數學創新
一、引言
創新是人類真知的全部來源。在人類從蠻荒走向文明，從蒙昧走向有知，從遠古走向現代的漫長歷程中，每一次進步都體現著創新的思想光華。可以毫不誇張地說，人類發展的生長點在於人的創造力。[1]
「創新是一個民族的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭動力。」從當今社會的發展和對人才需求的角度來看，社會對人才的評價標准發生了巨大變化，不但要求知識淵博，具有合作能力、團隊精神，還要求具有創新意識、創新精神和創新能力。「教育是知識創新、傳播和應用的主要基地，也是培育創新精神和創新人才的重要搖籃。無論在培養高素質的勞動者和專業人才方面，還是在提高創新能力和提供知識、技術創新成果方面，教育都具有獨特的重要意義。」因此培養和發展學生的創新能力理所當然地成為新一輪教育改革中新課程目標的一個極其重要的組成部分。[2] 數學是基礎教育的主要內容，是三大主科之一，在數學課堂教學中培養學生的創新能力是時代對我們教育提出的要求。培養學生的創新能力成為數學教學的一個重要目的和一條基本原則。那麼如何在數學課堂教學中培養學生的創新能力呢？
二、數學教師自身要具有創新精神
教師自身所具有的創新精神是數學課堂教學中培養學生創新能力的重要因素，這是因為學生知識的獲得能力的形成與教師的主導作用是分不開的，教師自身具有的創新精神會極大地鼓舞學生的創新熱情。因此教師要不斷努力提高自身的創新能力，掌握更具有創新性、更靈活的教學方法，在教學實踐中，不斷探索和創新、不斷豐富和提高自己。
(一) 要克服經驗主義， 具有現代化教育觀念
每一個教師在教學過程中,都會獲得很多成功的經驗，尤其是老教師，具有豐富的教學經驗，有一位經驗豐富的數學老教師曾經這樣說過：「教了幾十年了，都是這一種教法，還改什麼革啊！還是留給年輕一代的新教師吧！」這些教師只憑經驗教學，不考慮如何改進教學方法，使自己缺乏創新意識。有一句古話說：活到老，學到老。意思是說人只要活著就要學習，就要不斷改進自己，跟上時代的步伐。作為創新型的教師，就要克服經驗主義、不斷改進教學方法，做到與時俱進。
具有現代化教育觀念，是作為一個創新型教師的前提。創新型教師要有遠大的目光，在教育觀念上有超前意識，能夠根據科學與社會的發展趨勢確定新的教育理念,不斷更新思想,拓寬自己的知識視野,時刻關注國內外的最新的教育動態,以適應時代的發展要求。
(二) 要有堅實的業務素質，勇於探索的改革精神,
教師應不斷完善自己的知識結構，不僅要熟練數學學科的知識，還要了解其他學科的相關知識，善於吸收自然科學與社會科學領域的最新知識，融匯貫通，不斷擴大知識面，高屋建瓴的理解數學學科的知識。
創新就要勇於探索，勇於向傳統的思維模式發起挑戰。任何科技成果的產生，都是經過多次反復試驗成功，沒有探索就沒有成功、沒有探索就沒有改革、沒有探索就沒有現代的社會，要做一名創新型教師，就要大膽的改革課堂教學，改變傳統教學模式中不適應培養學生創新能力的教學。
（三） 建立良好的師生關系，營造平等和諧的新型師生關系
傳統的師生關系重於「師道尊嚴」，很多教師教育學生要聽話，老師的話就是聖旨，不允許學生有任何反抗。在頂崗支教活動中，聽課時發現學生在課堂上非常安靜，既不回答問題，也不提出問題，該課的數學教師在課堂上一直處於自問自答的狀態。課後我問學生：「上課時你們為什麼不回答老師的問題？」學生回答說：「老師平時太嚴厲了，我們都怕他，回答錯了會挨罵的，所以我們不敢回答問題。」學生在教師面前唯唯諾諾，不想說，不敢說，久而久之，學生活潑的個性會變得壓抑沉悶，連個性都不存在了，還怎麼能創新呢？羅傑斯提出「有利於創造活動的一般條件是心裡的安全和心裡的自由」。良好的師生關系可以使學生產生安全感，樂於接受教師的教育和影響，激發學習興趣，集中學習的注意力，啟發積極思維。[3] 我在我的課堂上鼓勵學生回答問題，回答的正確，我就會表揚他們，回答的錯誤，我也會鼓勵他們勇氣可嘉，幾周下來後，我的課堂上是生機勃勃，同學們踴躍回答問題，探討問題。只有營造平等和諧的師生關系，以德服人、以理服人、以知服人。樹立師生平等的觀念。讓學生在課堂上敢說、敢做。
三、數學教師應克服對創新認識上的偏差
一提到創新教育，有些教師往往會想到一些如小製作、小發明等等脫離教材的活動；或者是藉助問題，讓學生去想去說，想的越怪、說的越離奇就是創新，從而走入了另一個極端。
（一） 教師要從真正意義上理解什麼是創新
創新，是永無止境的更新，包括觀念、方法的不斷改進，是在辯證的否定中對原事物的揚棄，創新是指人類文明的正面進步。[4] 其實每一個合乎情理的新發現，別出心裁的觀察角度，自主發現一個新問題、提出一個新問題等等都是創新。一個人對於某一個問題的解決是否具有創新性，不在於這一問題及其解決是否已經有人做過，而關鍵是在這一問題及其解決對於這個人來說是否新穎、獨特。例如：在在三角形內角和的教學中，學生通過觀察會發現三角形的內角和為 ，怎樣證明三角形的內角和為 呢？學生看懂書上的證法後就會受到啟發，就會想到過三角形的一個頂點作底邊的平行線，利用平行線的性質證明三角形的內角和為 ，這樣的教學過程就是創新。學生也可以創新，也必須有創新能力。
（二） 教師要挖掘教材，高效的駕馭教材
教師可以通過挖掘教材，高效的駕馭教材，把與時代發展相適應的與學生生活貼近的新知、新問題引入課堂與教材內容相結合，激起學生的學習興趣，引導學生主動探究。讓學生掌握更多的方法和技能了解更多的知識，從而培養學生的創新能力。
四、教師在數學課堂教學中應善於激發學生的創新興趣
興趣是最好的老師。興趣是創造一個歡樂和光明的教育環境的主要途徑之一。學生的學習動機和求知慾、學習的積極性和主動性是形成創新意識的重要條件。激發和鼓勵學生的濃厚學習興趣是培養學生創新能力的前提。所以在數學課堂教學過程中，教師要想盡辦法激發學生心中探求新知的慾望，激發學生主動探究的興趣。
(一) 激活學生的創新慾望
創新慾望是人類與生俱來的一種本能，蘇霍姆斯基說「人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者」。然而學生最初的創新慾望，只是一種朦朧的、潛藏的、無意識的本能，它沒有明確的、穩定的指向，這就需要教師在課堂教學中把它激發出來。
(二) 聯系生活實際，激發學生的創新興趣
數學源於生活，用於生活。教師可以通過解決一些生活中的實際問題來激發學生的學習興趣，比如：在「圓的認識」的課堂教學中，教師可以用這樣一個問題引入課題「大家都知道車軲轆是圓的，為什麼我們的祖先要把車軲轆設計成圓的，而不設計成方的或其他形狀呢？我們的祖先是怎樣得到圓的呢？」
(三) 利用數學中圖形的美培養學生的創新興趣
生活中有大量的圖形，有些是幾何圖形本身，有些是依據數學中的某些重要理論而產生的，有些是幾種幾何圖形的組合，它們具有很強的審美價值，比如生活中的剪紙，實際上就包含著軸對稱圖形和中心對稱圖形的知識。在數學課堂教學中盡量把實際生活中美的圖形引進來，讓學生體會數學圖形給生活帶來的美的感受，使學生產生創造的慾望，激起學生創新的興趣。
(四) 合理滿足學生好勝的心理，培養創新的興趣
學生都有強烈的好勝心理。如果學生在學習中屢屢失敗會對學習失去信心不利於培養學生的創新能力。教師要創造合宜的機會讓學生感受成功的喜悅，增強學生的自信心，這對培養他們的創新能力是十分必要的，比如展開一些比賽、晚會、故事演說等活動讓學生在活動中充分展現自我，發揮自己的聰明才智，找到生活與數學的結合點，感受自己勝利的心理，體會數學給他們帶來的成功的快樂。
(五) 利用數學歷史知識激發學生的創新興趣
學生一般喜歡聽趣人趣事，在課堂教學中結合學習內容講述數學發展的歷史和歷史上數學家的故事，像數學理論所經歷的滄桑，數學家成長的事跡，數學家在科技進步中的貢獻，數學中某些理論的來歷，既可以讓學生了解數學的歷史、豐富知識，又激發學生學習和創新的慾望。例如：在三角和內角和定理的教學中可以引入這樣一個故事：「著名的數學家蘇步青在初二時，為了證明三角和內角和定理，查閱了大量的數學資料，最終用二十多種方法證明了三角形內角和定理。」 [5] 這樣就會引起學生的創新興趣，努力尋找三角形內角和定理的不同證明方法。
五、教師應鼓勵學生解決數學問題，通過質疑、解疑來培養學生的創新能力
(一) 引導學生發現問題、提出問題
提出問題是一種創造性的思維活動，體現出個體善於思考、敢於質疑、勇於猜想、勤於探索、敢於創新的個性品質。創新源於問題。[6] 在數學課堂教學中要發展學生的個性，培養其創新能力就必須要引導學生發現問題、提出問題。
比如在講配方法解一元二次方程時，教師就可以把一元二次方程與完全平方公式聯系起來，讓學生觀察完全平方公式，讓他們從中發現一次項系數與常數項的關系：
例：解一元二次方程：⑴ ;⑵ .
在解一元二次方程 時學生們會發現方程的左邊為完全平方式直接就可以得到 從而解出該方程的解 ， 。解一元二次方程 時，剛開始時學生可能不會解，這時就需要教師引導學生把第一個一元二次方程與第二個一元二次方程聯系起來，學生就會發現在第二個方程的兩邊分別加上9左邊的式子就變成完全平方式，即： ，從而解得 ， 這時有些學生就會問「為什麼一定用9加其他的數不行嗎？」如果沒有學生問這時就需要教師引導學生向學生發問：「除了9還可不可以用其他的數？」引起學生的思考，讓學生通過將一組數分別加入一元二次方程中，這時學生就會發現其他的數都不行，這時學生就會問：「為什麼一定是9，而其他的數不行呢？」這樣就引導學生發現、提出問題。
(二) 當學生發現、提出問題後，教師要及時引導和鼓勵學生去解決問題
讓學生解決問題，可以培養學生的動手操作的能力，動手操作是創新活動走向成功的必經之路。解決問題還可以增強學生的自信心，更能讓學生償到成功的喜悅，還可以加深學生對知識的理解和記憶。比如上面的例題中學生提出了：為什麼是9而其他數不行？這時教師就應該引導學生動手解決這個問題教師可以讓學生舉出一些完全平方式如 , ， ， …讓學生對這些完全平方式進行觀察，看一看方程中一次項系數與常數項的關系，學生可以很容易發現一次項系數的一半的平方與常數項相等，現在學生就會明白為什麼是9而不能是其他數。在學生自己找出了問題的原因的同時也掌握了用配方法解一元二次方程的方法。
六、鼓勵學生求異，發展學生的發散思維能力
求異思維是創造性思維發展的基礎，因此在數學課堂教學中要注意培養學生求異思維和創新意識，讓學生全方位多角度地思考問題，鼓勵學生要突破定勢、打破常規、標新立異，大膽嘗試、勇於求異，激發學生的創新慾望。發散思維能力有助於提出新問題、孕育新思想、建立新概念、構築新方法，「數學家創造能力的大小應和他的發散思維能力成正比」。[7] 一題多解是培養發散思維發展數學創造思維的有效途徑。在求異過程中不但可以使學生獲得解決問題的簡捷方法，還有利於各層次的同學參與，有利於創新思維能力的發展。
例如，在立體幾何的教學中，可以通過這樣一道題來發展學生的發散思維能力。
例，某些關於三角形的定理，可以通過升維類比方法提出有關四面體命題的猜想，任意舉出幾個這樣的猜想，同時分別確定這些命題的真假性。
解：1.任何三角形都有一個外接圓和一個內切圓。
猜想：任何四面體都有一個外接球和一個內切球。真命題
2.三角形外接圓的圓心到三角形各頂點的距離相等。
猜想：四面體的外接球的球心到四面體各頂點的距離相等。真命題
3.三角形內切圓的圓心到三角形各邊的距離相等。
猜想：四面體的內切球的球心到四面體的各面的距離相等。真命題
4.等邊三角形內任意一點P到三角形三邊的距離之和為常數。
猜想：正四面體內的任意一點P到其各面的距離之和為常數。真命題
5.三角形三條中線交於一點，且交點分每條中線比為2：1。
猜想：四面體，四條中線（頂點與底面重心連線）交於一點，且交點分每條中線的比為3：1。真命題
6.在Rt△ABC中，∠C=90°有 。
猜想：四面體P—ABC的三條側棱兩兩垂直它的四個面的表面積 , , , 有 。真命題
7.由三角形餘弦定理有 。
猜想四面體中：
。真命題
此題答案寬泛，學生可以從不同的角度寫出不同的答案，有利於培養學生求異思維能力，從而培養學生的發散思維能力發展學生的創新能力。
七、教師要引導學生參與「再創造」過程，以培養學生的創新意識
學生所學的知識是人類經過發明創造已經得出的成果，因此，數學教學中使學生領會到知識形成的過程，在教師的指導下自己經歷某個知識發現與形成的過程，對學生創新意識的啟發與培養有著基礎性的作用，因為這樣的教學過程實際上是讓學生參與「再創造」過程。在教學中教師要採用靈活多樣的教學方法訓練和鼓勵學生的創造性思維，例如一位老師在「一元二次方程的解法—因式分解法」(人教版)解決問題：一個數的平方與這個數的三倍能否相等？如果相等，這個數是幾？學生已經學會了配方法和求根公式法他們是這樣解的：
解：設這個數是x，則根據題意得：
，整理得：和
解得： ，
答這個數是3或著0
解：設這個數是x，則根據題意得：
，整理得：
令a=1，b=-3，c=0，
答這個數是3或者0
教師啟發學生能不能用以前學過的多項式的因式分解，於是有的學生就會提出如下解法：
解：設這個數是x，則根據題意得：，整理得：
(方程左邊式子因式分解的提公因式法)
解得： ，
答這個數是3或者0。
由於教師對學生靈活的思路及時加以肯定，課堂教育氣氛非常活躍，學生們都躍躍欲試。這樣的教學就是在啟發學生的創新意識。
教師還可以利用開放題培養學生的創新意識和創新能力。「開放題的核心是培養學生的創新意識和創新能力」。[8] 開放題自身的條件不完備、答案不確定，要解答開放題就需要學生能夠打破常規、敢於設想、敢於想像。想像是創新的基礎。在解答開放題的過程中，往往會出現一些預料之外的事情，如：引出新的問題或引申推廣出更一般的問題，因而，開放題有利於發展學生的創新意識和創新能力。
隨著數學課程改革的深入，社會對人才的要求，我們教師要更新觀念、更新思想，在課堂教學中重視學生個性和創新思維能力的培養，鼓勵學生進行自主探索、自覺應用數學知識、自主發現問題、解決問題，為社會培養更多的創新性人才。
B. 什麼是數學創新思維
眾所周知，在數學活動乃至一般的實踐活動中，誰都希望自己具有較強的思維能力。這主要取決於一個人的思維品質。思維的發生和發展，既服從於一般的、普遍的規律性，又表現出個性差異，這種個性差異體現在個體思維活動中的智力特徵方面就是思維品質，有時也稱思維的智力品質。就數學思維來說較為重要的思維品質有深刻性、廣闊性、靈活性、創新性、目的性、敏捷性以及批判性。下面就數學思維的創新性談一談自己的認識。
思維的創新性與思維活動的獨創性、創造性或創造性思維具有相同的含意，只不過創新性強調「新穎」而已，也就是說，創新性是指獨立思考創造出有社會(或個人)價值的具有新穎性成分的成果的智力品質。它的特點是主體對知識經驗和思維材料進行新穎的組合分析、抽象概括以致達到人類思維的高級形態；它的結果，不論是概念、理論、假設、方案，或是結論，都包括著新的因素，它是一種探新的思維活動。當然，這種新穎不是脫離實際的荒唐，而是具有社會價值的新穎。它可能被人們所忽視或誤解，但它的見解或產物，最終會被社會所承認。
在數學教學中，思維的創新性主要表現在學習數學的過程中善於獨立地思索、分析和解答問題，提倡探討與創新精神，當然也包括小發明創造。做為教師，要自覺地啟發學生多提問題，提問題是思維的結果，也是創新的開始，不要給學生立下很多規矩，更不要打棍子，即學生在學習過程中常會提出許多不同的看法或新見解，它往往蘊藏著智慧的萌芽，哪怕只有一點點新意，也應充分肯定和大力鼓勵。
在中學，思維的創新性更多地表現在發現矛盾以後，把知識融匯貫通，以進攻的姿態，突破矛盾，最終解決問題。例如：
求證：
分析：該題純從三角去考慮，是較繁瑣的。如果想到單位圓上的點，而點，那麼欲證命題成立，只須證即可。又數列，故成立。
(方法二)，想到單位圓上的點 ，而點 又對應著向量那麼欲證命題成立，只須證即可。又向量可看作力，進而想到大小一樣，終端分布在正n邊形的n個頂點上的共點於正n邊形中心的力系，其合力為零。故成立。證明(略)。
用數學方法解決物理問題似乎理所當然，但反過來用物理方法去解決數學問題卻不太被人們重視，但對有些問題這樣去做不僅解法新穎，具有創新性，而且強化了各科之間的相互聯系、互相滲透。
思維的創新性的反面是思維的保守性，它的主要表現是在數學學習中受到各種條條框框的限制，思維受束縛，不願多想問題，只求現成的「法規」，而產生思維的惰性。消除思維保守性的有效方法是提倡學生多思和多問幾個為什麼，在加強基礎知識和基本訓練的前提下，提倡學生獨立思考。
21世紀人才競爭的焦點在於培養具有創新思維的一流人才上。只有具有創新思維的人，才能領導和把握科技發展的潮流。作為教師，對學生創新思維的培養是我們義不容辭的責任，也是我們不斷探索的課題。
C. 關於數學中的創新意識
要懂得一些數學思想
例如，我們在做題時經常會用到數學中的轉化思想還有數形結合等，而且對於一道題，我們不要只求做出來了，看是否有更好的方法，開拓思路。題並不再做得多，而在於做得精。
還有，對於有些題，我們不能形成定向思維，懂得善於變通。這樣才行。
對於類型題善於累積
易錯題要注意
D. 數學專業領域的創新趨勢有哪些
數學專業，在大眾化的眼光看來，畢業後的就業前景無非是當老師或者搞科研，似乎太古板且就業道路狹窄。然而，這些都是偏見，數學專業畢業的研究生早已是金融界、IT界、科研界的「香餑餑」，數學專業的就業前景有你看不見的「前途似錦」!
E. 學而思數學創新A班
2880
F. 如何有效發展數學創新思維
創新思維已成為新課程改革中教與學的靈魂，是實施素質教育的核心；數學領域蘊含著豐富的創新教育素材，數學教師要根據數學的規律和特點,認真研究,善於利用，積極探索培養和訓練學生創造性思維的能力。
小學生正處於思維最活躍的年齡階段，所以小學六年是打好學生創新思維的基礎階段。因此，數學教師在教學過程中應充分運用各種有效的教學手段和方法，來培養小學生的創造思維能力。本人聯系多年教學實際，對如何培養小學生的創新思維能力談幾點粗淺的想法：
一、設疑激趣，拓寬思維時空
古人早有「行成於思毀於隨」的戒言，也有「學而不思則惘，思而不學則殆」的訓導，如果缺乏必要的深思熟慮，就不會促使思維從量變到質變的瞬間飛躍，迸放出創新的火花。「打開一切科學的鑰匙都毫無疑義的是問號，而生活的智慧大概就在於逢事都問個為什麼」。
在教學實踐中，教師要給學生創造充分的思維時空，既要張弛有度，遵循小學生生理和心理周期性起伏變化的規律，還要「處處留心搜求，把進行的其它活動或接觸到的其它事物有意無意地和自己思考的問題聯系在一起。這樣一遇到適當的剌激，就會觸發靈感的產生」。因此教師要靈活布設問題懸念，努力創設問題情境，以此激啟學生積極思考。特別是要腳踏實地，充分利用課堂教學的空間和時間，把握教材的內容特點，開拓創新思維的培養途徑。
以教學「10的分與合」一課時為例，我預先准備了一個盒子，盒子里裝了10支鉛筆。一上課，我請一名學生上台摸鉛筆，然後老師根據學生摸到的支數猜盒子里剩下的支數，經過幾次猜都猜對了，學生感到很好奇，然後老師趁熱打鐵，說：「因為老師知道了盒子里總共有10支，然後根據10的分成就能猜著了，你們想學會這個本領嗎？」數學知識的神奇力量激起了學生強烈的求知興趣，使學生趣味盎然地參與學習，積極思考。
又如：在教學小學數學第三冊《可能性》一課時，課伊始，我讓一名男生代表和一名女生代表上台進行摸球比賽，比賽規則是蒙上眼睛摸五次，摸到紅球次數多者為勝。結果女生代表每次都是紅球，這時男生有的生氣，有的責怪，有的打抱不平，說老師有「陰謀」。這樣的情境創設，激發了學生的興趣，形成知識之間的懸念，引導學生嘗試改變固定的、傳統的思維方式，拓寬數學思考的思維時空。
二、大膽猜想，培養求異心智
心智是一種直覺，它是非常靈活迅捷而復雜的心理活動現象，是在原有知識的基礎上，通過對事物的表象感知，借回憶、想像、猜測等心理活動，閃電般跳躍式地對事物本質進行判斷，它是創造思維的靈魂。牛頓認為「沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。」在訓練學生直覺思維方面，應鼓勵學生大膽猜想，敢於創新，沖破思維定勢，擺脫常規約束，允許學生突發奇想，甚至異想天開。對學生回答問題不要苛求過於嚴謹全面，讓它們發現什麼說什麼，想到多少說多少，說出表象的理解或猜想也可以，不一定要說個所以然；教師對學生獨到的見解或奇異的想法要因勢利導，引上思維的軌道，讓他們想出點門道來。
例如，在教學「能被3整除的數」時，我先讓學生猜一猜：「能被3整除的數」會有什麼特徵？有些學生可能受到「能被2、5整除的數」的特徵影響，都在猜測特徵是「個位數是3、6、9的數」。老師順勢出示一組個位是3、6、9的數，如13、16、19、23、26、29……結果學生發現這些數都不能被3整除，學生的思維因為猜想的落空陷入了困惑狀態，由此引發了他們解決疑惑的心理趨勢；而教師乘機再列出另一組數，如12、15、18、21、24、27……學生發現，這些數反而都是能被3整除。這樣，通過一系列的猜想與困惑，造成學生認知上不平衡，從而激發起學生繼續探索的慾望：為什麼後面這一組數都能被3整除呢？學生又帶著對這個問題的好奇心進行猜測探索，最後發現原來能被3整除的數的特徵是：一個數各個數位上的數的和能被3整除，這個數就能被3整除。
這種探索方法的基本程序就是：提出問題，學生猜想，探索規律，驗證結論。它就是要讓學生先敢於對數學問題進行大膽猜測，再通過探究尋找規律，這樣得到的知識對學生來說是有效的，得到的也不僅僅是一種知識，更多的是數學思維能力的訓練。
所以，在學習數學時，教師要鼓勵每個學生應有一點敢於猜想的意識，多進行「猜一猜」的活動。猜想是不受現成事實的束縛，它包含著可貴的大膽想像和推測的成分。教師要敢於通過「嘗試」、「猜想」等問題情景的創設，大膽暴露學生的思維過程，引導學生沿著合理的解題思路去思考。
當然，在猜想中，要提醒學生仔細觀察，分析已知，發現規律，以此類推；或者提醒學生利用結果，進行猜測，推而廣之。總之，猜想鍛煉的是學生發現規律，利用規律解決問題的能力，能讓學生活躍的思維在迸發、碰撞中激發出創新的火花。
三、開拓思路,誘發思維的發散性
徐利治教授曾指出:創造能力＝知識量×發散思維能力。思維的發散性，表現在思維過程中，就是思維不受一定解題模式的束縛，從問題個性中探求共性，尋求變異，多角度、多層次去猜想、延伸、開拓，是一種不定勢的思維形式。發散思維具有多變性、開放性的特點，是創造性思維的核心。在教學中，可採用多種變式練習來進行訓練：
（一）填空答案多樣化
教師要擅長改變教材和教綱的有限性，把唯一性的填空改編成一空多填式，以此對學生進行發散思維的培養。如在教完了20以內的進位加法後，為使學生更熟練計算進位加法，安排一組填空，要求其盡量多填，使等式成立：8＋5＝□＋□，□＋3＝6＋□，□＋□＝6＋5，9＋□＝□+7。
（二）問題解答多向化
從知道的條件進行多角度、全方位的審視，是產生思維多向性的關鍵，只要善於引導學生聯想以前學過的或從生活中具備的知識和方法，准確深入挖掘問題中具備的已知條件，努力探索，那麼學生就會在發現問題和解題方法上獨樹一幟。
例如，我在教學小學數學第四冊《統計》一課時，安排學生進行想想做做的練習：先出示一些杯子，師問：「你想按照什麼來進行分類並統計？」
學生1：有的杯子有把柄，有的杯子沒有把柄。
師：對，可以分成有把杯和無把杯。
學生2：有的杯子2元，有的杯子3元，有的杯子4元。
師：對，可以按照價格來分類統計。
學生3：有的杯子有顏色，有的杯子沒有顏色。
師：對，可以分成有色杯和無色杯。
學生4：有的杯子高，有的杯子矮。
師：對，也可以根據高矮來分類統計。……
我們可以看到，由於每個學生對事物的觀察和思考都具有自己的個性特點，假如只局限於自己個人的思考范疇內，學生只能認識到極為有限的事物統計標准，但是在教師有意的引導下，學生紛紛回答，讓不同的智慧火花在課堂上閃現，每個學生都在享受著集體的共同智慧結晶，打開了思維之大門。
（三）問題設計自主化
此類方式是指習題只給出已知條件，至於要求求解什麼、怎樣求解是需要學生自主設置的。訓練的目的是讓學生沿著嘗試多種方向設計問題，並能用相應方法解決問題。如：「由已知黃花9朵，紅花3朵」，師問：「你能提出哪些問題？」學生提出了求和、求差、求倍數關系的好多問題，此類訓練可以讓每個學生都會有機會發現自己數學智慧的一面，激起創新思維的主動性。
（四）解題思路發散化
在數學教學中培養學生創新的思維能力，「一題多解」是最切實可行切實有效的方法，是培養學生發散思維的一種好方法。教師要重視引導學生在解好一題後，不要滿足於結論，不要拘泥於常規，不束縛於定勢，而是通過有針對性的，有數學依據地開展積極思維，大膽設想，合理分析，探索和開發題目的「潛在價值」，在沿著不同的方向思考後，比較了多種解決問題的方法後，找出最佳方案，鍛煉學生敏捷的解題能力。具體來說，可以通過縱橫發散、知識串聯、綜合溝通等方法，達到舉一反三、融會貫通的效果。
1、在應用題解題中培養思維發散性
應用題解題方法多樣化，主要有利於培養學生思維的深刻性，針對具體題目讓學生尋找不同方法，換個角度思考、分析，可能得到意想不到的收獲。
如：小學數學第四冊有這樣一個應用題：「一輛公共汽車原有35個人，下車了9人，又上來了12人，現在車上有幾人？」大部分學生列式：35-9+12=38（人）,這毫無疑問是對的，不過，我沒有滿足，繼續問：「還有不同的想法嗎？」這時，一個小朋友舉起了他的小手：「我是這樣做的：12-9=3（人），35+3=38（人）。」好多小朋友瞠目結舌，然後就說：「不對吧」。另外有幾個小朋友發出了不同的聲音：「對的」，我讓這位小朋友說理由，他說：「12-9=3（人）求出的是上來的比下去的多的，多的加上原來的就是現在有的人數。」多麼精煉的回答呀！
以上兩種方法各具特色，妙趣橫生，我似乎看見學生的思維正自由馳騁於數學領域。
2、在計算題解題中培養思維發散性
在數學解題學習中，學生的主要任務並不是解題，而是學習解題，因此教師教的重點和學生學的重點，不在於「解」，而在於「學解」。所以教師要在盡可能不提供現成結論的前提下，讓學生親身獨立地進行數學解題活動，這就要求我們在教學預設時，不能僅僅滿足於預設解題過程和方法，更要預設教學過程和方法，倡導學生個體之間、群體之間的多向互動的格局，使學生與學生之間不斷交流解題信息。在此過程中，教師和學生分享彼此的解題經驗和認識，交流彼此的解題情感和體驗，真正為促進解題的思維創新提供可能性，這種理念，哪怕是在計算題的解題訓練中也一樣要得到落實。
例如：小學數學第四冊的筆算加法，這部分內容是在學習了口算加法的基礎上進行的。我出示了例題（352+234=？）之後就讓學生自己進行嘗試練習，然後巡視，讓我沒想到的是，學生在思考探索和交流之後，提供的解答方法竟然會這么異彩紛呈，我就趕緊讓他們上台板演。
這第三種方法尤令我驚異，驚異於學生居然有如此讓人出乎意料的數感。這也證明，計算中的多種解題方法練習，同樣非常利於達到誘導學生進行創新性發散思維的目的。
四、運用類比，訓練靈活多變的思維
類比是根據兩個對象或兩類事物間存在著的相同或不同屬性，聯想到另一類事物也可能具有某種屬性的思維方法，是發現問題、探索解決問題途徑常用的數學思維方法，是創造性思維的精髓。利用類比思維可使學生加深對基礎知識的理解，舉一反三，融會貫通，發現新的數學知識；可培養學生的發散思維、創造思維及合情推理能力，即遇到新的問題，從形式結構的表象聯想似曾相識的舊知識，進一步從感性認識深化到它們的內在聯系，以舊喻新，類比新的知識，發現新的理論。
如六年級有這樣一道題目：「甲乙兩地相距240千米。快車從甲地開往乙地要4小時，慢車從乙地開往甲地要6小時，兩車同時從兩地出發相向而行。多少小時相遇？」老師要求學生解答，並說出思路。
生1：240÷（240÷4＋240÷6），先求出甲和乙的速度和，路程除以速度等於時間。
這時，老師問：「還有其他解法嗎？」一個平時不太愛發言的學生舉手了，他說：「我是這樣想的，把兩地相距的路程看作單位『1』，可列式為1÷（1÷4＋1÷6）」。
很明顯，這個同學利用的是類比思維方式。在解決問題過程中，他從要解決的問題出發，受「題型特點」的啟示，聯想與它類似的一個熟悉的問題即工程問題，想到曾做過類似題目，並以這個類似題目作為中介，又想到了某種解題方法和技巧，而後進行分析，用熟悉的解法來思考解答所要解決的問題，這種創造思維的火花可以感染全班的每一位同學。
五、實踐是創造思維能力的練兵場
（一）充分利用游戲，創新思維在實踐中觸發
楊振寧博士曾作過這樣的對比，中國學生學習成績比一起學習的美國學生好得多，然而十年後，科研成果卻比人家少得多，原因何在？其實就在於美國的學生思維活躍，動手能力和創新能力強。針對小學生在平時學習中缺乏參與性活動這一現狀，新教材為學生設計了大量的、具有思考價值的游戲、比賽，（如：對口令、猜數、青蛙過河等等），我很重視這些形式的題目，在課堂上總是多給學生一些自由的時間，讓學生多進行一些創造性的活動，使每個學生都能積極地參與到課堂中來，開動腦筋、拓寬思維。
如在教學進位加法的練習課時，這節課的主要目的是使學生熟練口算20以內的進位加法。於是我用了三個游戲把整節課貫穿起來。首先是個人搶答賽。老師出題學生搶答或學生互相出題，這個游戲的設計主要是培養學生思維的敏捷性。接著是小組合作爭優賽。4人一組，用三個數組成4個算式，比比哪個組想的算式最多。這個游戲不僅使學生對整體與部分的關系有了深刻的認識，還培養了學生思維的整體性和合作競爭的意識。最後「吃魚」這個游戲把整個課堂氣氛烘托起來，學生們個個躍躍欲試，學習情緒高漲。游戲是這樣的，每人一條魚，每條魚的上面都有一道題，只要能大聲地讀題說得數，這條魚就送給你。學生們不僅要把自己的題說對，還要對其他同學的題進行判斷，大大提高了練習的強度。游戲是以「開火車」的形式進行的，又提高了練習的時效性。這節練習課，雖然沒有讓學生動筆去寫，但它的練習強度和效率是顯而易見的，在練習課中學生的思維異常活躍。
由此可見，豐富多彩、富有創造性的活動和練習不但能夠收到意想不到的效果，還能夠使每一個學生從中體驗到學習給他們帶來的快樂。
（二）捕捉生活素材，創新思維在實踐中提升
任何知識都來源於生活，形成於實踐，又指導實踐，推動科學技術的發展，而學習掌握它，如果脫離實踐就成為無源之水。富勒說過：「理論是一種寶庫，而實踐是它的金鑰匙。」我們要力求引導學生，通過閱讀、練習、觀察、實驗、討論等多種形式，使學生動腦動口動手，在親自參與下獲取知識，熟練技能，領悟理論的本質。組織學生互相討論，發揮學生各自思維個性差異的優勢，使他們相互間的思維「推波助瀾」，形成多維立體交叉的思維信息網，教師隨時點撥指導，使思維產生躍變。
比如一年級的小朋友剛接觸減法，學校里正好組織秋遊，游覽的路上，我就有意地問：「沈望，你帶了幾個橘子？」「5個。」「已經吃了幾個？」「2個。」「還剩幾個？」「3個。」「你能用一個算式表示嗎？」「5-2=3」，其餘小朋友也爭先恐後地喊道。
在回家的路上，我問小朋友：「今天玩得開心嗎？」
生：「開心。」
師：「都玩了哪些項目呀？」
生：「射箭、打氣球、野炊、爬山……」
師：「今天的秋遊活動中，你發現了數學問題嗎？」
思考片刻。
生1：「叔叔給了我5支箭，我一支一支地射，一會兒全射光了。」
師：「你能用算式表示嗎？」
生1：「5-5=0。」
師：「真好。」
生2：「媽媽給我4元錢，我用掉了2元，還剩2元，4-2=2。」
生3：「我帶了2個麵包，被我吃光了，2-2=0」
生4：「牆上有10個氣球，我打破了一個，還剩9個，10-1=9」
……
在這樣的問題解決情景中，由於是從學生的生活入手進行數學知識的訓練和鞏固的，學生更願意交流，更願意表達自己的想法，迸發出了學生思維的火花，創新思維在實踐中得到了提升。
又如：我在教學《元角分的認識》一課，在課堂上創設了一個在商店內買賣物品的模擬場景，讓學生經歷「買賣物品」，然後延伸到家庭生活中，布置了一個特殊的課外作業，讓學生星期天跟媽媽上菜場買菜或上商場購物，試著幫媽媽付錢、算帳，回學校後相互交流自己購物、付錢和算帳的經過，說說自己懂得了什麼，還有什麼困難。針對學生的交流再作小結。
如：有位同學說自己的購物經歷：「我用一元錢去買了兩枝鉛筆、一塊橡皮，鉛筆2角錢一枝，共4角錢，橡皮5角錢一塊，還找回一角錢。」
單憑課堂上的講解、練習是很難達到這種效果的，學生在親身實踐中發散了思維。
美國教育學家第斯多惠說過：「教學的藝術不在於傳授的本領，而在於激勵、喚醒、鼓舞。」因此，教學實質上就是設法激啟學生自覺學習的興趣，讓他們親自參與學習，只有多參加實踐，多體驗生活，積累生活的第一經驗，儲備直覺思維的感性素材，才有可能升華為抽象思維的理性認識，產生廣闊的思維聯想，進而進行歸納、類比、推猜，發現新的事物，建構新的理論。
總之，雖然數學具有嚴謹的邏輯性，但這只是對於理論的完成形式推演論證而言，而理論的學習掌握，解題思路的形成或數學知識的應用，特別是數學知識的發展完善，新理論的發明建構，都離不開靈活自由的創造性思維，它推動人類的進步，創造人類文明，是人類發展進步的巨大財富。我們每一個教育工作者，一定要重視學生創新思維能力的培養，為學生提供思考、探索和創新的具有開放性和選擇性的最大空間，我們就能引導學生自己發現問題，進行創造性學習，培養創新思維，為成為適應二十一世紀科技發展所需要的人才奠定基礎
G. 數學課堂如何創新
從觀察中引發學生創新
觀察是培養學生創新思維能力最基本、最重要的手段和方法。這是因為小學生對數學知識的認識始於感知，有了充分的感知才能形成豐富的表象，展開聯想，有所感悟，獲取知識。因此，在小學數學教學中，教師要注意創設讓學生觀察的條件，引導學生仔細地進行觀察，從而為學生提供豐富的感性材料。
例如：在教學《圓的認識》一課為什麼把車輪設計成圓形的這一問題時，用動畫模擬小猴駕駛汽車的車輪分別是方的、橢圓的和圓的三種情況，並配上音樂效果，讓學生注意觀察，教師及時進行誘導，要求學生通過觀察比較來選擇乘坐哪輛車舒服？哪輛車不舒服？為什麼？由於創設了讓學生身臨其境的情景體驗，學生對這個問題就很容易理解，也為學生發展創新思維奠定了良好基礎。
從質疑中激勵學生創新
愛因斯坦說過：「提出問題比解決問題更重要。」事實上，愛提問題的學生就是善於積極思考、富有創見的學生，小學生具有強烈的好奇心和求知慾。
教學實踐告訴我們：保護和激發他們的好奇心和求知慾，讓學生學會質疑問難，從無疑到有疑再到無疑，是調動學生學習數學的積極性和創造性、提高學生學習能力的有效途徑。因此，「疑」是思維的開端、創新的基礎。所以，在教學中我們要充分運用現代教學手段創設問題情境，鼓勵學生質疑問難，從而培養學生的創新能力。
例如：在教學《三角形的內角和》時，有的學生提出三角形的內角和一定是180度嗎？這時教師不急於給學生解答，而是引導學生分組合作，共同研究。通過在不同的物體上畫三角形，度量內角和不是180度，球越大三角形的內角和也就越大。正是在這種質疑問難、自由討論的過程中，學生提出了獨到的富有創新精神的見解。
從實驗中啟發學生創新
實驗是小學數學重要組成部分，它是小學數學的重要基礎、重要內容、重要方法和重要手段，是小學生體驗探究新知識的重要途徑，同時，也是小學數學教學培養學生創新能力的橋梁和紐帶。
例如：在教學「用圓規作圓」這一知識時，教師要求學生首先掌握在紙上畫圓的方法。接著提問：你能在操場上畫一個很大的圓嗎？學生積極思考，一邊討論，一邊模擬，在學生積極的反饋之後，用計算機呈現動畫：一個同學在操場上打樁、拉線、繞圈，畫出一個很大的圓。接著，教師適時誘導學生：想一想還有沒有其它的更好的方法？請同學們課後實際試一試。通過技能練習，學生能將所學的知識用於實際，從而獲得更為穩定的知識結構。
H. 如何做好數學創新教學
一、保持和提高學生學習數學的興趣
興趣是最好的老師，興趣對於一個人認識新事物，探求新知識的重要性，起著非凡的影響作用。小學數學教學中，首要應重視培養學生正確的學習動機、良好的心理品質。
保持和 發展學生學習數學的興趣，要積極創設求知情景，倡導情景教學，精心設計教學環節，以景人情，激發學生興趣。學生學習的內容和他所熟悉的生活實際越貼近，學生學習的積極性就越高，就會主動學習，並且更願意思考、樂於探索。教師在教學過程中，應從學生熟悉的事物人手，要強化感官刺激，引起注意，提高興趣、挖掘潛能，激發內在動力。
二、重視學生的發散思維，培養創新能力
新課標中的教學目標，是幫助每個學生進行有效的學習，能夠按照自己的性向得到盡可能的發揮，以獲取新的知識，因為學生的大部分創新都是通過發散思維獲得的。因此，課堂教學必須以培養學生的創新精神為目標，改進教學方式，把學習的主動權交給學生，多給學生一些思考的時間、多一些表現機會、多一些創造的信心、多一些成功的體會。在師生共同活動的過程中，教師要以自身的創新意識、思維能力等積極因素，去感染、帶動學生創新意識的形成，教師不能把學生視為容納知識的容器，而是師生共同探究知識的奧秘。在整個過程中，教師要抓住每個時機，對每一個學生的每一個發現都予以肯定、激勵，讓學生感受到成功的喜悅，從而提高學生的創新意識和實踐能力。教師的職責將越來越少地傳遞知識，越來越多地激勵思考，擺脫「應試」觀念，讓學生從無窮的「題海」中解脫出來，使學生在輕松愉快、積極主動的氛圍中增長知識，充分體現以教師為主導、以學生為主體的課堂教學精神。
三、提高教師素質，注重教學水平
教學的一切活動始終圍繞學生，教學的一切因素最終作用於學生。面對數學新課程、新教材的實施，更應提高課堂教學效果，這就要求教師必須適應時代要求，更新觀念，在實施課堂教學時，不能僅僅滿足於將書本上的有限知識傳授給學生，而要根據學生身心的發展規律、年齡特點，認真研究、探討教學方式方法。要從學生全面發展的目標出發來組織和實施自己的課堂教學。課改要求新時期的教師應該能夠駕馭各種類型的學生，並使他們各自的特長都充分得到發揮，這就要求教師需要終生學習，拓寬知識面，提高自身的整體素質修養，改進傳統的教學模式，創新教學方法和技巧，只有這樣才會真正地實現與時俱進。
就教師自身來看，教師本身必須能夠吸引學生，這就需要教師具備：一是業務知識必須精通，即在業務水平上能夠震住學生，使學生在課本知識上「服」你：二是興趣愛好必須廣泛，即在常識方面能夠蓋住學生，使學生在生活知識上佩服你：三是心理知識必須懂，即在學生的思想問題上能夠提供有效的幫助，使學生在思想問題上敬佩你，這都需要我們的教師水平時注重學習，積累經驗，知識淵博，興趣廣泛，富於愛心，注重提高自身的理論水平和綜合素質。
教學工作是一項系統工程，小學教學由於學科特點決定了其具有一定的獨特性，作為教學第一線的教師，要抓好課堂教學這個中心環節，激發學生內在動力，提升學生綜合能力，探求有效教學方法，改進傳統教學模式，把每一名學生都塑造成為綜合素質人才。