數學解題研究
探究高中數學學習
摘要：高中數學與初中數學特點的變化：一是數學語言在抽象程度上突變；二是思維方法向理性層次躍遷；三是知識內容的整體數量劇增。文章闡述了針對這些變化所採取的學習方法：培養自信、方法的提煉和升級、聽課的方法，如何解題；如何思維，如何實現解題。
關鍵詞：高中數學；變化；方法；思維
「科學技術是第一生產力」，而科學技術的基礎是數學，數學不是知識的匯集，而是一個開放性的文化體系，是人類智慧和創造力的結晶，其深刻的文化價值主要表現在數學可以幫助人們更好地理解和認識人文科學、自然科學、人的所有創造和人類世界，更好地適應社會生活；數學可以促進人們有條理地思考，有效地進行表達和交流，提高迅速地獲取，篩選和處理各種信息的能力；通過數學學習可以發展人的主動性，責任感和自信心，豐富人的精神世界，培養人實事求是的科學態度和勇於探索的創新精神。在以知識經濟為基礎的21世紀，數學將更廣泛普遍地滲透到科學技術、經濟生活以及現實世界的各個領域之中。
一、 高中數學與初中數學特點的變化
（一）數學語言在抽象程度上突變
高一新生共同的感受是：集合、映射等概念難以理解，覺得離生活很遠，似乎很「玄」。確實，初、高中的數學語言有著顯著的區別。初中的數學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數學一下子就觸及抽象的集合語言、邏輯運算語言以及以後要學習到的函數語言、空間立體幾何、向量等。
（二）思維方法向理性層次躍遷
高一學生產生數學學習障礙的另一個原因是高中數學思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學生對各種題型建立了統一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什麼，再看什麼，即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等……分別確定了各自的思維套路。因此，初中學習中習慣於這種機械的，便於操作的定勢方式，而高中數學在思維形式上產生了很大的變化，數學語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當然，能力的發展是漸進的，不是一朝一夕的事，這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應，故而導致失去了學習興趣，成績下降。高一新生一定要能從經驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最後還需初步形成辯證性思維。
（三）知識內容的整體數量劇增
高中數學與初中數學又一個明顯的不同是知識內容的「量」上的急劇增加，單位時間內接受知識信息的量與初中相比增加了許多，輔助練習、消化的課時相應地減少了，這就要求：（1）要做好課後的復習工作，記牢大量的知識；（2）要理解掌握好新舊知識的內在聯系，使新知識順利地同化於原有知識結構之中；（3）因知識教學多以零星積累的方式進行的，當知識信息量過大時，其記憶效果不會很好。因此要學會對知識結構進行梳理，形成板塊結構，實行「整體集裝」，如表格化，使知識結構一目瞭然；類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統一；使幾類問題同構於同一知識方法；（4）要多做總結、歸類，建立主體的知識結構網路。
二、學習方法
（一）培養自信
人需要以不斷的成功來鼓舞自己。如何最快、最有效地取得進步，是每個人在學習中首先要考慮的事情。感受到進步就能夠有學習的動力和熱情。學習同樣具有80/20原則，也就是80%的內容在20%的文字裡面，最有用的信息集中在極少數的內容。
學習只要求用心，或者你可以理解成為自信和自覺。如果不用心，僅僅是拿著一本書裝樣，心都飛到九霄雲外，是不可能得到效果的。如果沒有信心，仍然一味地否定自己，就不會有熱情和激情，不會有接納新知識的活躍的思維，不會有快速瀏覽、自我提問的積極性和動力。心態決定一切，積極與消極的效果截然不同。
（二）學習方法的提煉和升級
學習方法是需要不斷地提煉和升級的。升級的結果，就是效率的進一步提高。我認為學習（包括知識和技能）中的境界和領悟最為重要。先提高境界，在層次上有所感悟，然後從整體感應那種境界和規律，去尋求和掌握各種方法技巧。有了感應，就能夠抓住方向，一日千里。同時境界的提高包括心境、通達和反應能力、視角、感受性、領悟力的提高，這在後來的學習中，往往比單純的知識更重要，更有助於人的整體提高。
學習是有方法的。這些方法被人稱為捷徑，在這些方法的指導下，或者對這些方法的實踐，往往能夠讓人學得更快、更輕松、更容易看到進步、成績，人們也會越來越不厭倦學習。
（三）聽課的方法
同學們感覺最深的就是「一聽就懂，一看就會，一做就錯」。表現在課堂上都聽得懂，作業不會做，或即使做出來，教師批改後才知道有多處錯誤。
首先應做好課前的物質准備和精神准備，使得上課時不至於出現書、本等物丟三落四的現象；上課前也不應做過於激烈的體育運動或看小書、下棋、打牌、激烈爭論等，以免上課後還喘噓噓的，或不能平靜下來。
其次就是聽課要全神貫注。全神貫注就是全身心地投入課堂學習，做到五到：耳到、眼到、心到、口到、手到。耳到：就是專心聽講，聽老師如何講課，如何分析，如何歸納總結，另外，還要聽同學們的答問，看是否對自己有所啟發。眼到：就是在聽講的同時看課本和板書，看老師講課的表情，手勢和演示實驗的動作，生動而深刻的接受老師所要表達的思想。心到：就是用心思考，跟上老師的數學思路，分析老師是如何抓住重點，解決疑難的。口到：就是在老師的指導下，主動回答問題或參加討論。手到：就是在聽、看、想、說的基礎上劃出課文的重點，記下講課的要點以及自己的感受或有創新思維的見解。若能做到上述「五到」，精力便會高度集中，課堂所學的一切重要內容便會在自己頭腦中留下深刻的印象。
再次，特別注意老師講課的開頭和結尾。老師講課開頭，一般是概括前節課的要點指出本節課要講的內容，是把舊知識和新知識聯系起來的環節，結尾常常是對一節課所講知識的歸納總結，具有高度的概括性，是在理解的基礎上掌握本節知識方法的綱要。
然後要認真把握好思維邏輯，分析問題的思路和解決問題的思想方法，堅持下去，就一定能舉一反三，提高思維和解決問題的能力。此外還要特別注意老師講課中的提示。老師講課中常常對一些重點難點會做出某些語言、語氣甚至是某種動作的提示。
最後一點就是做好筆記，筆記不是記錄而是將上述聽課中的要點，思維方法等做出簡單扼要的記錄，以便復習，消化，思考。
三、如何解題
（一）如何思維
學習數學的本質就是學解題。每個同學差不多都有過這樣的經歷：一道題，自己總也想不出解法，而老師卻給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是「老師是怎麼想出這個解法的？」如果這個解法不是很難時，「我自己完全可以想出，但為什麼我沒有想到呢？」美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（George Polya，1887～1985）熱心數學教育，十分重視培養學生思考問題分析問題的能力。他認為中學數學教育的根本總旨就「教會年輕人思考」。他致力於解題的研究，回答了「一個好的解法是如何想出來的」這個令人困惑的問題，他在《怎樣解題》這本書中分解解題的思維過程，包括「弄清問題」、「擬定計劃」、「實現計劃」和「回顧」四大步驟的解題全過程的解題表。
第一，必須弄清問題。未知數是什麼？已知數學是什麼？條件是什麼？滿足條件是否可能？要確定未知數，條件是否充分?或者是多餘的？或者是矛盾的？畫張圖，引入適當的符號，把條件的各個部分分開，你能否把它們寫下來?
第二，找出已知數與未知數之間的聯系。如果找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。擬定計劃：你應該最終得出一個求解的計劃。你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？ 你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數，試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。 這里有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。
如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而捨去其餘部分。這樣對於未知數能確定到什麼程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用的東西？你能不能想出適合於確定未知數的其他數據？如果需要的話，你能不能改變未知數或數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？你是否利用了所有的已知數據?你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的必要的概念？
第三，實行你的計劃。實現計劃：實現你的求解計劃，檢驗每一步驟。你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？
第四，驗算所得到的解。回顧：你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能不能一下子看出它來？你能不能把這一結果或方法用於其他的問題？他提出解題時，聯想什麼？怎樣聯想什麼？事實上，我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到罷了。
（二）如何實現解題
「數學是思維的體操」只要肯學，肯下功夫，從都可以達到一定的水平。解題要立足於基礎，切忌好高騖遠，要多做基礎題，多做一些中檔題，適當做一點難題，不做則已，要做就要用心地去做，要高度地做，做了一批題一定要有收獲，不搞機械的簡單的重復。解題的技巧來說，有特值法、圖象法、換元法，俗稱解數學題的三大法寶，當然基本知識，基本技能是必不可少的了。解題還要善於積累，積累包括兩個方面：一是成功經驗，二是失敗教訓。把平練習和考試中做錯的題目積累成集，並且經常翻閱復習，既有針對性，又節省時間，可大大提高學習效率。
參考文獻
[1]波利亞著，閻育蘇譯.怎樣解題[M].北京：科學出版社，1982.
[2]羅增儒，羅新兵.波利亞的怎樣解題表[M].陝西師范大學出版社.
[3]韋忠平.高中數學學法指導.
⑵ 數學解題能力的研究現狀是什麼
1.學生基礎性知識掌握是解題能否成功的基礎。
2.學生思維方式也是影響解題能力的關鍵因素。
3.學生的主觀能動性與心向。
⑶ 對數學解題與研究這門課的建議
題目畢竟是人編好的，每道題都是考察你學過的知識點，所以要學會對號入座，看清題型以及編題的意圖
⑷ 數學解題能力的實踐研究的案例分析怎麼寫
學生解題能力主要存在哪些方面的問題呢？
在實際教學中，我們發現相當一部分學生存在著數學解題能力缺失，嚴重影響著學生進一步學習數學的興趣和解決問題能力的提升。只有找准學生解題能力存在的基本問題，我們才能准確制定其排解對策，那麼學生解題能力主要存在哪些方面的問題呢？1. 觀察你的學生一、解題時存在哪方面的問題比較明顯？
1.基礎知識不牢固，不能融會貫通
《國務院關於基礎教育改革與發展的決定》中指出：「重視基礎知識、基本技能的教學並關注情感、態度的培養。」在三維目標中，知識與技能目標是首要目標，它具有奠基作用。學生的數學解題能力和數學素養是在知識的掌握、建構、內化、運用的過程中形成的。由於小學生存在心理不穩定、急躁、好動等心理傾向，導致在學習的過程中基礎知識落實不到位，例如對於各種數學概念、定律、公式、技能等不能正確理解和掌握，時常處於一種似懂非懂的狀態，解決問題時沒有扎實的基礎知識作鋪墊，找不到解決數學問題的有效路徑，從而嚴重地影響了解決問題的效果。
2.審題不細，產生定勢思維
心理學研究表明，人在學習過程中使用某一認知方式進行思維，重復的次數越多，越有效，那麼在新的相似情境中就會優先運用這一方式。學生往往在做大量的練習或重復的練習時不會仔細審題，只看到題目的表象就開始運用已有經驗進行解題，這就是一種思維慣性的現象。雖然說思維定勢有助於人們進行類比思維，從而更加順利和快捷地解決部分問題，但容易使學生盲目運用特定經驗和習慣的方法去對待一些貌似而神異的問題，結果造成錯誤的解題。
3.缺乏學習主動性，依賴心理嚴重
數學學習應是學生主動建構知識的過程。而在實際生活中，家長對學生的學習管得過細，容易使孩子產生依賴心理，如每次的家庭作業，家長給孩子仔細檢查，圈出錯誤的地方讓孩子訂正，而不是教給孩子檢查的方法，讓孩子學會檢查、學會糾錯等。有時教師的教法單一也會讓學生產生依賴心理，例如教師過於注重解題方法的傳授，而不讓學生去主動地嘗試學習、嘗試解題，忽略了對學生的「扶放教學」，使大批學生面對新的問題不敢去大膽嘗試，依賴於聽教師的正確答案。由於學生沒有經歷觀察操作、比較分析、交流反思等逐步內化概念的過程，解題能力和思維能力則無法得到提升，從而使學生產生依賴心理，讓學生喪失了數學學習的主動性和獨立性，喪失了問題解決和推理能力。
4.畏難情緒較嚴重
要讓學生成功地解決數學問題，需要學生具備良好的解決數學問題的能力，而在教師的教學中不難發現，很多學生面對數學問題都具有畏難情緒。畏難情緒是指學生對學習活動中存在的困難不敢正確地面對，沒有理性的認識和思考，害
怕困難，甚至逃避困難，在較難的數學問題面前顯得束手無策。畏難情緒的產生主要是由家庭教育和學校教育的不當產生的。家庭教育方面有的家長過分溺愛孩子，什麼都是包辦代替，孩子沒有經受挫折，也就不知道怎樣去面對困難。學校教育中教師缺乏良好的組織教學的能力，沒有把握好「收放」的尺度，沒有給夠學生獨立思考和解決數學問題的空間和時間，也導致學生無法獨立面對困難。因此，畏難情緒的影響、制約、阻礙了學生的學習積極性和主動性，較嚴重地影響了學生解決數學問題的效率。
5.思維靈活性不夠，缺乏求異思維
求異思維是一種創造性思維，它是培養創造性思維的核心。它要求學生憑借自己的知識水平與能力，對某一問題從不同的角度，不同的方位去思考，創造性地解決問題。而小學生的思維是以具體形象思維為主，容易產生消極的思維定勢，造成一些機械思維模式，干擾解題的准確性和靈活性。面對一個數學問題，能從不同角度表述和思考，就能全面而深刻地理解這個問題。為了排除學生這種消極思維定勢的干擾，在解題中，要努力創造條件，引導學生從各個角度去分析思考問題，發展學生的求異思維，使其創造性地解決問題。通常運用的方法有「一題多問」、「一題多解」和「一題多變」。在解題時，要經常注意引導學生從不同的方面，探求解題途徑，以求最佳解法。例如，筆者在教學「工程問題」新課時採用了不同方法探索進行分析講解。「修一條村級公路。甲隊單獨修10周完成，乙隊單獨修15周完成。兩隊同時從公路兩端修，幾周可以完成？」當學生提出用假設法進行解決時，我鼓勵學生大膽假設出這條公路的長度，並用自己不同的假設去進行計算，從而驗證出不管這條公路的長度是600、300、60、1還是x，所得的結果都相同，這樣打破思維定勢，啟迪學生新的思維，並得出演算法的最優化，充分顯示出學生思維的靈活性。
6.數學學習習慣欠佳導致解題能力低下
良好的學習習慣的培養是課標對目前教學提出的重要任務之一，好的學習習慣讓學生終身受用，能夠避免解決數學問題中產生不必要的錯誤。在日常教學中，學生往往容易犯這樣或那樣的錯誤，如果讓學生再次仔細審題，則多數能獨立解決問題，這說明學生在學習中很多是數學學習習慣不良而導致解題錯誤，如缺乏反思檢驗的習慣、仔細審題的習慣、善於動手的習慣、自主探索的習慣等。
7.教師的教法不當
教師在日常教學中，有時由於對教科書的理解不夠充分，傳授知識採用一味灌輸，讓學生形成被動式的接受學習，這樣就會導致學生雖然將知識記住了，但沒有真正理解和掌握，不會融會貫通，在解決實際問題時，就不知道怎樣綜合運用知識去解決。如果教師在教學中對學生的實際情況把握不準確，教學活動設計與學生的知識把握產生偏差，也會影響學生解題能力。在教學過程中，很多教師總擔心完不成教學任務，或擔心教學內容不完整，常常對審題過程包辦代替，學生只是讀一遍題目，蜻蜓點水走過場，學生失去了這種鍛煉的機會，也造成了這
方面能力的欠缺。這樣，學生失去了審視題目、思考問題的機會，久而久之，解題能力的形成和發展便受到了嚴重的影響
課程從「解題的意義」、「解題的方法與技巧」、「解題方法與技巧教學的建議」等三個角度闡述了初中數學解題方法與技巧教學的研究及教學調控建議。課程內容中充分結合實際教學案例來分析講解，以期與老師們分享有效的教學調控後對初中生數學學習有效性地幫助，從而促進學生的有效性學習，更好的理解和掌握初中數學知識，培養學生對數學的學習興趣和創新能力。
2. 學生解題過程中哪些解法和技巧引起你的共鳴？
中學數學新題型解題方法和技巧
1. 數學探索題
所謂探索題就是從問題給定的題設條件中探究其相應的結論並加以證
明，或從給定的題目要求中探究相應的必需具備的條件、解決問題的途徑。 條件探索題：解答策略之一是將題設和結論視為已知，同時推理，在演 繹的過程中尋找出相應所需的條件。
結論探索題：通常指結論不確定不唯一，或結論需通過類比、引申、推廣，或給出特例需通過歸納得出一般結論。可以先猜測再去證明；也可以尋求具體情況下的結論再證明；或直接演繹推證。
規律探索題：實際就是探索多種解決問題的途徑，制定多種解題的策略。 活動型探索題：讓學生參與一定的社會實踐，在課內和課外的活動中， 通過探究完成問題解決。
推廣型探索題，將一個簡單的問題，加以推廣，可產生新的結論，在初 中教學中常見。
如平行四邊形的判定，就可以產生許多新的推廣，一方面是自身的推廣， 一方面可以延伸到菱形和正方形中。
探索是數學的生命線，解探索題是一種富有創造性的思維活動，一種數 學形式的探索絕不是單一的思維方式的結果，而是多種思維方式的聯系和滲透，這樣可使學生在學習數學的過程中敢於質疑、提問、反思、推廣。通過探索去經歷數學發現、數學探究、數學創造的過程，體會創造帶來的快樂。
2. 數學情境題
情境題是以一段生活實際、故事、歷史、游戲與數學問題、數學思想和方法於情境中。這類問題往往生動有趣，激發學生強烈的研究動機，但同時數學情景題又有信息量大，開放性強的特點，因此需要學生能從場景中提煉出數學問題，同時經歷了藉助數學知識研究實際問題的數學化過程。
如老師在講有理數的混合運算時，
3. 數學開放題
數學開放題是相對於傳統的封閉題而言的一種新題型，其特徵是題目的條件不充分，或沒有確定的結論，也正因為這樣，所以開放題的解題策略往往也是多種多樣的。
（ 1 ）數學開放題一般具有下列特徵：
①不確定性：所提的問題常常是不確定的和一般性的，其背景情況也是用一般詞語來描述的，因此需收集其他必要的信息，才能著手解的題目。
②探究性：沒有現成的解題模式，有些答案可能易於直覺地被發現，但是求解過程中往往需要從多個角度進行思考和探索。
③非完備性：有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在於尋求解答的過程中學生的認知結構的重建。
④發散性：在求解過程中往往可以引出新的問題，或將問題加以推廣，找出更一般、更概括性的結論。
⑤層次性：常常通過實際問題提出，學生必須用數學語言將其數學化，也就是建立數學模型。
⑥發展性：能激起多數學生的好奇性，全體學生都可以參與解答過程。 ⑦創新性：教師難以用注入式進行教學，學生能自然地主動參與，教師在解題過程中的地位是示範者、啟發者、鼓勵者、合作者。
（ 2 ）對數學開放題的分類，從構成數學題系統的四要素（條件、依據、方法、結論）出發，定性地可分成四類；如果尋求的答案是數學題的條件，則稱為條件開放題；如果尋求的答案是依據或方法，則稱為策略開放題；如果尋求的答案是結論，則稱為結論開放題；如果數學題的條件、解題策略或結論都要求解題者在給定的情境中自行設定與尋找，則稱為綜合開放題。
從學生的學習生活和熟悉的事物中收集材料，設計成各種形式的數學開放性問題，意在開放學生的思路，開放學生潛在的學習能力，開放性數學問題給不同層次的學生學好數學創設了機會，多種解題策略的應用，有力地發展了學生的創新思維，培養了學生的創新技能，提高了學生的創新能力。
（ 3 ）以數學開放題為載體的教學特徵
①師生關系開放：教師與學生成為問題解決的共同合作者和研究者
②教學內容開放：開放題往往條件不完全、或結論不完全，需要收集信息加以分析和研究，給數學留下了創新的空間。
③教學過程的開放性：由於研究的內容的開放性可以激起學生的好奇心、同時由於問題的開放性，就沒有現成的解題模式，因此就會留下想像的空間，使所有的學生都可參與想像和解答。
⑸ 中學數學解題研究的介紹
《中學數學解題研究》緊扣數學新課標和當前學生的解題實際，內容包括緒論、數學問題解決的基本策略、數學解題理論概述、數學問題解決的一般方法、數學解題能力的培養、高中新課程新增內容解題研究。書中理論與實踐並重，各章含有例題和習題，先練後講、邊講邊練、及時反思、總結規律，以提高學生解題的意識、能力和修養。
⑹ 什麼叫「數學研究模型」（請給具體解答，謝謝）
「數學研究模型」用在電腦編程上，用輸入不同的數據獲得不同的結果
「數學研究模型」如黑用人工計算，那麼龐大的計算量是力不能及的
比如天上的雲，其高度、厚度、范圍，以及風向、溫度、濕度、……，預報睛雨
先設計一個數學研究模型」，也就是一個編程，編程中用的是關系式，判斷式
當輸入不同的雲的高度、厚度、風向、溫度、濕度、……，獲得睛雨的結果
⑺ 數學研究性學習課題
數學研究性學習課題
數學研究性學習課題
1、銀行存款利息和利稅的調查
2、氣象學中的數學應用問題
3、如何開發解題智慧
4、多面體歐拉定理的發現
5、購房貸款決策問題
6、有關房子粉刷的預算
7、日常生活中的悖論問題
8、關於數學知識在物理上的應用探索
9、投資人壽保險和投資銀行的分析比較
10、黃金數的廣泛應用
11、編程中的優化演算法問題
12、餘弦定理在日常生活中的應用
13、證券投資中的數學
14、環境規劃與數學
15、如何計算一份試卷的難度與區分度
16、數學的發展歷史
17、以「養老金」問題談起
18、中國體育彩票中的數學問題
19、「開放型題」及其思維對策
20、解答應用題的思維方法
21、高中數學的學習活動——解題分析 A）從嘗試到嚴謹、B）從一個到一類
22、高中數學的學習活動——解題後的反思——開發解題智慧
23、中國電腦福利彩票中的數學問題
24、各鎮中學生生活情況
25、城鎮/農村飲食構成及優化設計
26、如何安置軍事偵察衛星
27、給人與人的關系（友情）評分
28、丈量成功大廈
29、尋找人的情緒變化規律
30、如何存款最合算
31、哪家超市最便宜
32、數學中的黃金分割
33、通訊網路收費調查統計
34、數學中的最優化問題
35、水庫的來水量如何計算
36、計算器對運算能力影響
37、數學靈感的培養
38、如何提高數學課堂效率
39、二次函數圖象特點應用
40、D中線段計算
41、統計溪美月降水量
42、如何合理抽稅
43、南安市區車輛構成
44、計程車車費的合理定價
45、衣服的價格、質地、品牌，左右消費者觀念多少？
46、購房貸款決策問題
⑻ 如何有效進行數學解題教學
1、正方體展開圖
正方體有6個面，12條棱，當沿著某棱將正方體剪開，可以得到正方體的展開圖形，很顯然，正方體的展開圖形不是唯一的，但也不是無限的，事實上，正方體的展開圖形有且只有11種，11種展開圖形又可以分為4種類型：
1141型中間一行4個作側面，上下兩個各作為上下底面，共有6種基本圖。
（2）追及問題
【口訣】：
慢鳥要先飛，快的隨後追。
先走的路程，除以速度差，時間就求對。
例：姐弟二人從家裡去鎮上，姐姐步行速度為3千米/小時，先走2小時後，弟弟騎自行車出發速度6千米/小時，幾時追上？
先走的路程，為3X2=6（千米）
速度的差，為6-3=3（千米/小時）。所以追上的時間為：6/3=2（小時）。
6、和比問題
已知整體求部分。
【口訣】：
家要眾人合，分家有原則。
分母比數和，分子自己的。
和乘以比例，就是該得的。
例：甲乙丙三數和為27，甲;乙:丙=2:3:4,求甲乙丙三數。
分母比數和，即分母為：2+3+4=9；
分子自己的，則甲乙丙三數占和的比例分別為2/9，3/9，4/9。和乘以比例，所以甲數為27X2/9=6，乙數為：27X3/9=9，丙數為：27X4/9=12。
7、差比問題（差倍問題）
【口訣】：
我的比你多，倍數是因果。
分子實際差，分母倍數差。
商是一倍的，乘以各自的倍數，兩數便可求得。
例：甲數比乙數大12，甲:乙=7：4，求兩數。
先求一倍的量，12/（7-4）=4，
所以甲數為：4X7=28，乙數為：4X4=16。
8、工程問題
【口訣】：
工程總量設為1，1除以時間就是工作效率。
單獨做時工作效率是自己的，一齊做時工作效率是眾人的效率和。
1減去已經做的便是沒有做的，沒有做的除以工作效率就是結果。
例：一項工程，甲單獨做4天完成，乙單獨做6天完成。甲乙同時做2天後，由乙單獨做，幾天完成？
[1-（1/6+1/4）X2]/（1/6）=1（天）
9、植樹問題
【口訣】：
植樹多少棵，要問路如何？
直的加上1，圓的是結果。
例1：在一條長為120米的馬路上植樹，間距為4米，植樹多少棵？
路是直的。所以植樹120/4+1=31（棵）。
例2：在一條長為120米的圓形花壇邊植樹，間距為4米，植樹多少棵？
路是圓的，所以植樹120/4=30（棵）。
10、盈虧問題
【口訣】：
全盈全虧，大的減去小的；
一盈一虧，盈虧加在一起。
除以分配的差，結果就是分配的東西或者是人。
例1：小朋友分桃子，每人10個少9個；每人8個多7個。求有多少小朋友多少桃子？
一盈一虧，則公式為：（9+7）/（10-8）=8（人），相應桃子為8X10-9=71（個）
例2：士兵背子彈。每人45發則多680發；每人50發則多200發，多少士兵多少子彈？
全盈問題。大的減去小的，則公式為：（680-200）/（50-45）=96（人）則子彈為96X50+200=5000（發）。
例3：學生發書。每人10本則差90本；每人8 本則差8本，多少學生多少書？
全虧問題。大的減去小的。則公式為：（90-8）/（10-8）=41（人），相應書為41X10-90=320（本）
11、牛吃草問題
【口訣】：
每牛每天的吃草量假設是份數1，
A頭B天的吃草量算出是幾？
M頭N天的吃草量又是幾？
大的減去小的，除以二者對應的天數的差值，
結果就是草的生長速率。
原有的草量依此反推。
公式就是A頭B天的吃草量減去B天乘以草的生長速率。
將未知吃草量的牛分為兩個部分：
一小部分先吃新草，個數就是草的比率；
有的草量除以剩餘的牛數就將需要的天數求知。
例：整個牧場上草長得一樣密，一樣快。27頭牛6天可以把草吃完；23頭牛9天也可以把草吃完。問21頭多少天把草吃完。
每牛每天的吃草量假設是1，則27頭牛6天的吃草量是27X6=162，23頭牛9天的吃草量是23X9=207；
大的減去小的，207-162=45；二者對應的天數的差值，是9-6=3（天）結果就是草的生長速率。所以草的生長速率是45/3=15（牛/天）；原有的草量依此反推。
公式就是A頭B天的吃草量減去B天乘以草的生長速率。所以原有的草量=27X6-6X15=72（牛/天）。
將未知吃草量的牛分為兩個部分：一小部分先吃新草，個數就是草的比率；
這就是說將要求的21頭牛分為兩部分，一部分15頭牛吃新生的草；剩下的21-15=6去吃原有的草，所以所求的天數為：原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12（天）
12、年齡問題
【口訣】：
歲差不會變，同時相加減。
歲數一改變，倍數也改變。
抓住這三點，一切都簡單。
例1：小軍今年8 歲，爸爸今年34歲，幾年後，爸爸的年齡的小軍的3倍？
歲差不會變，今年的歲數差點34-8=26，到幾年後仍然不會變。
已知差及倍數，轉化為差比問題。26/（3-1）=13，幾年後爸爸的年齡是13X3=39歲，小軍的年齡是13X1=13歲，所以應該是5年後。
例2：姐姐今年13歲，弟弟今年9歲，當姐弟倆歲數的和是40歲時，兩人各應該是多少歲？
歲差不會變，今年的歲數差13-9=4幾年後也不會改變。
幾年後歲數和是40，歲數差是4，轉化為和差問題。則幾年後，姐姐的歲數：（40+4）/2=22，弟弟的歲數：（40-4）/2=18，所以答案是9年後。
13、余數問題
【口訣】：
余數有（N-1）個，最小的是1，最大的是（N-1）。
周期性變化時，不要看商，只要看余。
例：如果時鍾現在表示的時間是18點整，那麼分針旋轉1990圈後是幾點鍾？分針旋轉一圈是1小時，旋轉24圈就是時針轉1圈，也就是時針回到原位。
1980/24的余數是22，所以相當於分針向前旋轉22個圈，分針向前旋轉22個圈相當於時針向前走22個小時，時針向前走22小時，也相當於向後24-22=2個小時，即相當於時針向後拔了2小時。即時針相當於是18-2=16（點）。
⑼ 中學數學解題研究的基本信息
作者：王林全，吳有昌主編
出 版 社：科學出版社
出版時間：2009-3-1
版次：1頁數：267字數：337000 印刷時間：2009-3-1開本：16開紙張：膠版紙 印次：1I S B N：9787030235404包裝：平裝