2011年全國初中數學聯賽

A. 2011全國初中數學聯賽（蘭州）獲獎名單

甘肅省姓 名學校證書編號姓 名學校證書編號王 韜蘭州一中M107301張 帆西北師大附中M107320安 楠蘭州一中M107302陳 言天水一中M107321包正鈺蘭州一中M107303王堯宇蘭煉一中M107322馬立東蘭州一中M107304盧柄璋西北師大附中M107323曹智博蘭州一中M107305武振強西北師大附中M107325馬嘉翊蘭州一中M107306李 睿西北師大附中M107327張文昌蘭州一中M107307趙佳錫民勤一中M107328張方澤蘭州一中M107308王 琪西北師大附中M107329喬 楠蘭州一中M107309劉 丹西北師大附中M107330馬志宏西北師大附中M107311李笑予蘭州一中M107331馮 韜蘭州一中M107312李岩竹蘭州一中M107333陸曉博西北師大附中M107313何林頓西北師大附中M107334張超西北師大附中M107314李韋翰蘭州一中M107336王琛元蘭州一中M107317魏 祺蘭州一中M107337王星岩蘭州一中M107318王 璽天水一中M107339張 星蘭州一中M107319王志浩西北師大附中M107340http://cso.xiaoxiaotong.org/AttachFile/2011/1/10180006/634316526665177500.doc

B. 2011初中數學聯賽獲獎名單如何查詢

局部的要看主管部門有沒有傳到網上去，要是有隻有可能在縣或區級的教育局網站上能查到。要是省級或國家級的在相關的教育網站上能查到。

C. 2011全國初中數學聯賽試題一等獎線是多少

對不起我只知道湖南的，估計和你們差不多。以下是詳細情況：
對各中學：

根據省教育廳贛教基字[2001]10號文件精神和省教育學會中學數學教學專業委員會和省數學會科普委員會的通知及市教研室的通知，結合我縣具體情況，決定繼續組織我縣學生參加2011年全國初中數學聯賽，現將有關事項通知如下：

一、 競賽日期和考點設置：

預賽：定於2011年3月20日(星期天)北京時間9∶30—11∶30進行，考點設在紫陽三小。

決賽：定於2011年4月10日(星期天)北京時間8：30—11：00進行，在南昌市設置考點。

二、 參賽對象和報名：

預賽：對象為在校初中學生，採取自願與學校推薦相結合，以學校為單位向縣教研室報名，縣教研室於2011年2月1日前填好「2011年全國初中數學競賽報名表」一式兩份，寄交市教研室，各校於2011年元月20日前將報名表統一用電子表格報縣教研室（郵箱：[email protected]）。

決賽：參加決賽對象根據省規定，按縣參賽人數的8‰分配參加決賽的名額，由縣的預賽成績從高分到低分截取。（註：參加決賽的學生到時必須交一張一寸照片及學生所在學校的證明）

三、 閱卷工作：

預賽由全市組織統一閱卷（時間另定），閱卷前各縣（市、區）必須把參賽學生名冊按統一格式製成電子表格（見附表）發至郵箱（[email protected]），並列印兩份紙質文稿送至閱卷組。

四、 評獎：

設個人江西賽區全國一、二、三等獎、省級一、二、三等獎、市級一、二、三等獎和縣級一、二、三等獎。個人江西賽區全國一、二、三等獎按決賽成績，全省統一從高分到低分排序確定；省、市級個人獎的名額按各縣（市、區）參加比賽的人數比例截取，具體為省級一、二、三等獎分別為6‰、8‰、10‰；市級一、二、三等獎分別為6‰、10‰、8‰，獲獎人員必須是由各縣（市、區）參加比賽的學生從高分到低分確定（已獲江西賽區獎的除外）。

根據省市獲獎名額分配精神及我縣具體情況，今年開始縣級個人獎的名額按預賽成績和各校參加比賽的人數比例截取，具體為：全縣設獎面為25%，其中15%由預賽成績從高分到低分截取，另10%按各校參加比賽的人數比例截取。

設省級團體獎。全省設學校團體獎6名，以學校為參賽單位，按參賽單位前三名學生決賽得分累計從高分到低分排序。若學校參加加試賽的學生不足三人，則只參加個人賽，不參加學校團體賽計分。

設市級6個學校團體獎。具體按每校參加預賽學生（不計決賽成績）前六名分數之和從高到低排序，取一等獎1名，二等獎2名，三等獎3名。

設縣級6個學校團體獎。具體按每校參加預賽學生（不計決賽成績）前六名分數之和從高到低排序，取一等獎1名，二等獎2名，三等獎3名。獲獎學生的指導教師頒發輔導榮譽證書，並以此作為將來評定省各級數學競賽教練員的一個依據。

五、 費用：

按市要求，參賽費為每生收取10元。用於購買試卷、組織評卷、組織加試賽等；報名時交納需交的參賽費，參加決賽者不另收參賽費，參賽學生及其領隊的一切費用自理。

〖附〗命題范圍及題型：

預賽：命題范圍以《標准》的內容和要求為基本依據，著重考查學生對數學知識的理解和應用數學知識的能力，預賽把會使用計算器進行計算作為要求，試卷中將增加使用計算器的試題供考生選做。

決賽：以中國數學會普及工作委員會制訂的《初中數學競賽大綱》為准，命題堅持「大眾化、普及型、不超綱、不超前」的原則。第一試著重基礎知識和基本技能，題型為選擇題(6題)，填空題(4題)，共70分；第二試著重分析問題與解決問題的能力，題型為三個解答題，內容分別為代數題，幾何題、幾何代數綜合題或雜題，共70分。兩試總分為140分。

D. 請問你有2008,2009,2011全國初中數學聯賽（初三）的試題嗎

2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案
第一試
一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）
1. 設 ，則 （ A
A.24. B. 25. C. . D. .

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，則BC＝ （ C ）
A. . B. . C. . D. .

3．用 表示不大於 的最大整數，則方程 的解的個數為 （ C ）
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

4．設正方形ABCD的中心為點O，在以五個點A、B、C、D、O為頂點所構成的所有三角形中任意取出兩個，它們的面積相等的概率為 （ B
A. . B. . C. . D. .

5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內作半圓，自點A作半圓的切線AE，則 CBE＝ （ D ）
A. . B. . C. . D. .

6．設 是大於1909的正整數，使得 為完全平方數的 的個數是 （ B ）
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.

二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）
1．已知 是實數，若 是關於 的一元二次方程 的兩個非負實根，則 的最小值是_____ _______.

2． 設D是△ABC的邊AB上的一點，作DE//BC交AC於點E，作DF//AC交BC於點F，已知△ADE、△DBF的面積分別為 和 ，則四邊形DECF的面積為___ ___.

3．如果實數 滿足條件 ， ，則 __ ____.
4．已知 是正整數，且滿足 是整數，則這樣的有序數對 共有___7__對.
第二試
一．（本題滿分20分）已知二次函數 的圖象與 軸的交點分別為A、B，與 軸的交點為C.設△ABC的外接圓的圓心為點P.
（1）證明：⊙P與 軸的另一個交點為定點.
（2）如果AB恰好為⊙P的直徑且 ，求 和 的值.
解 （1）易求得點 的坐標為 ，設 ， ，則 ， .
設⊙P與 軸的另一個交點為D，由於AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點為點O，所以OA×OB＝OC×OD，則 .
因為 ，所以點 在 軸的負半軸上，從而點D在 軸的正半軸上，所以點D為定點，它的坐標為(0,1).
（2）因為AB⊥CD，如果AB恰好為⊙P的直徑，則C、D關於點O對稱，所以點 的坐標為 ，
即 .
又 ，所以
，
解得 .

二． （本題滿分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內角平分線 AM、BN分別交於P、Q兩點.PM、QN的中點分別為E、F.求證：EF∥AB.

解 因為BN是∠ABC的平分線，所以 .
又因為CH⊥AB，所以 ，
因此 .
又F是QN的中點，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四點共圓.
又 ，所以FC＝FH，故點F在CH的中垂線上.
同理可證，點E在CH的中垂線上.
因此EF⊥CH.
又AB⊥CH，所以EF∥AB.

三．（本題滿分25分）已知 為正數，滿足如下兩個條件：
①
②
是否存在以 為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內角.
解法1 將①②兩式相乘，得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°.
解法2 結合①式，由②式可得 ，
變形，得 ③
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，
即 .

，
所以 或 或 .
結合①式可得 或 或 .
因此，以 為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°.

2010年全國初中數學聯合競賽試題參考答案
第一試
一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）
1. 若 均為整數且滿足 ，則 （ B ）
A．1. B．2. C．3. D．4.
2．若實數 滿足等式 ， ，則 可能取的最大值為 （ C ）
A．0. B．1. C．2. D．3.
3．若 是兩個正數，且 則 （ C ）
A． . B． . C． . D． .
4．若方程 的兩根也是方程 的根，則 的值為 （ A ）
A．－13. B．－9. C．6. D． 0.
5．在△ 中，已知 ，D，E分別是邊AB，AC上的點，且 ， ， ,則 ( B )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
6．對於自然數 ，將其各位數字之和記為 ，如 ， ， （ D ）
A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.
二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）
1．已知實數 滿足方程組 則 13 .
2．二次函數 的圖象與 軸正方向交於A，B兩點，與 軸正方向交於點C．已知 ， ，則 ．
3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC內一點，且PA＝ ，PC＝5，則PB＝___ ___．
4．將若干個紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現，且任意中間夾有5個或10個球的兩個球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放____15___個球.
第二試 （A）
一．（本題滿分20分）設整數 （ ）為三角形的三邊長，滿足 ，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數.
解 由已知等式可得
①
令 ，則 ，其中 均為自然數.
於是，等式①變為 ，即
②
由於 均為自然數，判斷易知，使得等式②成立的 只有兩組： 和
（1）當 時， ， .又 為三角形的三邊長，所以 ，即 ，解得 .又因為三角形的周長不超過30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值4，5，6，7，8，對應可得到5個符合條件的三角形.
（2）當 時， ， .又 為三角形的三邊長，所以 ，即 ，解得 .又因為三角形的周長不超過30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值2，3，4，5，6，7，對應可得到6個符合條件的三角形.
綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數為5＋6＝11.
二．（本題滿分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分線與AB邊交於點P，M為△ABC的內切圓⊙I與BC邊的切點，作MD//AC，交⊙I於點D.證明：PD是⊙I的切線.
證明 過點P作⊙I的切線PQ（切點為Q）並延長，交BC於點N.
因為CP為∠ACB的平分線，所以∠ACP＝∠BCP.
又因為PA、PQ均為⊙I的切線，所以∠APC＝∠NPC.
又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.
由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.
又因為MD//AC，所以MD和MQ為同一條直線.
又點Q、D均在⊙I上，所以點Q和點D重合，故PD是⊙I的切線.
三．（本題滿分25分）已知二次函數 的圖象經過兩點P ，Q .
（1）如果 都是整數，且 ，求 的值.
（2）設二次函數 的圖象與 軸的交點為A、B，與 軸的交點為C.如果關於 的方程 的兩個根都是整數，求△ABC的面積.
解 點P 、Q 在二次函數 的圖象上，故 ， ，
解得 ， .
（1）由 知 解得 .
又 為整數，所以 ， ， .
(2) 設 是方程的兩個整數根，且 .
由根與系數的關系可得 ， ，消去 ，得 ，
兩邊同時乘以9，得 ，分解因式，得 .
所以 或 或 或
解得 或 或 或
又 是整數，所以後面三組解捨去，故 .
因此， ， ，二次函數的解析式為 .
易求得點A、B的坐標為（1,0）和（2,0），點C的坐標為（0,2），所以△ABC的面積為 .
第二試 （B）
一．（本題滿分20分）設整數 為三角形的三邊長，滿足 ，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數（全等的三角形只計算1次）.
解 不妨設 ，由已知等式可得
①
令 ，則 ，其中 均為自然數.
於是，等式①變為 ，即
②
由於 均為自然數，判斷易知，使得等式②成立的 只有兩組： 和
（1）當 時， ， .又 為三角形的三邊長，所以 ，即 ，解得 .又因為三角形的周長不超過30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值4，5，6，7，8，對應可得到5個符合條件的三角形.
（2）當 時， ， .又 為三角形的三邊長，所以 ，即 ，解得 .又因為三角形的周長不超過30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值2，3，4，5，6，7，對應可得到6個符合條件的三角形.
綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數為5＋6＝11.

二．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.
三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.

第二試 （C）
一．（本題滿分20分）題目和解答與（B）卷第一題相同.
二．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.
三．（本題滿分25分）設 是大於2的質數，k為正整數．若函數 的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標至少有一個為整數，求k的值．
解 由題意知，方程 的兩根 中至少有一個為整數．
由根與系數的關系可得 ，從而有
①
（1）若 ，則方程為 ，它有兩個整數根 和 ．
（2）若 ，則 .
因為 為整數，如果 中至少有一個為整數，則 都是整數.
又因為 為質數，由①式知 或 ．
不妨設 ，則可設 （其中m為非零整數），則由①式可得 ，
故 ，即 ．
又 ，所以 ，即
②
如果m為正整數，則 ， ，從而 ，與②式矛盾.
如果m為負整數，則 ， ，從而 ，與②式矛盾.
因此， 時，方程 不可能有整數根．
綜上所述， ．

E. 怎樣參加2011全國初中數學聯賽時間、地點、怎麼報名我是湖南嶽陽的

學校會組織報名考試的

關於組織參加2011年全國初中數學聯賽的通知

各中學：

根據省教育廳贛教基字[2001]10號文件精神和省教育學會中學數學教學專業委員會和省數學會科普委員會的通知及市教研室的通知，結合我縣具體情況，決定繼續組織我縣學生參加2011年全國初中數學聯賽，現將有關事項通知如下：

一、 競賽日期和考點設置：

預賽：定於2011年3月20日(星期天)北京時間9∶30—11∶30進行，考點設在紫陽三小。

決賽：定於2011年4月10日(星期天)北京時間8：30—11：00進行，在南昌市設置考點。

二、 參賽對象和報名：

預賽：對象為在校初中學生，採取自願與學校推薦相結合，以學校為單位向縣教研室報名，縣教研室於2011年2月1日前填好「2011年全國初中數學競賽報名表」一式兩份，寄交市教研室，各校於2011年元月20日前將報名表統一用電子表格報縣教研室（郵箱：[email protected]）。

決賽：參加決賽對象根據省規定，按縣參賽人數的8‰分配參加決賽的名額，由縣的預賽成績從高分到低分截取。（註：參加決賽的學生到時必須交一張一寸照片及學生所在學校的證明）

三、 閱卷工作：

預賽由全市組織統一閱卷（時間另定），閱卷前各縣（市、區）必須把參賽學生名冊按統一格式製成電子表格（見附表）發至郵箱（[email protected]），並列印兩份紙質文稿送至閱卷組。

四、 評獎：

設個人江西賽區全國一、二、三等獎、省級一、二、三等獎、市級一、二、三等獎和縣級一、二、三等獎。個人江西賽區全國一、二、三等獎按決賽成績，全省統一從高分到低分排序確定；省、市級個人獎的名額按各縣（市、區）參加比賽的人數比例截取，具體為省級一、二、三等獎分別為6‰、8‰、10‰；市級一、二、三等獎分別為6‰、10‰、8‰，獲獎人員必須是由各縣（市、區）參加比賽的學生從高分到低分確定（已獲江西賽區獎的除外）。

根據省市獲獎名額分配精神及我縣具體情況，今年開始縣級個人獎的名額按預賽成績和各校參加比賽的人數比例截取，具體為：全縣設獎面為25%，其中15%由預賽成績從高分到低分截取，另10%按各校參加比賽的人數比例截取。

設省級團體獎。全省設學校團體獎6名，以學校為參賽單位，按參賽單位前三名學生決賽得分累計從高分到低分排序。若學校參加加試賽的學生不足三人，則只參加個人賽，不參加學校團體賽計分。

設市級6個學校團體獎。具體按每校參加預賽學生（不計決賽成績）前六名分數之和從高到低排序，取一等獎1名，二等獎2名，三等獎3名。

設縣級6個學校團體獎。具體按每校參加預賽學生（不計決賽成績）前六名分數之和從高到低排序，取一等獎1名，二等獎2名，三等獎3名。獲獎學生的指導教師頒發輔導榮譽證書，並以此作為將來評定省各級數學競賽教練員的一個依據。

五、 費用：

按市要求，參賽費為每生收取10元。用於購買試卷、組織評卷、組織加試賽等；報名時交納需交的參賽費，參加決賽者不另收參賽費，參賽學生及其領隊的一切費用自理。

〖附〗命題范圍及題型：

預賽：命題范圍以《標准》的內容和要求為基本依據，著重考查學生對數學知識的理解和應用數學知識的能力，預賽把會使用計算器進行計算作為要求，試卷中將增加使用計算器的試題供考生選做。

決賽：以中國數學會普及工作委員會制訂的《初中數學競賽大綱》為准，命題堅持「大眾化、普及型、不超綱、不超前」的原則。第一試著重基礎知識和基本技能，題型為選擇題(6題)，填空題(4題)，共70分；第二試著重分析問題與解決問題的能力，題型為三個解答題，內容分別為代數題，幾何題、幾何代數綜合題或雜題，共70分。兩試總分為140分。

F. 全國初中數學聯賽

全國初中數學聯賽是由各省、市、自治區聯合舉辦的數學競賽。全稱為全國初中數學聯合競賽。

G. 2011年全國初中數學聯賽（決賽）初二組的答案

A B B C A D
6 0 143 8
m+n=5 23隻 作垂線

H. 遼寧地區2011全國初中數學聯賽什麼時間考試在哪考

各中學：

根據省教育廳贛教基字[2001]10號文件精神和省教育學會中學數學教學專業委員會和省數學會科普委員會的通知及市教研室的通知，結合我縣具體情況，決定繼續組織我縣學生參加2011年全國初中數學聯賽，現將有關事項通知如下：

一、 競賽日期和考點設置：

預賽：定於2011年3月20日(星期天)北京時間9∶30—11∶30進行，考點設在紫陽三小。

決賽：定於2011年4月10日(星期天)北京時間8：30—11：00進行，在南昌市設置考點。

二、 參賽對象和報名：

預賽：對象為在校初中學生，採取自願與學校推薦相結合，以學校為單位向縣教研室報名，縣教研室於2011年2月1日前填好「2011年全國初中數學競賽報名表」一式兩份，寄交市教研室，各校於2011年元月20日前將報名表統一用電子表格報縣教研室（郵箱：[email protected]）。

決賽：參加決賽對象根據省規定，按縣參賽人數的8‰分配參加決賽的名額，由縣的預賽成績從高分到低分截取。（註：參加決賽的學生到時必須交一張一寸照片及學生所在學校的證明）

I. 2011年全國初中數學競賽試題及答案

2011年全國初中數學競賽試題
考試時間：2011年3月20日9：30——11：30 滿分：150分
答題時注意：
1、用圓珠筆或鋼筆作答；
2、解答書寫時不要超過裝訂線；
3、草稿紙不上交。
一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分。每道小題均給出了代號為A、B、C、D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題後的括弧里，不填、多填或錯填都得0分）
1、設 ，則代數式 的值為（ ）
A、0 B、1 C、－1 D、2
2、對於任意實數a, b, c, d, 定義有序實數對（a, b）與(c, d)之間的運算「△」為：（a, b）△（c, d）＝（ac+bd, ad+bc）。如果對於任意實數u, v,都有（u, v）△（x, y）＝（u, v）,那麼（x, y）為（ ）
A、（0, 1） B、（1, 0） C、（－1， 0） D、（0, －1）
3、已知A，B是兩個銳角，且滿足 ， ，則實數t所有可能值的和為（ ）
A、 B、 C、1 D、
4、如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，BE、CD相交於點F，設 ， ， ， ，則 與 的大小關系為（ ）
A、 ＜
B、 ＝
C、 ＞
D、不能確定

5、設 ，則4S的整數部分等於（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）
6、兩條直角邊長分別是整數a, b（其中b<2011），斜邊長是b+1的直角三角形的個數為 .
7、一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數字分別是1,2,2,3 ,3,4；另一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數字分別是1,3,4,5,6,8。同時擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩個數字和為5的概率是 .
8、如圖，雙曲線 （ ）與矩形OABC的邊BC， BA分別交於點E， F， 且AF＝BF，連結EF，則△OEF的面積為 .

9、⊙O的三個不同的內接正三角形將⊙O分成的區域的個數為 .
10、設四位數 滿足 ，則這樣的四位數的個數為 .
三、解答題（共4題，每題20分，共80分）
11、已知關於x的一元二次方程 的兩個整數根恰好比方程 的兩個根都大1, 求 的值.

12、如圖，點H為△ABC的垂心，以AB為直徑的⊙ 和△BCH的外接圓⊙ 相交於點D， 延長AD交CH於點P， 求證：點P為CH的中點.

13、若從1,2,3,…，n中任取5個兩兩互素的不同的整數 ， ， ， ， ， 其中總有一個整數是素數，求n的最大值.

14、如圖，△ABC中，∠BAC＝60°,AB＝2AC. 點P在△ABC內,且PA= , PB=5, PC=2, 求△ABC的面積.

J. 求2011年初中數學聯賽試題及答案

幾何定值與最值
幾何中的定值問題，是指變動的圖形中某些幾何元素（線段、角、面積）的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質或位置關系不變的一類問題，如果問題中已明確給出定值，那麼一般通過線段和角的和、差、倍、分的推導或計算來解決；如果問題中未給出定值，可以利用特殊的方法推測出定值，然後再加以一般化的證明。（由特殊再考慮一般）。
幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量(如線段長度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有：特殊位置與極端位置法；幾何定理(公理)法；數形結合法等。
數形結合法解幾何最值問題，即適當地選取變數，建立幾何元素間的函數、方程、不等式等關系，再運用相應的代數知識方法求解。常見的解題途徑是：(1)利用一元二次方程必定有解的代數模型，運用判別式求幾何最值；(2)構造二次函數求幾何最值。
餘弦定理： 中，已知三邊長為 ，則可求任一一個內角： ， ， 或已知兩邊長 及其這兩邊的夾角 ，則可求第三邊長：
正弦定理： （R為外接圓半徑）