高中數學競賽題目

1. 數學(1988 年西安市高中數學競賽題)

1式+2式-3式，得：
2y²+xy+yz-xz=0 (4)
由(2)式知：y²=3-z²-yz
(4)左邊=xy+y²+yz+3-z²-yz-xz
=y(x+y+z)+3-z(x+y+z)
=(x+y+z)(y-z)+3
=0
即：x+y+z=3/(z-y) (5)式

1式左右乘以x-y,得：
x³-y³=x-y (1')式
同理得：
y³-z³=3(y-z) (2')式
z³-x³=4(z-x) (3')式
1'+2'+3'式，得:
-3x+2y+z=0
由上式得：z=3x-2y
x+y+z=4x-y (6)式

z=3x-2y代入5式右邊化簡得：x+y+z=1/(x-y) (7)式

由6式，7式可知：
4x-y=1/(x-y)，即：(4x-y)(x-y)=1=x²+y²+xy
化簡得：x=2y
代入(1)得：(2y)²+y²+2y*y=7y²=1
即：y=1/√7 （「√」代表根號）

由7式得：x+y+z=1/(x-y)
=1/y
=√7

2. 高中數學競賽題是如何被出出來的

我曾經來參加過全國高中數學競源賽。初賽的題目比任何學校公開的數學考試的最後一題都難。建議你買一本高中數學競賽題看一下，上面有很多例子。初賽的題目目標是讓百分之五十的人題目意思都看不懂，讓百分之九十九的人根本無從下手如何解題。只讓百分之一的人能做出來。

3. 高中數學競賽題！

第一題只是個配方，第一個平方根是k[a(n)+1],第二個平方根是（k+1)a(n),然後把配好的n減去1就是a(n)了，不會打平方根不打了=。=
第二題用數學歸納法最好，因為一試就知道了所有值都是1，我就不多說了
第三題你說的不清楚啊，我姑且理解成在小三角形里再做小三角形吧，相似三角形面積比等於邊長的平方的比，設第一個三角形是原三角形的N分之1，那麼第二個就是第一個的N分之一，是原三角形的N方分之一，即解方程1/N+1/N^2+1/N^3。。。，將此方程左右乘N，然後相減，得N=2，所以邊長就是根號2倍，然後看三角形BA1B1，已知BA1+BB1=根號2倍的B1A1（由對稱性得知），然後用餘弦定理算出BB1，之後用正弦定理可算出艾爾法角的正弦值，結果我查正弦值沒查出來，看來不是個整數，也可能我算錯了。。。有問題可問我，實在是不會打符號，就不給你打結果了，期望其他人能給出答案

4. 歷屆高中數學競賽試題及答案

2011年全國高中數學聯賽江西省預賽
試 題

一、填空題（每小題10分，共 分）
、 是這樣的一個四位數，它的各位數字之和為 ；像這樣各位數字之和為 的四位數總共有 個．
、設數列 滿足: ,且對於其中任三個連續項 ,都有: .則通項 ．
、以拋物線 上的一點 為直角頂點，作拋物線的兩個內接直角三角形 與 ，則線段 與 的交點 的坐標為 ．
、設 ，則函數 的最大值是 ．
、 ．
、正三棱錐 的底面邊長為 ，側棱長為 ，過點 作與側棱 都相交的截面 ，那麼， 周長的最小值是 ．
、滿足 的一組正整數 ．
、用 表示正整數 的各位數字之和，則 ．
二、解答題（共 題，合計 分）
、（20分）、設 ，且滿足： ，求 的值．

、（ 分）如圖， 的內心為 ， 分別是
的中點， ，內切圓 分別與邊 相切於 ；證明： 三線共點．

、（ 分）在電腦屏幕上給出一個正 邊形，它的頂點分別被塗成黑、白兩色；某程序執行這樣的操作：每次可選中多邊形連續的 個頂點（其中 是小於 的一個固定的正整數），一按滑鼠鍵，將會使這 個頂點「黑白顛倒」，即黑點變白，而白點變黑；
、證明：如果 為奇數，則可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成白色，也可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成黑色；
、當 為偶數時，是否也能經過有限次這樣的操作，使得所有的頂點都變成一色？證明你的結論．

解 答

、 ．提示：這種四位數 的個數，就是不定方程 滿足條件 ， 的整解的個數；即 的非負整解個數，其中 ，易知這種解有 個，即總共有 個這樣的四位數．（註：也可直接列舉．）
、 ． 提示：由條件得，
，
所以
，
故 ，而 ；

；
於是
；
由此得
.

、 ．提示：設 ，則

，
直線 方程為
，
即 ，因為 ，則
，
即
，
代人方程得
，
於是點 在直線 上；
同理，若設 ，則 方程為
，
即點 也在直線 上，因此交點 的坐標為 ．
、 ．提示：由

所以，
，
即
，
當 ，即 時取得等號．
、 ．提示：

．
、 ．提示：作三棱錐側面展開圖，易知 ∥ ，且由周長最小，得 共線，於是等腰 ， ，
，
即 ， ，
，
所以 ，由 ，則
．
、 ．提示：由於 是 形狀的數，所以 必為奇數，而 為偶數， 設 ， ，代人得
，
即
. ①
而 為偶數，則 為奇數，設 ，則
，
由①得，
， ②
則 為奇數，且 中恰有一個是 的倍數，當 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為
，
即 ，於是 ；
若 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為 ，即 ，它無整解；
於是 是唯一解： ．
（另外，也可由 為偶數出發，使

為 的倍數，那麼 是 的倍數，故 是 形狀的偶數，依次取 ，檢驗相應的六個數即可．）

、 ．提示：添加自然數 ，這樣並不改變問題性質；先考慮由 到 這一千個數，將它們全部用三位數表示，得到集 ，易知對於每個 ，首位為 的「三位數」恰有 個： ，
這樣，所有三位數的首位數字和為
.
再將 中的每個數 的前兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合仍是 ，
又將 中的每個數 的首末兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合也是 ，由此知
．
今考慮四位數：在 中，首位（千位）上，共有一千個 ，而在
中，首位（千位）上，共有一千個 ，因此
；
其次，易算出， . 所以，
．
、由
，
即
，
平方得

所以

，
即
，
所以
．

、如圖，設 交於點 ，連 ，由於中位線 ∥ ，以及 平分 ，則 ，所以 ，因 ，得 共圓．所以 ；又注意 是 的內心，則
.
連 ，在 中，由於切線 ，所以
，
因此 三點共線，即有 三線共點．
、 證明：由於 為質數，而 ，則 ，據裴蜀定理，存在正整數 ，使
, ①
於是當 為奇數時，則①中的 一奇一偶．
如果 為偶數， 為奇數，則將①改寫成：
，
令 ，上式成為 ，其中 為奇數， 為偶數．
總之存在奇數 和偶數 ，使①式成立；據①，
, ②
現進行這樣的操作：選取一個點 ，自 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了奇數次（ 次），從而改變了顏色，而其餘所有頂點都改變了偶數次（ 次）狀態，其顏色不變；稱這樣的 次操作為「一輪操作」，由於每一輪操作恰好只改變一個點的顏色，因此，可以經過有限多輪這樣的操作，使所有黑點都變成白點，從而多邊形所有頂點都成為白色；也可以經過有限多輪這樣的操作，使所有白點都變成黑點，從而多邊形所有頂點都成為黑色．
、當 為偶數時，也可以經過有限多次這樣的操作，使得多邊形所有頂點都變成一色．具體說來，我們將有如下結論：
如果給定的正多邊形開初有奇數個黑點、偶數個白點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全黑，而不能變成全白；反之，如果給定的正多邊形開初有奇數個白點、偶數個黑點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全白，而不能變成全黑；
為此，採用賦值法：將白點改記為「 」，而黑點記為「 」，改變一次顏色，相當於將其賦值乘以 ，而改變 個點的顏色，即相當於乘了 個（偶數個） ，由於 ；
因此當多邊形所有頂點賦值之積為 ，即總共有奇數個黑點，偶數個白點時，每次操作後，其賦值之積仍為 ，因此無論操作多少次，都不能將全部頂點變白．
但此時可以變成全黑，這是由於，對於偶數 ，則①②中的 為奇數，設 是多邊形的兩個相鄰頂點，自點 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了偶數次（ 次），從而顏色不變，而其餘所有 個頂點都改變了奇數次（ 次）狀態，即都改變了顏色；再自點 開始，按同樣的方法操作 次後，點 的顏色不變，其餘所有 個頂點都改變了顏色；於是，經過上述 次操作後，多邊形恰有 兩個相鄰頂點都改變了顏色，其餘所有 個點的顏色不變．
現將這樣的 次操作合並，稱為「一輪操作」；每一輪操作，可以使黑白相鄰的兩點顏色互換，因此經過有限輪操作，總可使同色的點成為多邊形的連續頂點；
於是當多邊形開初總共有偶數個白點時，每一輪操作又可將相鄰兩個白點變成黑點，使得有限輪操作後，多邊形所有頂點都成為黑色．
同理得，如果給定的正多邊形開初總共有奇數個白點、偶數個黑點，經過有限次操作，可以使多邊形頂點變成全白，而不能變成全黑；（只需將黑點賦值為「 」，白點賦值為「 」，證法便完全相同）．

5. 求近五年全國高中數學競賽試題及答案

http://www..com/s?wd=%BD%FC%CE%E5%C4%EA%C8%AB%B9%FA%B8%DF%D6%D0%CA%FD%D1%A7%BE%BA%C8%FC%CA%D4%CC%E2%BC%B0%B4%F0%B0%B8&tn=yxmaomao_pg&bar=
http://www.mathssky.net/Soft/ShowSoft.asp?SoftID=917
http://www.hopecup.org/hopecup_ver3/default.asp
http://www.k12zy.com/word/07/31/073117.htm
http://www.swxl.com.cn/match/ShowClass.asp?ClassID=206&page=2
http://www.qsng.cn/html/jykj/gzqgview/2006061470377.html
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6. 高中數學競賽組合題

分太少，我高考數學148.這題小KS。至少要500分

7. 高中數學競賽題

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8. 高一數學競賽最經典的60道題

這太難了...還得是高一的,教你偷個懶,平面幾何和數論在高中競賽中沒有內明顯的年級劃分,你網上各容搜30道完事...你要想麻煩的話就先把高一課本目錄熟悉遍,然後下載幾套卷子,把符合要求的題復制下來就好了.
推薦一道經典的趣味題(算高幾的我不知道...)
證明:平面封閉等周長圖形中圓面積最大

9. 高中數學競賽題

這個不是很難，關鍵是我們只需考慮x大於0的情況，因為x小於零和x大於零是一樣的。

10. 高中數學奧賽題

分情況討論。 1. 五位數中，1，2，3三個數字其中一個出現3次，其餘兩個數字各出現1次。即AAABC這種模式。從5個數位里取兩個對BC做排列，剩餘的填A。A有3種可能。共有3*P(2,5)=60個。 2.五位數中,1,2,3三個數字其中兩個出現2次，剩餘一個數字出現1次。即AABBC這種模式。從5個數位里取1個填C，剩餘四個數位對AABB做排列。C有3種可能。共有 3*5*C(2,4)=90個。所以這樣的五位數共有150個。