初三數學的圓

A. 初三數學圓的定義

（1）圓：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個頂點O旋轉一周，另一個端點A隨之

旋轉所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．
（2）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦．

直徑：經過圓心的弦叫做直徑．
（3）弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧．

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．

優弧：大於半圓的弧.

劣弧：小於半圓的弧.

等弧：能夠互相重合的弧.
（4）同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓．

等圓：能夠重合的兩個圓．
3、點與圓的位置關系
（1）點在圓外
點到圓心的距離大於半徑.
（2）點在圓上
點到圓心的距離等於半徑.
（3）點在圓內
點到圓心的距離小於半徑.

B. 初三數學所有圓的定律

圓的直徑連接兩頭（一端在圓上，一端在直徑上）
這個角是直角

這叫垂徑定理

圓周角定理 是
多少
——乘圓面積或周長=這個扇行的面積或那條弧
360
別的我就不知道了
．圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；圍繞圓心旋轉任意一個角度α，都能夠與原來的重合．

2．頂點在圓心的角叫做圓心角．圓心到弦的距離叫做弦心距．

圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統稱為圓冪定理）

切線長定理

垂徑定理

圓周角定理

弦切角定理

四圓定理

3．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．

4．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等．

5．把整個圓周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圓心角的度數和它所對的弧的度數相等．

6.圓是中心對稱圖形，即圓繞其對稱中心(圓心)旋轉180°後能夠與原來圖形重合，這一性質不難理解．圓和其他中心對稱圖形不同，它還具有旋轉不變性，即圍繞圓心旋轉任意一個角度，都能夠與原來的圖形重合．
7.垂徑定理 垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧
8.（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧

（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧

9.圓的兩條平行弦所夾的弧相等
10.(1)一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半.

(2)同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.

(3)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.

(4)如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形.

11.(1)圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸.

(2)垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧.

(3)平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧.

(4)弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弦.

(5)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧.

(6)圓的兩條平行弦所夾的弧度數相等.

12.圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸．

垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧．
13.平分弦(不是直徑)的直徑垂直與弦,並且平分弦所對的兩條弧.
14.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等,所對的弦的弦心距也相等.
15.在同圓或等圓中,相等的弦所對的弧相等,所對的圓心角相等,所對的弦的弦心距也相等.
16.同一個弧有無數個相對的圓周角.
17.弧的比等於弧所對的圓心角的比.
18.圓的內接四邊形的對角互補或相等.
19.不在同一條直線上的三個點能確定一個圓.
20.直徑是圓中最長的弦.
21.一條弦把一個圓分成一個優弧和一個劣弧.

補充：九點共圓定理
三角形三邊的中點，三條高的垂足，垂心與各頂點連線的中點這9點共圓.
九點圓是幾何學史上的一個著名問題,最早提出九點圓的是英國的培亞敏.俾幾〔Benjamin Beven〕,問題發表在1804年的一本英國雜志上.第一個完全證明此定理的是法國數學家彭賽列〔1788-1867〕.也有說是1820-1821年間由法國數學家熱而工〔1771-1859〕與彭賽列首先發表的.一位高中教師費爾巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九點圓,他的證明發表在1822年的《直邊三角形的一些特殊點的性質》一文里,文中費爾巴哈還獲得了九點圓的一些重要性質〔如下列的性質3〕,故有人稱九點圓為費爾巴哈圓.
九點圓具有許多有趣的性質,例如:
1.三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;
2.九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點;
3.三角形的九點圓與三角形的內切圓,三個旁切圓均相切〔費爾巴哈定理〕.
4.九點圓是一個垂心組共有的九點圓,所以九點圓共與四個內切圓,十二個旁切圓相切.
5.九點圓心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四點共線且OG=2VG VO=2HO
九點圓圓心的重心坐標的計算跟垂心、外心一樣麻煩。
事先定義的變數與垂心、外心一樣：
d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘（句子很長^_^）。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐標：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。

C. 初三數學 圓

1. 連接OA、 OB,在四邊形OAPB中，∠OAP=90°,∠OBP=90°,∠P=50°,所以∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°.
設DE與⊙O的切點為G並連接OG, ∠DOG=1/2∠AOG, ∠EOG=1/2∠BOG,
得：∠DOE=∠DOG+∠EOG=1/2∠AOG+1/2∠BOG=1/2(∠AOG+∠BOG)=1/2∠AOB=1/2×130°=65°.
2.
（1）、由三角形外角定理知：∠AEF=∠PAB+∠APE, ∠AFE=∠ACB+∠FPC.
由弦切角定理知：∠PAB=∠ACB.
已知：∠APE=∠FPC，
所以：∠AEF=∠AFE，
得：AE=AF。
（2）、已證∠PAB=∠ACB，另有∠APC為共同角，所以△PAB∽△PCA,則AB/AC=PA/PC=PB/PA=1/2.
得PC=4AB,已知PD=DC,則知PC=2DC,所以DC=2BD,即BD/DC=1/2.
得：AB/AC=BD/DC,根據角平分線定理，AD為∠BAC的平分線，則知∠BAM=∠CAM.
故M為弧BC的中點。

D. 初三數學關於圓的問題

35°
∠APD=75°，則∠APC=105°。由三角形內角和為180°知，∠ACD=35°
又由於圓中圓周角對應的弧長相等則圓周角大小相等，故∠ABD=∠ACD=35°

E. 初三數學圓

（1）
因為點O在對角線AC上，所以點O到BC,DC的距離相等
過點O向BC作垂線，交於點M。過點O向DC作垂線，交於點N。OM=ON
又因為，園O與BC相切於點M，所以OM=r。
即ON=r，ON又垂直於DC
所以CD與圓O相切於點N
（2）
邊長為1 所以對角線AC=根號2
AO=OM=r
OC=根號2-r
又角OCM=45° 所以 OC=根號2×OM 推出 根號2-r=根號2×r
得r=2-根號2

F. 初三數學（圓）

連接DO
∵AD平行OC
∴∠A=∠COB ∠ADO=∠DOC
∵AO=DO
∴∠ADO=∠A
∴∠DOC=∠BOC
∴圓弧BC=圓弧DC

G. 初三數學關於圓的公式

〖圓的定義〗

幾何說：平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。
軌跡說：平面上一動點以一定點為中心，一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周，簡稱圓。
集合說：到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓。

〖圓的相關量〗

圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，計算中常取3.1416為它的近似值。

圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大於半圓的弧稱為優弧，小於半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經過圓心的弦叫做直徑。

圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。

內心和外心：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱為內心。

扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑成為圓錐的母線。

〖圓和圓的相關量字母表示方法〗

圓—⊙ 半徑—r 弧—⌒ 直徑—d
扇形弧長／圓錐母線—l 周長—C 面積—S

1.圓的周長C=2πr=πd
2.圓的面積S=πr²
3.扇形弧長l=nπr/180
4.扇形面積S=nπr²/360=rl/2
5.圓錐側面積S=πrl

〖圓的定義〗
幾何說：平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。
軌跡說：平面上一動點以一定點為中心，一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周，簡稱圓。
集合說：到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓。

〖圓的相關量〗

圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率，
值是3....，
通常用π表示，計算中常取3.14為它的近似值(但奧數常取3或3.1416)。

圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大於半圓的弧稱為優弧，小於半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經過圓心的弦叫做直徑。

圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。

內心和外心：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱為內心。

扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑成為圓錐的母線。

〖圓和圓的相關量字母表示方法〗

圓—⊙ 半徑—r 弧—⌒ 直徑—d 扇形弧長／圓錐母線—l 周長—C 面積—S

〖圓和其他圖形的位置關系〗

圓和點的位置關系：以點P與圓O的為例（設P是一點，則PO是點到圓心的距離），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O內，PO＜r。

直線與圓有3種位置關系：
無公共點為相離；
有兩個公共點為相交；
圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。
以直線AB與圓O為例（設OP⊥AB於P，則PO是AB到圓心的距離）：

AB與⊙O相離，PO＞r；AB與⊙O相切，PO＝r；AB與⊙O相交，PO＜r。

兩圓之間有5種位置關系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切；有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P：外離P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；內切P=R-r；內含P＜R-r。

【圓的平面幾何性質和定理】

[編輯本段]一有關圓的基本性質與定理

⑴圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓。 圓的對稱性質：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的2條弧。
逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的2條弧。

⑵有關圓周角和圓心角的性質和定理 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那麼他們所對應的其餘各組量都分別相等。 一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。 直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

⑶有關外接圓和內切圓的性質和定理

①一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；
②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。
③S三角=1/2*△三角形周長*內切圓半徑
④兩相切圓的連心線過切點（連心線：兩個圓心相連的線段）

〖有關切線的性質和定理〗

圓的切線垂直於過切點的半徑；經過半徑的一端，並且垂直於這條半徑的直線，是這個圓的切線。
切線判定定理：經過半徑外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質：
（1）經過切點垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
（2）經過切點垂直於切線的直線必經過圓心。
（3）圓的切線垂直於經過切點的半徑。

切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角。

〖有關圓的計算公式〗

1.圓的周長C=2πr=πd
2.圓的面積S=πr^2;
3.扇形弧長l=nπr/180
4.扇形面積S=nπr^2;/360=rl/2
5.圓錐側面積S=πrl

【圓的解析幾何性質和定理】
[編輯本段]〖圓的解析幾何方程〗

圓的標准方程：在平面直角坐標系中，以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圓的一般方程：把圓的標准方程展開，移項，合並同類項後，可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和標准方程對比，其實D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。

圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。

〖圓與直線的位置關系判斷〗

平面內，直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關系判斷一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等於0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一個關於x的一元二次方程f（x）=0。

利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關系如下：如果b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點，即圓與直線相交。如果b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點，即圓與直線相切。如果b^2-4ac<0，則圓與直線有0交點，即圓與直線相離。

2.如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C／A，它平行於y軸（或垂直於x軸），將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此時的兩個x值x1、x2，並且規定x1<x2，那麼：當x=-C／A<x1或x=-C／A>x2時，直線與圓相離；當x1<x=-C／A<x2時，直線與圓相交；

半徑r，直徑d在直角坐標系中，圓的解析式為：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 => (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F => 圓心坐標為(-D/2,-E/2) 其實不用這樣算 太麻煩了 只要保證X方Y方前系數都是1 就可以直接判斷出圓心坐標為(-D/2,-E/2) 這可以作為