使得 、 分別是 的外接圓和內切圓．
（陶平生供題）
證：如圖，設 ， 分別是 的外接圓和內切圓半徑，延長 交 於 ，則 ， ，延長 交 於 ；則 ，即 ；
過 分別作 的切線 ， 在 上，連 ，則 平分 ，只要證， 也與 相切；
設 ，則 是 的中點，連 ，則
， ，
，
所以 ，
由於 在角 的平分線上，因此點 是 的內心，
（這是由於， ，而
，所以 ，點 是 的內心）．
即弦 與 相切．
7．設 ， 其中 ，且
． 求 的最大值和最小值．
（李勝宏供題）
解：先證 當且僅當 時等號成立.
因 …
由哥西不等式: ，因為
從而 當且僅當 時等號成立.
再證 當 時等號成立.
事實上， =
故 ，當 時等號成立．
另證：設 ，若 ，則 ；
下設 ，由 式，要證 ，只要證， …①
注意到 ，於是①等價於
即 …②
而由柯西不等式，可得
即②成立，從而 ，故 ，當 時等號成立.
8．在8×8方格表中，最少需要挖去幾個小方格，才能使得無法從剩餘的方格表中裁剪出一片形狀如下完整的 型五方連塊？
（孫文先供題）
答：至少要如下圖挖去14個小方格．
如右圖，將8×8棋盤切為五個區域．
中央部份的區域至少要挖去2個小方格才能使T形的五方塊放不進去。二個打叉的位置是不等同的位置，一個是在角落位置，另一個是內部位置，只挖去其中一個無法避免T置入．
對於在邊界的四個全等的區域，每區域至少要挖去3個小方格才能使T形的五方塊放不進去．
證明：以右上角的區域為例，下方T部份必需挖去1個小方格，上方部份必需挖去打叉的位置的1個小方格．
下方T部份挖去的1個小方格有五種情況，但無論如何均可再置入一片T形的五方塊， 因此至少要挖去3個小方格．
綜合所有區域，對於T型五方塊至少要挖去3×4+2=14個小方格．
H. 求2009年全國高中數學聯賽河南賽區預賽一 二 三等獎獲獎名單
你好，請問2009年全國高中數學聯賽河南賽區預賽一
二
三等獎獲獎名單？
I. 2009年高中數學聯賽 奧賽 天津賽區
2009年中國數抄學奧林匹克（第24屆全國中學生數學冬令營）期間， 1月9日上午召開了普委會工作會議。會上大家就「全國高中數學聯賽調整方案（討論稿）」中一試和二試的時間分配、權重分配、試卷結構的調整問題展開了認真細致的討論。
大家普遍認為，在現階段進行調整是必要的，同意從2009年全國高中數學聯賽（黑龍江省數學會承辦）起執行新方案。具體安排如下：
一試考試時間為8：00—9：20，共80分鍾，包括8道填空題（每題7分）和3道解答題（分別為14分、15分、15分），滿分100分。
二試考試時間為9：40—12：10，共150分鍾，包括4道解答題，涉及平面幾何、代數、數論、組合四個方面。每題50分，滿分200分。
初賽應該是在九月份，決賽應該在十月份，去年就是這樣的。
J. 2009全國高中數學聯賽分數線
2009年高中數學聯賽上海賽區一等獎名單
姓名 性別 學校 年級 成績
聶子佩 男 上海中學 高二 270
李弘毅 男 華東師大二附中 高三 264
唐志皓 男 上海中學 高三 253
阮 豐 男 上海中學 高三 248
何立博 男 華東師大二附中 高三 240
鄧博文 男 華東師大二附中 高三 240
徐俊楠 男 復旦附中 高一 240
黃譯旻 男 華東師大二附中 高三 240
戚文俊 男 上海中學 高三 235
葉佳琦 男 華東師大二附中 高三 230
張貽辰 男 華東師大二附中 高二 230
黃文濤 男 格致中學 高三 225
張雪逸 男 上海中學 高三 223
虞博雅 男 華東師大二附中 高二 223
毛毅翔 男 上海中學 高三 218
李 泱 男 上海中學 高三 216
封一帆 男 延安中學 高三 210
王瑞奇 男 南洋模範中學 高三 205
張碩平 男 華東師大二附中 高三 200
陸昕清 女 上海中學 高三 196
謝經岸 男 華東師大二附中 高三 195
梁 棟 男 上海中學 高一 195
朱元明 男 向陽中學 高三 188
張嘉容 男 華東師大二附中 高三 188
虞文華 男 華東師大二附中 高三 188
楊佼文 男 復旦附中 高三 186
顧 超 男 格致初級中學 初三 186
陸宇豪 男 復旦附中 高二 183
陸愷佶 男 格致初級中學 初三 180
朱紀樂 男 復旦附中 高二 179
王雲占 男 上海中學 高三 178
張逸昊 男 上海中學 高一 176
周天佑 男 上海中學 高一 175
周士傑 男 延安中學 高三 173
陳卓東 男 華東師大二附中 高二 173
夏嘉程 男 上海中學 高三 170
何笑添 男 華東師大二附中 高三 170
劉怡坤 男 上海中學 高三 169
王文俊 男 格致中學 高三 169
唐 淳 男 華東師大二附中 高三 167
陸逸波 男 上海中學 高二 167
張達成 男 上海中學 高三 166
徐乾瑋 男 上海中學 高三 165
張宸元 男 復旦附中 高三 165
葛黃一 男 復旦附中 高三 164
林經緯 男 華東師大二附中 高二 164
蔡意歆 男 延安中學 高二 163
陳逸倫 男 上海中學 高三 161
黃利致 男 復旦附中 高二 161
費嘉彥 男 華東師大二附中 高一 159
蔚亦然 男 市北初級中學 初三 159