高中數學競賽定理
買那本華東師范大學出版社的《高中數學競賽多功能題典》，後面有重要的競賽的定理，概念 。1.平面幾何
幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的幾個特殊點:旁心、費馬點，歐拉線。
幾何不等式。
幾何極值問題。
幾何中的變換：對稱、平移、旋轉。
圓的冪和根軸。
面積方法，復數方法，向量方法，解析幾何方法。
2.代數
周期函數，帶絕對值的函數。
三角公式，三角恆等式，三角方程，三角不等式，反三角函數。
遞歸，遞歸數列及其性質，一階、二階線性常系數遞歸數列的通項公式。
第二數學歸納法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數。
復數及其指數形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根。
多項式的除法定理、因式分解定理，多項式的相等，整系數多項式的有理根*，多項式的插值公式*。
n次多項式根的個數，根與系數的關系，實系數多項式虛根成對定理。
函數迭代，簡單的函數方程*
3. 初等數論
同餘，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩餘類，二次剩餘，不定方程和方程組，高斯函數[x]，費馬小定理，格點及其性質，無窮遞降法，歐拉定理*，孫子定理*。
4.組合問題
圓排列，有重復元素的排列與組合，組合恆等式。
組合計數，組合幾何。
抽屜原理。
容斥原理。
極端原理。
圖論問題。
集合的劃分。
覆蓋。
平面凸集、凸包及應用*。參考資料：http://www.jxllt.com/?artid=MzIxMzQ=&F=dmlldy5odG0= 望採納謝謝
㈡ 高中數學競賽需要掌握什麼定理
看歷年的競賽題啊，考的大致內容應該有的，多總結歸納一下就好了！
㈢ 高中數學聯賽要求的公式定理以及公式定理的具體內容
一試
全國高中數學聯賽的一試競賽大綱，完全按照全日制中學《數學教學大綱》中所規定的教學要求和內容，即高考所規定的知識范圍和方法，在方法的要求上略有提高[2] ，其中概率和微積分初步不考。
二試
1、平面幾何
基本要求：掌握高中數學競賽大綱所確定的所有內容。
補充要求：面積和面積方法。
幾個重要的極值：到三角形三頂點距離之和最小的點--費馬點。到三角形三頂點距離的平方和最小的點--重心。三角形內到三邊距離之積最大的點--重心。
幾何不等式。
簡單的等周問題。了解下述定理：
在周長一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最大。
在周長一定的簡單閉曲線的集合中，圓的面積最大。
在面積一定的n邊形的集合中，正n邊形的周長最小。
在面積一定的簡單閉曲線的集合中，圓的周長最小。
幾何中的運動：反射、平移、旋轉。
復數方法、向量方法。
平面凸集、凸包及應用。
2、代數
在一試大綱的基礎上另外要求的內容：
周期函數與周期，帶絕對值的函數的圖像。
三倍角公式，三角形的一些簡單的恆等式，三角不等式。
第二數學歸納法。
遞歸，一階、二階遞歸，特徵方程法。
函數迭代，求n次迭代，簡單的函數方程。
n個變元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及應用。
復數的指數形式，歐拉公式，棣莫佛定理，單位根，單位根的應用。
圓排列，有重復的排列與組合，簡單的組合恆等式。
一元n次方程（多項式）根的個數，根與系數的關系，實系數方程虛根成對定理。
簡單的初等數論問題，除初中大綱中所包括的內容外，還應包括無窮遞降法，同餘，歐幾里得除法，非負最小完全剩餘類，高斯函數，費馬小定理，歐拉函數，孫子定理，格點及其性質。
3、立體幾何
多面角，多面角的性質。三面角、直三面角的基本性質。
正多面體，歐拉定理。[3]
體積證法。
截面，會作截面、表面展開圖。
4、平面解析幾何
直線的法線式，直線的極坐標方程，直線束及其應用。
二元一次不等式表示的區域。
三角形的面積公式。
圓錐曲線的切線和法線。
圓的冪和根軸。
5、其它
抽屜原理。
容斥原理。
極端原理。
集合的劃分。
覆蓋。
梅涅勞斯定理
托勒密定理
西姆松線的存在性及性質(西姆松定理)。
賽瓦定理及其逆定理。
參考：http://ke..com/view/1070127.htm?fr=aladdin
㈣ 高中數學競賽公式定理要用什麼教材
關於定理的問題，平面幾何和代數裡面涉及的定理比較多一些。我分開列舉：
1.平幾：湖南師大出版社《奧賽經典。幾何卷》，裡面介紹了所有常用的定理，和大量例題，習題。哈爾濱工業大學出版社《平面幾何證明方法全書》（沈文選著）提供了更多的定理和結論，看看很有好處。
2.代數：湖南師大出版社《數學奧林匹克高級教程》（葉軍著）。這是幾乎最好的代數書，裡面的定理，結論很全。作為補充的話可以看湖南師大出版社《奧賽經典。代數卷》。
3.組合：這一塊需要的定理其實不是很多。湖南師大出版社《奧賽經典。組合卷》（張垚教授著）是非常好的一本組合書，包含很全面的定理，結論和問題。我不認為在定理的全面性上還需要看其他的組合書。
4.數論：余紅兵老師的《數學競賽中的數論問題》是極好的入門書，由淺入深，很講究思想。定理，結論什麼的也和全。然後可以看數學競賽命題人講座裡面的一本數論書（一位姓馮的老師寫的），那本更難一些。如果你對自己要求較高，或者對數論有特殊興趣，推薦《初等數論》（潘承棟，潘承彪教授著），這本書學3/4可以秒殺90%的老師。
至於看什麼參考書，上面已經推薦了不少，下面在介紹一些：
1.一試： 5.3.對就是5.3，一試高分神器。浙大出版社《數學競賽培優教程（一試）》（李勝宏教授），這兩本書刷完一試就差不多了。當然還要做一些模擬題。
2.二試：
1）幾何。《三角與幾何》（田廷彥）很難很難，不用全看，看前四章就很好了。看懂後功力大進。《幾何變換》（肖振剛教授）很好的書，位似變換，凡演變換變換講的非常好，可以先看這兩部分。
2）代數如果你能做完我前面推薦的書你就已經很厲害了。關於一些專題，
1】不等式：數學競賽命題人講座系列《代數不等式》（陳計教授）一本專著，關於舒爾分拆和更強的米爾黑德都有介紹。有兩本藍皮書也不錯，可以看看。
2】多項式：余紅兵老師寫過一本關於多項式的書，我記不住名字，但是非常好，可以去找一下。葉軍老師的書（我前面提過）在這一塊講的也很好。
3】組合恆等式：史濟懷教授《組很恆等式》。
3）組合：馮越峰老師《組合極值。論證與構造》，余紅兵老師《組合幾何》
4）數論：可以看湖南師大出版社《奧賽經典。代數卷》作為補充。
說明：
1）如果你水平足夠高就去看單遵教授的《數學競賽研究教程》，極其經典，在冷崗松教授的建議下我當年做了兩遍，收益頗多。
2）可以買《走向IMO》刷裡面的國家隊級別的題，但是建議由較好基礎在開始做。
3）天津師范大學主辦的《中等數學》是非常好的刊物，建議訂購。我當年看了4年的。
4）數學競賽命題人講座是一套很好的書，我參加競賽那會只處了幾本。現在出的應該很多了，建議關注一下，強烈建議！
5）多關注一下外國競賽題，中國的出題水平不是最高的，俄羅斯，美國，越南的數學競賽題很有參考價值。
6）多做模擬題，李偉固教授曾經對我說過要做完80套模擬題。其實還不夠，我們當時做了120套題。當然，真題也很重要的。
以上就是我的一些經驗了。學習數學競賽沒有捷徑，只有多練，多想，多體會，多嘗試才能有進步。
我曾經是省第3名，現在在國外讀理論數學，希望我的建議對你有用，祝你競賽成功！
㈤ 高中數學競賽需要記住哪些定理公式急用
你看一下大綱，那頂上都是定理和公式，就需要記住那些
㈥ 高中數學競賽需要掌握的定理有哪些
除了課本上要求的都要之外，還要求一些比較少見的定理，如柯西定理（同時有包含幾個分定理）、費馬定理、平面幾何中的梅涅勞斯定理，當然，如果你有能力的話，還可以再拓展，這些定理都是比較重要的，最好能學好，理解透就可以了
㈦ 高中數學競賽要用到的公式定理
高中數學競賽精華一、三角函數常用公式由於是講競賽，這里就不再重復過於基礎的東西，例如六種三角函數之間的轉換，兩角和與差的三角函數，二倍角公式等等。但是由於現在的教材中常用公式刪得太多，有些還是不能不寫。先從最基礎的開始（這些必須熟練掌握）：半形公式積化和差和差化積萬能公式三倍角公式二、某些特殊角的三角函數值除了課本中的以外，還有一些 sincostan 三、三角函數求值給出一個復雜的式子，要求化簡。這樣的題目經常考，而且一般化出來都是一個具體值。要熟練應用上面的常用式子，個人認為和差化積、積化和差是競賽中最常用的，如果看到一些不常用的角，應當考慮用和差化積、積化和差，一般情況下直接使用不了的時候，可以考慮先乘一個三角函數，然後利用積化和差化簡，最後再把這個三角函數除下去舉個例子求值： 提示：乘以 ，化簡後再除下去。求值： 來個復雜的設n為正整數，求證 另外這個題目也可以用復數的知識來解決，在復數的那一章節里再講 四、三角不等式證明最常用的公式一般就是：x為銳角，則 ；還有就是正餘弦的有界性。例求證：x為銳角，sinx+tanx<2x 設 ，且 ，求乘積 的最大值和最小值。註：這個題目比較難數列關於數列的知識可以說怎麼學怎麼有，還好我們只是來了解競賽中最基本的一些東西，不然我可寫不完了。J 1給遞推式求通項公式(1)常見形式即一般求解方法註：以下各種情況只需掌握方法即可，沒有必要記住結果，否則數學就變成無意義的機械勞動了。① 若p=1，則顯然是以a1為首項，q為公差的等差數列，若p≠1，則兩邊同時加上 ，變為 顯然是以 為首項，p為公比的等比數列② ，其中f(n)不是常數若p=1，則顯然an=a1+ ，n≥2若p≠1，則兩邊同時除以pn+1，變形為 利用疊加法易得 ，從而 註：還有一些遞推公式也可以用一般方法解決，但是其他情況我們一般使用其他更方便的方法，下面我們再介紹一些屬於數學競賽中的「高級方法」。(2)不動點法當f(x)=x時，x的取值稱為不動點，不動點是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。典型例子： 註：我感覺一般非用不動點不可的也就這個了，所以記住它的解法就足夠了。我們如果用一般方法解決此題也不是不可以，只是又要待定系數，又要求倒數之類的，太復雜，如果用不動點的方法，此題就很容易了令 ，即 ，令此方程的兩個根為x1，x2，若x1=x2則有其中k可以用待定系數法求解，然後再利用等差數列通項公式求解。註：如果有能力，可以將p的表達式記住，p= 若x1≠x2則有其中k可以用待定系數法求解，然後再利用等比數列通項公式求解。註：如果有能力，可以將q的表達式記住，q= (3)特徵根法特徵根法是專用來求線性遞推式的好方法。先來了解特徵方程的一般例子，通過這個來學會使用特徵方程。① 特徵方程為x2=px+q，令其兩根為x1，x2則其通項公式為 ，A、B用待定系數法求得。② 特徵方程為x3=px2+qx+r，令其三根為x1，x2，x3則其通項公式為 ，A、B、C用待定系數法求得。註：通過這兩個例子我們應當能夠得到特徵方程解線性遞歸式的一般方法，可以試著寫出對於一般線性遞歸式的特徵方程和通項公式，鑒於3次以上的方程求解比較困難，且競賽中也不多見，我們僅需掌握這兩種就夠了。(4)數學歸納法簡單說就是根據前幾項的規律猜出一個結果然後用數學歸納法去證。這樣的題雖說有不少但是要提高不完全歸納的水平實在不易。大家應當都會用數學歸納法，因此這里不詳細說了。但需要記得有這樣一個方法，適當的時候可以拿出來用。(5)聯系三角函數三角函數是個很奇妙的東西，看看下面的例子看起來似乎摸不著頭腦，只需聯系正切二倍角公式，馬上就迎刃而解。註：這需要我們對三角函數中的各種公式用得很熟，這樣的題目競賽書中能見到很多。例數列 定義如下： ， ，求 通項註：這個不太好看出來，試試大膽的猜想，然後去驗證。(6)迭代法先了解迭代的含義f右上角的數字叫做迭代指數，其中 是表示 的反函數再來了解復合的表示， 如果設 ，則 ，就可以將求F(x)的迭代轉變為求f(x)的迭代。這個公式很容易證明。使用迭代法求值的基礎。而在數列中我們可以將遞推式看成 ，因此求通項和求函數迭代就是一樣的了。我們盡量找到好的g(x)，以便讓f(x)變得足夠簡單，這樣求f(x)的n次迭代就很容易得到了。從而再得到F(x)的n次迭代式即為通項公式。 練習，試求數列的通項公式。註：此題比較綜合，需熟練掌握各種求通項公式的常用方法。 下面是我的一個原創題目已知數列 滿足 ， ，求該數列的通項公式。 2數列求和求和的方法很多，像裂項求和，錯位相減等等，這些知識就算單純應付高考也應該都掌握了，這里不再贅述。主要寫競賽中應當掌握的方法——阿貝爾恆等式。阿貝爾（Abel）恆等式有多種形式，最一般的是其中 註：個人認為，掌握這一個就夠了，當然還有更為一般的形式，但是不容易記，也不常用。Abel恆等式就是給出了一個新的求和方法。很多時候能簡化不少。 例：假設 ，且 ，求證： 計數問題1抽屜原則我第一次接觸抽屜原則，是在一本奧賽書的答案上，有一步驟是：由抽屜原則可得……，於是我就問同學，什麼是抽屜原則，同學告訴我，三個蘋果放進兩個抽屜，必有一個抽屜里至少有兩個蘋果。後來才發現，抽屜原則不只是這么簡單的，它有著廣泛的應用以及許多種不同的變形，下面簡單介紹一下抽屜原則。抽屜原則的常見形式一，把n+k（k≥1）個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，一定存在一個抽屜中至少有兩個物體。二，把mn+k（k≥1）個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，一定存在一個抽屜中至少有m+1個物體。三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，那麼後在一個抽屜里至少放入了m1+1個物體，或在第二個抽屜里至少放入了m2+1個物體，……，或在第n個抽屜里至少放入了mn+1個物體四，把m個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，有兩種情況：①當n|m時（n|m表示n整除m），一定存在一個抽屜中至少放入了 個物體；②當n不能整除m時，一定存在一個抽屜中至少放入了[ ]+1個物體（[x]表示不超過x的最大整數）五，把無窮多個元素分成有限類，則至少有一類包含無窮多個元素。註：背下來上面的幾種形式沒有必要，但應當清楚這些形式雖然不同，卻都表示的一個意思。理解它們的含義最重要。在各種競賽題中，往往抽屜原則考得不少，但一般不會很明顯的讓人看出來，構造抽屜才是抽屜原則中最難的東西。一般來說，題目中一旦出現了「總有」「至少有」「總存在」之類的詞，就暗示著我們：要構造抽屜了。例：從自然數1，2，3，…99，100這100個數中隨意取出51個數來，求證：其中一定有兩個數，它們中的一個是另一個的倍數.用2種顏色塗5×5共25個小方格，證明：必有一個四角同色的矩形出現.2容斥原理容斥原理常常使用，其實說簡單點，就是從多的往下減，減過頭了在加回來，又加多了再減，減多了再加……，最終得到正確結果。對於計數中容易出現重復的題目，我們常常採用容斥原理，去掉重復的情況。容斥原理基本形式：其中|A|表示集合A中元素的個數。例：在不大於2004的正整數中，至少可被3,5,7之一整除？由數字1，2，3，4，5組成的n位數，要求n位數中這五個數字每個至少出現一次，求所有這種n位數的個數。3遞推方法許多競賽題目正面計算十分困難，於是我們避開正面計算，先考慮n-1時的情況，在計算n時的情況比n-1時的情況增添了多少，然後寫出一個遞推式，這樣就可以利用數列的知識進行解決，但一般要求根據遞推式求通項的能力要比較強，是和擅長數列的同學使用。沒什麼具體解釋，多多練習吧例設m為大於1的正整數，數列{a<sub>n</sub>}滿足：a1+a2+……+an模m餘0，0<ai<m（i=1，2……n）。試求滿足上述條件的不同數列{a<sub>n</sub>}的個數。4映射計數個人認為映射計數絕對是計數方法中最經典的一種，常常能將復雜至極的問題簡單化，變成人人都會做的普通題目。但是想熟練掌握往往是不容易的，要求有大量的習題積累，才能形成建立映射的能力。明確概念：對於y=f(x)單射：不同的x對應不同的y，即|x|≤|y|滿射：每個y至少有一個x映射，即|x|≥|y|雙射：即是單射又是滿射，即|x|=|y|倍數映射：|x|=m|y| 註：雙射即通常說的一一映射，有的人將雙射理解為m=2的倍數映射或其他映射，這是不對的。不要從感覺上去理解。雙射應當是「單射」「滿射」的綜合。利用映射解題，一般是建立雙射，將要證明的問題轉化為其他的問題，但是計算總數不變。而我們不僅要會建立雙射，也應會建立單射和滿射，因為顯然建立單射和滿射是證明不等關系的極好方法，不可以忽略。利用倍數映射解決的題目，我目前還沒遇到多少，但還是要時刻記著有這樣一種方法。一，建立雙射例集合{1，2，……，2004}有多少個元素和為奇數的子集？將正整數n寫成若干個1與若干個2之和，和項的順序不同認為是不同的寫法，所有寫法的種數記為A(n)；將正整數n寫成若干個大於1的正整數之和，和項順序不同認為是不同的寫法，所有寫法的種數記為B(n)，求證：A(n)=B(n+2)註：此題即為很好的映射計數例子。因為即便不用映射我們可以把A(n)求出來，再把B(n+2)求出來，然後比較後會發現兩者相等，但這顯然是超大工作量，如果使用了映射計數，我們只需用一些技巧，在A(n)和B(n+2)中建立雙射，此題即得到證明。二，建立單射或滿射例設n為正整數，我們稱{1,2,…,2n}的一個排列{x<sub>1</sub>，x<sub>2</sub>,…,x<sub>2n</sub>}具有性質P：如果存在1≤i≤2n-1，使得|xi-xi+1|=n，求證：對任何n，具有性質P的排列比不具有性質P的排列個數多。註：映射計數可能會有一定難度，如果覺得掌握不了也不要灰心，只要多練，時間一長自然就會了。不等式與最值1平均不等式設 (i=1,2,…,n)調和平均值： 幾何平均值： 算術平均值： 方冪平均值： 等號成立當且僅當 注意：運用平均不等式需注意各項均為正數！題外話：有很多同學十分「痛恨」 這兩個符號，總是看不懂，其實這兩個符號是絕對好用的，並且以後會常常遇到，在大學課本中更是家常便飯，多看幾次自然也就習慣了。例題：求證： 分析：為了湊出a+b+c+d，以便充分利用條件，將4a+1,4b+1,4c+1,4d+1視作整體，利用平均不等式。 2柯西不等式及其變形設 (i=1,2,…,n)，則其中等號成立，當且僅當 為定值註：這個式子在競賽中極為常用，只需簡記為「積和方小於方和積」。等號成立條件比較特殊，要牢記。此外應注意在這個式子里不要求各項均是正數，因此應用范圍較廣。常用變形一：(i=1,2,…,n)，則註：要求bi為正數常用變形二：若 (i=1,2,…,n)，則註：要求ai，bi均為正數。當然，這兩個式子雖常用，但是記不記並不太重要，只要將柯西不等式原始的式子記得很熟，這兩個式子其實是一眼就能看出來的，這就要求我們對柯西不等式要做到活學活用。例：若 的最小值。並指出等號成立的條件。分析：由於a,b,c,d各項系數不同，而且既有1次項，又有2次項，顯然要用柯西不等式。而且使用柯西不等式不受-7c這項的影響。使用時，注意寫明等號成立條件，檢驗最小值能否取到。 柯西不等式推廣——赫爾德不等式若 (i=1,2,…,n)，p>1，q>1且 則註：這個式子成立的前提挺多，不難看出當p=q=2時，這個式子即為柯西不等式。 3排序不等式 4琴生不等式首先來了解凸函數的定義一般的，設f(x)是定義在(a,b)內的函數如果對於定義域內的任意兩數x1，x2都有則稱f(x)是(a,b)內的下凸函數，一般說的凸函數，也就是下凸函數，例如y=x2，從圖像上即可看出是下凸函數，也不難證明其滿足上述不等式。如果對於某一函數上述不等式的等號總是不能成立，則稱此函數為嚴格凸函數。註：凸函數的定義為我們提供了極為方便地證明一個函數為凸函數的方法。這個方法經常使用。此外利用二階求導也可以判斷一個函數為凸函數，凸函數的二階導數是非負數。凸函數具有的常用性質性質一：對於(a,b)內的凸函數f(x)，有註：此即常說的琴生不等式 性質二：加權的琴生不等式對於(a,b)內的凸函數，若 ，則註：加權琴生不等式很重要，當 時，即為原始的琴生不等式。註：另外，對於上面有關凸函數和琴生不等式的部分，如果將不等號全部反向，則得到的便是凹函數，以及凹函數的琴生不等式。例設xi>0（i=1,2,…,n）， ，求證： 註：不僅要用琴生不等式，注意知識綜合利用。 5利用二次函數的性質一般來說，許多題目是涉及x，y，z三個量的證明題，由於二次函數的性質十分好用，因此湊出一個關於其中一個字母的二次函數，進而利用二次函數的性質可以解決最值問題。 例設x,y,z≥0，且x+y+z=1，求xy+yz+zx-3xyz的最大最小值。提示：將x=1-y-z代入，整理成關於y的二次函數，最值即為 ，整理後不難得到z=0和z=1式分別取到最大值 和最小值0，然後只需舉一例證明能夠取到即可。
㈧ 高中數學競賽定理
競賽考的就是地球人知道的哦，
火星競賽題還沒出好哦，
想提前知道不太可能，除非分高點，
有31分差不多了，
30分能幹啥呢？？？？？？？？？？思考中