近代數學

1. 近代數學的發展史

、近代數學的興起
（1）向近代數學的過渡
a .代數學的出現
b.三角學的發展
c.從透視學到射影幾何
d.計算技術與對數的誕生
（2）解析幾何的誕生
2、微積分的創立
（1）半個世紀的醞釀
a.開普勒與旋轉體體積
b.卡瓦列里不可分量原理
c.笛卡爾的圓法
d.費馬求極大值與極小值的方法
e.巴羅的微分三角形
f.沃利斯的無窮算術
（2）牛頓的「流數術」
a.流數術的初建
b.流數術的發展
c.牛頓的《原理》與微積分
（3）萊布尼茨的微積分
a. 特徵三角形
b. 分析微積分的建立
c. 萊布尼茨微積分的發展
3、分析時代
（1）微積分的進一步發展
a.積分技術與橢圓積分
b.微積分向多元函數的推廣
c.無窮級數理論
d.函數概念的深化
e.微積分嚴格化的嘗試
（2）微積分的應用與新分支的形成
a.常微分方程的形成
b.偏微分方程的產生
c.變分法的產生
（3）18世紀的幾何與代數
a.微分幾何的形成
b.方程論
c.數論進展
4、代數學的新生
（1） 代數方程的可解性與群的發現
（2） 從四元數到超復數
（3）布爾代數的形成
（4）代數數論的誕生
5、幾何學的變革
（1）歐幾里得幾何平行公設
（2）非歐幾里得幾何的誕生
（3）非歐幾里得幾何的發展與確認
（4）射影幾何的繁榮
（5）幾何學的統一
6、分析的嚴格化
（1）柯西與分析基礎
（2）分析的算術化
a. 維爾斯特拉斯的成就
b. 實數理論
c. 集合論的誕生
（3）分析的擴展
a. 復分析的建立
b. 解析數論的形成
c. 數學物理與微分方程
本部分的重、難點：代數學的出現、解析幾何的誕生、開普勒與旋轉體體積、卡瓦列里不可分量原理、笛卡爾的圓法、費馬求極大值與極小值的方法、巴羅的微分三角形、沃利斯的無窮算術、牛頓的「流數術」、萊布尼茨的微積分、微積分向多元函數的推廣、無窮級數理論、函數概念的深化、常微分方程的形成、偏微分方程的產生、微分幾何的形成、數論進展、代數學的新生、非歐幾里得幾何的發展與確認和幾何學的統一、分析的嚴格化等
（二）考核知識點與考核要求
1．近代數學發展史部分，要求達到「了解」層次的
（1）從透視學到射影幾何
（2）計算技術與對數的誕生
（3）積分技術與橢圓積分
（4）函數概念的深化
（5）微積分嚴格化的嘗試
（6）代數方程的可解性與群的發現
（7） 從四元數到超復數
（8） 分析的算術化
2．近代數學發展史部分，要求達到「理解、掌握」層次的
（1）代數學的出現、
（2）解析幾何的誕生
（3）微積分的創立
a. 開普勒與旋轉體體積
b. 卡瓦列里不可分量原理
c. 笛卡爾的圓法
d. 費馬求極大值與極小值的方法
e. 巴羅的微分三角形
f. 沃利斯的無窮算術
g. 牛頓的「流數術」和萊布尼茨的微積分
（3）分析學時代
a. 微積分向多元函數的推廣
b. 無窮級數理論
c. 函數概念的深化
d. 常微分方程的形成和偏微分方程的產生
e. 微分幾何的形成
f. 數論進展
（4）代數學的新生
（5）非歐幾里得幾何的發展與確認和幾何學的統一
（6）分析的嚴格化
a. 柯西與分析基礎
b. 分析的擴展 (復分析的建立、解析數論的形成)

2. 概述近現代數學的發展史

--《近現代數學發展概論》張光遠重慶出版社 1991.12版

《現代化知識文庫--二十世紀數學史話》知識出版社 1984.2上海
注一：這是《二十世紀數學史話》的說法。
winion整理，如要轉載，請註明轉載自
國際數學界的最高獎?菲爾茲獎和國際數學家大會
諾貝爾獎金中為什麼沒有設數學獎？對此人們一直有著各種猜測與議論。每年一度的諾貝爾物理、化學、生理學和醫學獎，表彰了這幾個學科中的重大成就，獎掖了科學精英，可謂舉世矚目。不設數學獎，對於這個重要的基礎學科，豈不是失去了一個在世界范圍內評價重大成就和傑出人才的機會？
其實，數學領域中也有一種世界性的獎勵，這就是每四年頒發一次的菲爾茲獎。在各國數學家的眼裡，菲爾茲獎所帶來的榮譽可與諾貝爾獎金媲美。
菲爾茲獎是由國際數學聯盟（簡稱IMU）主持評定的，並且只在每四年召開一次的國際數學家大會（簡稱ICM）上頒發。菲爾茲獎的權威性，部分地即來自於此。所以，這里先簡單介紹一下「聯盟」與「大會」。

十九世紀以來，數學取得了巨大的進展。新思想、新概念、新方法、新結果層出不窮。面對琳琅滿目的新文獻，連第一流的數學家也深感有國際交流的必要。他們迫切希望直接溝通，以便盡快把握發展大勢。正是在這樣的情況下，第一次國際數學家大會在蘇黎世召開了。緊接著，一九00年又在巴黎召開了第二次會議，在兩個世紀的交接點上，德國數學家希爾伯特提出了承前啟後的二十三個數學問題，使得這次大會成為名副其實的迎接新世紀的會議。

自一九00年以後，大會一般每四年召開一次。只是因為世界大戰的影響，在一九一六年和一九四0～一九五0年間中斷舉行。第二次世界大戰以後的第一次大會是一九五0年在美國舉行的。在這次會議前夕，國際數學聯盟成立了。這個聯盟聯絡了全世界幾乎所有的主要數學家，她的主要任務是促進數學事業的發展和國際交流，組織進行四年一次的國際數學家大會及其他專業性國際會議，頒發菲爾茲獎。自此以後，大會的召開比較正常。從一八九七年算起，總共舉行了十九次大會，其中有九次是在一九五0～一九八三年間舉行的。

聯盟的日常事務由任期四年的執行委員會領導進行，近年來，這個委員會設主席一人，副主席二人，秘書長一人，一般委員五人，都是由在國際數壇上有影響的著名數學家擔任。每次大會的議程，由執委會提名一個九人咨詢委員會來編定。而菲爾茲獎的獲獎人，則由執委會提名一個八人評定委員會來遴選。評委會的主席也就是執委會的主席，可見對這個獎的重視。這個評委會首先由每人提名，集中提出近四十個值得認真考慮的候選人，然後進行充分的討論並廣泛聽取各國數學家的意見，最後在評定委員會內部投票決定本屆菲爾茲獎的得獎人。

現在，國際數學家大會已是全世界數學家最重要的學術交流盛會了。一九五0年以來，每次參加者都在兩千人以上，最近兩次大會的參加者更在三千人以上。這么多的參加者再加上這四年來無數的新成果，用什麼方法才能很好地交流呢？近幾次大會採取了分三個層次講演的辦法。以一九七八年為例，在各專業小組中自行申請作十分鍾講演的約有七百人，然後由咨詢委員會確定在各專業組中作四十五分鍾邀請講演的名單約二百個，以及向全會作一小時綜述報告的人選十七位。被指定作一小時報告是一種殊榮，報告者是當今最活躍的一些數學家，其中有不少是過去或未來的菲爾茲獎獲得者。

菲爾茲獎的宣布與授予，是開幕式的主要內容。當執委會主席（即評委會主席）宣布本屆得主名單之後，全場掌聲雷動。接著由東道國的重要人士（當地市長、所在國科學院院長、甚至國王、總統），或評委會主席授予一塊金質獎章，外加一干五百美元的獎金。最後由一些權威的數學家來介紹得獎人的傑出工作，並以此結束開幕式。

菲爾茲獎是以已故的加拿大數學家約翰?查爾斯?菲爾茲命名的。

一八六三年五月十四日，菲爾茲生子加拿大渥太華。他十一歲時父親逝世，十八歲時又失去了慈母，家境不算太好。菲爾茲十七歲時進入多倫多大學專攻數學。一八八七年，菲爾茲二十四歲，就在美國約翰．霍普金斯大學獲得了博士學位。又過了兩年，他在美國阿勒格尼大學當上了教授。

當時，世界數學的中心是在歐洲。北美的數學家差不多都要到歐洲學習、工作一段時間。一八九二年，菲爾茲遠渡重洋，游學巴黎、柏林整整十年。在歐洲，他與福雪斯、弗勞伯紐斯等著名數學家有密切的交往。這一段經歷，大大地開闊了菲爾茲的眼界。

作為一個數學家，菲爾茲的工作興趣集中在代數函數方面，成就不算突出，但作為一名數學事業的組織、管理者，菲爾茲卻是功績卓著的。

菲爾茲很早就意識到研究生教育的重要，他是在加拿大推進研究生教育的第一人。現在人們都知道，一個國家的研究生培養情況如何，是衡量這個國家科學水平的一個可靠指數。而在當時，能有這樣的認識實屬難能可貴。

菲爾茲對於數學的國際交流的重要性，對於促進北美州數學的發展，都有一些卓越的見解。為了使北美的數學迅速趕上歐洲，菲爾茲竭盡全力主持籌備了一九二四年的多倫多國際數學家大會（這是在歐洲之外召開的第一次大會）。這次大會使他精疲力盡，健康狀況再也沒有好轉，但這次會議對於北美的數學水平的成長產生了深遠的影響。

一九二四年大會沒有邀請德國等第一次世界大戰的戰敗國的數學家。在此之前的一九二0年大會，因為是在法國的斯特拉斯堡（戰前屬德國）舉行，德國拒絕參加（一九二八年的波倫亞大會只是由於希爾伯特堅持，德國才參加了。）。這些事情很可能觸發了菲爾茲發起一項國際性獎金的念頭，因為菲爾茲強烈地主張數學發展應該是國際性的。當菲爾茲知道了一九二四年大會的經費有結余時，他就建議以此作為基金設立一項這樣的獎。菲爾茲奔走歐美謀求支持，並想在?九三二年蘇黎世大會親自提出正式建議，結果未及開幕他就逝世了。是多倫多大學數學系的悉涅，把這個建議和一大筆錢（其中包括一九二四年大會的結余和菲爾茲的遺產）提交蘇黎世大會，大會立即接受了這一建議。

按照菲爾茲的意見，這項獎金應該就叫國際獎金，而不應該以任何國家機構或個人的名字來命名。但是國際數學家大會還是決定命名為菲爾茲獎。數學家們希望用這一方式來表示對菲爾茲的紀念和贊許，他不是以自已的研究工作，而是以遠見、組織才能和勤懇的工作促進了本世紀的數學事業。

第一次菲爾茲獎頒發於一九三六年。不久，國際形勢急劇惡化。原定一九四0年在美國召開的大會已成泡影。第二次的菲爾茲獎是在戰後的第一次大會，即一九五0年大會上頒發的。以後，每次大會都順利地進行了這一議程。?般是每屆兩名獲獎者。但一九六六年、一九七0年、一九七八年得獎人是四名，據說是因為有一位不願透露姓名的捐款人，使獎金可以臨時增加到四份，一九八二年華沙會議因故而延期至一九八三年八月舉行，獲獎者為三名。總起來，獲得菲爾茲獎的數學家己有二十七名。

在一九三六年、?九五0年、一九五四年這三次大會上，都是由一位數學家來介紹所有得獎人的工作的。一九三六年卡拉凱渥鐸利還講了一點獲獎者的生平。一九五0年評委會主席玻爾就只用清晰而非專門的語言簡述工作。一九五四年，由本世紀著名的數學家外爾介紹，他在結束語中盛贊兩位得獎者「所達到的高度是自己未曾夢想到的」，「自已從未見過這樣的明星在數學天空中燦爛地升起，」他說：「數學界為你們二位所做的工作感到驕傲。它表明數學這棵長滿節瘤的老樹仍然充滿著汁液和生機。你們是怎樣開始的，就怎樣繼續下去吧！」

從一九五八年起，改成每位獲獎者分別由一位數學家介紹。介紹的內容比較地局限於工作，對於獲獎者個人的情況很少涉及。這個做法，一直延續到最近一次大會。

菲爾茲獎只是一枚金質獎章，與諾貝爾獎金的十萬美元相比真是微不足道。為什麼在人們心目中，菲爾茲獎的地位竟然與諾貝爾獎金相當？

原因看來很多。菲爾茲獎是由數學界的國際學術團體－－國際數學聯盟，從全世界的第一流數學家中遴選的。就權威性與國際性而言，任何其他的獎勵都無法與之相比。菲爾茲獎四年才發一次，每次至多四名，因而獲獎機會比諾貝爾獎要少得多。但是主要的原因應該是：迄今為止的獲獎者用他們的傑出工作，證明了菲爾茲獎不愧為最重要的國際數學獎。事情就是這樣：從表面上看，一項獎賞為獲獎人帶來了巨大榮譽；而事實上正相反，正是得獎工作的水準奠定了這項獎勵的學術地位的基礎。

菲爾茲獎首先是一項工作獎（這一點與諾貝爾獎金相同），即授予的原因只能是「已經做出的成就」，而不能是服務優秀、活動積極等其他原因。但是菲爾茲獎只授予四十歲以下的數學家（起先是一種默契，後來就成為不成文的規定），因此也帶有一點鼓勵性。問題在於，如果放在整個數學家的范圍里，菲爾茲獎的得獎工作地位如何？

我們只舉一個小小的例子。一九七八年，當代著名的老一輩數學家，布爾巴基學派創始人之一丟東涅發表了一篇題為《論純數學的當前趨勢》的論文，對於近二十年來純數學各分支的前沿作了全面概述。在文章中，他列舉了十三個目前處於主流的數學分支。其中十二個分支中的部分重要工作是由菲爾茲獎獲得者作出的。這再清楚不過地說明了菲爾茲獎獲獎成就的地位。

人們不能不承認，數學對於現實生活的影晌正在與日俱增。許多學科都在悄悄地或先或後地經歷著一場數學化的進程。現在，已經沒有哪個領域能夠抵禦得住數學方法的滲透。

數學本身也在一日千里地發展著。全世界成千上萬的數學工作者正在幾十個分支成百個專門方向上孜孜研究著。他們每年提出大約二十萬條新定理！重要論文數，如以《數學評論》的摘要為准，每八至十年翻一番。文獻數量的爆炸再加上方法概念的迅速更新，使得工作在不同方向上的數學家連交談也有點困難，更不用說非數學專業的人了。

這樣就產生了一個尖銳的矛盾。一方面，公眾非常需要數學，他們渴望理解數學！另?方面，現代數學過於深刻、龐大、變得越來越不容易接近。

因此，對於數學，特別是現代數學加以普及，使得數學和數學家的工作能對現實生活產生應有的積極影響，這已成為人們日益重視的課題。

二十一世紀的曙光即將普照全球，要概述一下二十世紀的數學發展決非易事。就純粹數學而言，我們覺得有兩個主題可以起到提綱挈領的作用：一個是希爾伯特二十三問題的提出、解決現狀與發展，另一個就是菲爾茲獎的獲獎者及其工作。

作為一種表彰純數學成就的獎勵，菲爾茲獎當然不能體現現代數學的全部內容。就這個獎本身而言也有種種缺點。但是，無論從哪一方面講，菲爾茲獎的獲得者都可以作為當代數學家的代表，他們的工作所屬的領域大體上覆蓋了純粹數學主流分支的前沿。這樣，菲爾茲獎就成了一個窺視現代數學面貌的很好的「窗口」。

3. 現代數學是高等數學嗎高等數學是指近代數學嗎

現代數學起源於17世紀是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科版。
現代數學時權期是指由20世紀40年代至今，這一時期數學主要研究的是最一般的數量關系和空間形式，數和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。抽象代數、拓撲學、泛函分析是整個現代數學科學的主體部分。
高等數學主要內容包括：數列、極限、微積分、空間解析幾何與線性代數、級數、常微分方程。

4. 近代數學的興起

近代數學的興起

第一節 中世紀的歐洲

在巴比倫、埃及、中國、印度、希臘和羅馬等文明興盛時代，歐洲（除希臘和義大利）還處於原始文明時期，大約在公元500年左右才開始出現新文化。公元5~11世紀，是歐洲歷史上的黑暗時期，天主教會成為歐洲社會的絕對勢力，封建宗教統治，使一般人篤信天國，追求來世，從而淡漠世俗生活，對自然不感興趣。教會宣揚天啟真理，並擁有解釋這種真理的絕對權威，導致了理性的壓抑，歐洲文明在整個中世紀處於凝滯狀態。

由於羅馬人偏重於實用而沒有發展抽象數學，這對羅馬帝國崩潰後的歐洲數學也有一定的影響，終使黑暗時代的歐洲在數學領域毫無成就。不過因宗教教育的需要，也出現一些水平低下的算術和幾何教材。羅馬人博埃齊（A.M.S.Boethius,約480~524）根據希臘材料用拉丁文選編了《幾何》、《算術》等教科書，《幾何》內容僅包含《幾何原本》的第一卷和第三、四卷的部分命題，以及一些簡單的測量術；《算術》則是根據四百年前尼科馬庫斯（Nicomachus）的一本淺易的著作編寫的。這樣簡單的書籍竟一直成為歐洲教會學校的標准課本。此外，這一時期還有英國的比德（V.Bede,674~735）和後來成為教皇的法國人熱爾拜爾（Gerbert,約950~1003，第一個在西班牙穆斯林學校學習的基督教徒）等人也討論過數學，前者研究過算術中的指算，據說後者可能把印度-阿拉伯數字帶入歐洲。

直到12世紀，歐洲數學才出現復甦的跡象。這種復甦開始由於受翻譯、傳播阿拉伯著作和希臘著作的刺激。1100年左右，歐洲人通過貿易和旅遊，同地中海地區和近東的阿拉伯人以及東羅馬帝國的拜占庭人發生了接觸。十字軍為掠奪土地的東征，使歐洲人進入了阿拉伯世界，從此歐洲人從阿拉伯人和拜占庭人那裡學到希臘以及東方古典學術，激發他們對這些學術著作的搜求、發掘和研究，最終導致了文藝復興時期歐洲數學的高漲。文藝復興前哨的義大利，由於其特殊的地理位置容易與外部文明相聯系，西西里島成為東西方文化的熔爐。古代學術傳播西歐的路線如下圖所示。

數學著作的翻譯主要有英國的阿德拉特(Adelard,約1120)翻譯的《幾何原本》和花拉字米的天文表；義大利人普拉托（Plato,12世紀上半葉）翻譯的巴塔尼的《天文學》和狄奧多修斯的《球面幾何》以及其它著作。12世紀最偉大的翻譯家格拉多（Gherardo,1114~1187）將90多部阿拉伯文著作翻譯成拉丁文，其中包括托勒玫的《大匯編》、《幾何原本》、花拉子米的《代數學》。因此可以說12世紀是歐洲數學的翻譯時代。

歐洲黑暗時代以後，第一位有影響的數學家是斐波那契(Fibonacci, 1170~1250)，他早年就隨其父親在北非從師阿拉伯人學習算學，後又游歷地中海沿岸諸國，回義大利寫成《算盤書》(Abaci, 1202)，這部著名的著作主要是古代中國、印度和希臘數學著作的內容，包括印度-阿拉伯數碼，分數演算法，開方法，二次和三次方程，不定方程，以及《幾何原本》和希臘三角學的大部分內容（如中國數學的「孫子問題」，「百雞問題」均出現於該書中）。特別是，書中系統介紹了印度數碼，影響了歐洲數學面貌。《算盤書》可以看作是歐洲數學在經歷了漫長的黑夜之後走向復甦的號角。

歐洲數學復甦的過程十分曲折，從12世紀到15世紀中葉，教會中的經院哲學派利用重新傳入的希臘著作中的消極成分來阻抗科學的進步。特別是他們把亞里士多德、托勒玫的一些學術奉為絕對正確的教條，妄圖用這種新的權威主義來繼續束縛人們的思想。歐洲數學真正的復甦，要到15、16世紀。在文藝復興的高潮中，數學的發展與科學的革新緊密結合在一起，數學在認識自然和探索真理方面的意義被文藝復興的代表人物高度強調。達芬奇(1452~1519)就這樣說過：「一個人若懷疑數學的極端可靠性就是陷入混亂，他永遠不能平息詭辯科學中只會導致不斷空談的爭辯。……因為人們的探討不能稱為科學的，除非通過數學上的說明和論證。」伽利略乾脆認為宇宙「這本書是用數學的語言寫成的」。科學中數學化趨勢的增長促使數學本身走向繁榮。以下簡略介紹這一時期數學發展的重要方面。 第二節 向近代數學的過渡

2.1 代數學

歐洲人在數學上的推進是從代數學開始的，它是文藝復興時期成果最突出、影響最深遠的領域，拉開了近代數學的序幕。主要包括三、四次方程求解與符號代數的引入這兩個方面。

翻譯家格拉多（gherardo, 1114~1187）將花拉子米的《代數學》翻譯成拉丁文後，開始在歐洲傳播，不過，直到十五世紀, 人們還以為三、四次方程與化圓為方問題一樣難以解決。第一個突破是波倫亞大學的數學教授費羅（Scipionedel Ferro, 1465~1526）大約於1515年左右作出的，他發現了形如(m , n > 0)的三次方程的代數解法。當時流行著學者們不公開自己研究成果的風氣，費羅將自己的解法秘密傳給他的學生費奧(Antonio Maria Fior）。與此同時，1535年義大利另一位數學家塔塔利亞（Niccolo Fontana, 1499?~1557，綽號Tartaglia）也宣稱自己可以解形如 (m , n > 0)的三次方程。於是，費奧開始向塔塔利亞挑戰，要求各自解出對方提出的十三個三次方程，比賽結果，塔塔利亞很快解出形如和(m , n > 0)的兩類型所有三次方程，而費奧僅能解出前一類型的方程。塔塔利亞同樣沒有公布他的解法，在教書行醫於米蘭的學者卡爾丹（G.Cardano，1501~1576）的再三請求、並答應保密的情況下，塔塔利亞將其解法傳授與他。不久，卡爾丹違背諾言而著《大法》（Ars magna, 1545）一書，公布了這些解法。《大法》所載三次方程 x3+px= q 的解法，實質是考慮恆等式 (a-b)3 + 3ab(a-b) = a3-b3

若選取a和b，使 3ab= p，a3-b3 = q， （*）

由（*）不難解出a和b，

a = b=

於是得到a-b就是所求的x. 後人稱之為卡爾丹公式。

三次方程解決後不久，1540年義大利數學家達科伊（T.Da Coi）向卡爾丹提出一個四次方程的問題，卡爾丹為能解決，由其學生費拉里（Lodovico Ferrari,1522~1565）解決了，其解法也被卡爾丹寫進《大術》中。其解法是利用一個變換：，將一般四次方程簡化為，由此進一步 於是，對於任意的z，有 再選擇適當的z，使上式右邊成為完全平方式，實際上使

即可。這樣就變為z的三次方程。

費拉里所討論的四次方程類型主要有以下幾種：

當然，說卡爾丹完全是剽竊失之於公正，因為他在書中已註明這個解法是塔氏告訴他的，而且塔氏也沒有給出證明。卡爾丹不僅將塔氏方法推廣到一般情形的三次方程，並且補充了幾何證明。書中對三次方程求解中的所謂「不可約」情形感到困惑（不可約情形就是判別式），實質上它涉及到實數的復數表示問題。在卡氏去世後四年的1572年，義大利數學家邦貝利（R.Bombelli, 約1526~1573）在其所著教科書《代數》中引進了虛數，用以解決三次方程不可約情況，並以dimrq11表示?-11.卡爾丹認為復根是成對出現的（這一推測後來被牛頓（Newton，1642~1727）在其《普遍的算術》中所證明），認識到三次方程有三個根，四次方程有四個根。在此基礎上，荷蘭人吉拉德（Albert Girard，1593~1632）於《代數新發現》（1629）中又作進一步的推斷：對於n次多項式方程，如果把不可能的（復數根）考慮在內，並包括重根，則應有 n個根。不過，沒有給出證明。卡爾丹還發現了三次方程的三根之和等於x2項的系數的相反數，每兩根乘積之和等於x項的系數，等等，這種根與系數的關系問題後來由韋達(f.vieta,1540~1603)、牛頓和格列高里 (James Gregory，1638~1675) 等人作出系統闡述。

在法國，數學家韋達也寫過《分析方法入門》（1591）、《論方程的整理與修正》（1615）與《有效的數值解法》（1600）等幾本方程論著作，韋達給出代數方程的近似解法與代數方程的多項式分解因式解法。1637年，笛卡兒（Descartes,1596~1650）首次應用待定系數法將四次方程分解成兩個二次方程求解。今天所說的因式分解定理，最早由笛卡兒在其《幾何學》中提出，他說：f (x) 能為 (x-a) 整除，當且僅當a 是f (x) = 0的一個根。他還證明了：若有理系數的三次方程有一個有理根，則此多項式可表示為有理系數因子的乘積，並且引用了待定系數法原理。笛卡兒在《幾何學》中也未加證明敘述了，n次多項式方程應有 n個根的論斷，以及今天所謂的「笛卡兒符號法則」：多項式方程f (x) = 0 的正根的最多個數等於系數變號的次數，負根的最多個數等於兩個正號與兩個負號連續出現的次數。綜覽笛卡兒的工作，容易發現他已初步建立了多項式方程有理根的現代方法。

文藝復興時期歐洲方程論與代數學研究是數學史上精彩的一頁，義大利人在三、四次方程解法方面的工作是整個17、18世紀數學關於高次代數方程理論的一系列漫長而影響深遠的探索的起始點。

代數上的進步還在於引用了較好的符號體系，這對於代數學本身的發展以及分析學的發展來說，至為重要。正是由於符號化體系的建立，才使代數有可能成為一門科學。近現代數學一個最為明顯、突出的標志，就是普遍地使用了數學符號，它體現了數學學科的高度抽象與簡練。文藝復興時期代數學的另一重大進展，便是系統地引入符號代數。

盡管埃及、希臘與印度人都曾零星地使用過縮寫文字和符號，中國宋元時期的數學家也引入天元、地元、人元、物元等來表示未知數，但他們都無意識到這樣做的重要意義。只有丟番圖(Diophantus)自覺地運用符號以使代數的思路與書寫更加緊湊有效。或許由於印刷術傳入歐洲帶來的結果，十五世紀及十六世紀初的歐洲數學著作的書寫形式盡管主要是文章式的，但流行著使用一些特殊詞語的縮寫與特定的數學符號，在義大利修道士帕奇歐里(L.Pacioli,約1445~1509)的《算術、幾何及比例性質之摘要》（1494）、德國人斯蒂費爾（Stifel,1486？~1567）的《綜合算術》（1544），以及魯道夫（C.Rudolff, 約1500~約1545）的《求根術》等書中尤為顯著。

數學符號系統化首先歸功於法國數學家韋達，由於他的符號體系的引入導致代數性質上產生最重大變革。韋達原是律師與政治家，業余時間研究數學。他曾在布列塔尼（Brittany）議會工作，後任那瓦爾的亨瑞（Henry）親王的樞密顧問官，他在政治上失意的1584~1589年間，獻身於數學研究，曾研究過卡爾丹、塔塔利亞、邦貝利、史蒂文（Stevin, 1548~1620）和丟番圖等人的著作，從這些著作特別是丟番圖的著作中獲得了使用字母的想法，在他的《分析引論》（1591）中，第一次有意識地使用系統的代數字母與符號，輔音字母表示已知量，母音字母表示未知量，他把符號性代數稱作「類的算術」。同時規定了算術與代數的分界，認為代數（logistica speciosa）運算施行於事物的類或形式，算術運算（logistica numerosa）施行於具體的數。這就使代數成為研究一般類型的形式和方程的學問，因其抽象而應用更為廣泛。

韋達的這種做法受到後人的贊賞，並被吉拉德的《代數新發現》和奧特雷德（Oughtred，1575~1660）的《實用分析術》所繼承，靈活地加以運用，特別是通過後者的著作使採用數學符號的風氣流行起來。對韋達所使用的代數法的改進工作是由笛卡兒完成的，他首先用拉丁字母的前幾個（a, b, c, d, …）表示已知量，後幾個（x, y, z, w, …）表示未知量，成為今天的習慣，他改變了韋達的做法，毫無區別地採用文字系數。韋達的符號代數保留著齊性原則，要求方程中各項都是「齊性」的，即體積與體積相加，面積與面積相加。這一障礙隨著笛卡兒解析幾何的誕生也得到消除。

到十七世紀末，歐洲數學家已普遍認識到，數學中特意使用符號具有很好的功效。並且使數學問題具有一般性。不過當時隨意引入的符號太多，我們今天所使用的符號，實際是這些符號經過長期淘汰後剩下來的。

5. 世界近代三大數學難題各是什麼，內容

1、費馬大定理

費馬大定理，又被稱為「費馬最後的定理」，由17世紀法國數學家皮耶·德·費瑪提出。

內容：當整數n >2時，關於x, y, z的方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ沒有正整數解。

2、四色問題

四色問題又稱四色猜想、四色定理，是世界近代三大數學難題之一。地圖四色定理最先是由一位叫古德里的英國大學生提出來的。

四色問題的內容：任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。也就是說在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標記就行。

用數學語言表示：將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1234這四個數字之一來標記而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。

3、哥德巴赫猜想

1742年6月7日，哥德巴赫提出了著名的哥德巴赫猜想。

內容：隨便取某一個奇數，比如77，可以把它寫成三個素數之和，即77=53+17+7；再任取一個奇數，比如461，可以表示成461=449+7+5，也是三個素數之和，461還可以寫成257+199+5，仍然是三個素數之和。例子多了，即發現「任何大於5的奇數都是三個素數之和。」

(5)近代數學擴展閱讀

1、費馬大定理

史上最精彩的一個數學謎題。證明費馬大定理的過程是一部數學史。費馬大定理起源於三百多年前，挑戰人類3個世紀，多次震驚全世界，耗盡人類眾多最傑出大腦的精力，也讓千千萬萬業余者痴迷。

2、四色定理的本質正是二維平面的固有屬性，即平面內不可出現交叉而沒有公共點的兩條直線。很多人證明了二維平面內無法構造五個或五個以上兩兩相連區域，但卻沒有將其上升到邏輯關系和二維固有屬性的層面，以致出現了很多偽反例。不過這些恰恰是對圖論嚴密性的考證和發展推動。

計算機證明雖然做了百億次判斷，終究只是在龐大的數量優勢上取得成功，這並不符合數學嚴密的邏輯體系，至今仍有無數數學愛好者投身其中研究。

3、從關於偶數的哥德巴赫猜想，可推出：任一大於7的奇數都可寫成三個質數之和的猜想。後者稱為「弱哥德巴赫猜想」或「關於奇數的哥德巴赫猜想」。

若關於偶數的哥德巴赫猜想是對的，則關於奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。2013年5月，巴黎高等師范學院研究員哈洛德·賀歐夫各特發表了兩篇論文，宣布徹底證明了弱哥德巴赫猜想。

6. 近代數學的興起讀後感

數學在人類文明的發展中起著非常重要的作用,數學推動了重大科學技術的進步,在早期社會發展的歷史上,限於技術條件,依據數學推理和推算所作的預見,往往要多年之後才能實現,數學為人類生產和生活帶來的效益容易被忽視.進入二十世紀,尤其式到了二十世紀中葉以後,科學技術發展到現在的程度,數學理論研究與實際應用之間的時間已大大縮短,特別是當前,隨著電腦應用的普及,信息的數字化和信息通道的大規模聯網,依據數學所作的創造設想已達到即時試、即時實施的地步,數學技術將是一種應用最廣泛、最直接、最及時、最富創造力和重要的技術,故而當今和未來的發展將更倚重數學的發展.

數學對人的影響也式非常深刻的,「數學是鍛煉思維的體操」,數學的重要性不僅僅是它蘊含在各個知識領域之中,而且更重要的是它能很好地鍛煉人的思維,有效地提高能力,而能力（理解能力、分析能力、運算能力）則是關繫到學習效率的更重要因素.

在我國建國60年來,我國數學科學的發展更是取得了輝煌的成就,涌現了一批如：華羅庚、吳文俊等站在數學發展最前沿的,代表數學發展方向的,享譽世界的數學家,對比其他國家數學科學的發展,我國的數學發展可謂一波三折.

與美國相比,自二戰以後,為了迎接越來越大的內外挑戰,美國經歷了四次重大的教育改革實踐,由二十世紀50年代末前蘇聯在「外層空間」的挑戰而引發的「學科結構」為運動發端的教育大討論,70年代初興起了改變職教與普教分離的「生計教育」,至70年代中期又展開了強調基礎知識與基礎技能訓練的「回歸基礎」運動,而80年代則掀起了波瀾壯闊的綜合教育改革運動,如果說美國80年代以前的教育具有明顯的「應時性」特徵的話,那麼進入80年代後則更多地呈現出綜合性與前瞻性的特點,並以四個著名的教育改革文獻——《國家處於危機之中：教育改革勢在必行》,《2061計劃：面向全體美國人的科學》,《美國2000年教育戰略》,《2000年目標：美國教育法》為標志,向世界呈現了一副21世紀的教育藍圖.
從我國第一部數學著作,九章算術開始,中國的數學事業,便蓬勃的發展.算籌,割圓術,楊輝三角等等發現或者理論,祖沖之,秦九韶等數學家,都為中國在世界數學史上增輝添彩,許多數學理論,都領先外國多年.但是中國傳統數學,有一個明顯的特點,就是數學著作都以社會生產和生活實踐中的問題為綱,這些問題基本按社會、生活領域進行分類,過分重實用,不利於抽象概念和命題的形成.而且,中國傳統數學始終置於政府控制之下,直接受制於統治階級的意識形態和社會的需求,特別的,明代封建統治者的政策不利於數學發展.這些都導致後期中國數學發展緩慢,無法與世界接軌.
至於中國近現代的數學發展,1919年五四運動以後,中國近代數學的研究才真正開始.這期間,浮現了諸多偉大的數學家,蘇步青,趙元任,他們中的多數回國後成為著名數學家和數學教育家,為中國近現代數學發展做出重要貢獻.從北大1912年成立時建立的數學系起,中國各地的數學教育日漸成熟,培養了許多數學領域的人才,在諸多領域都取得了偉大的成就（PS：具體LZ自己網路一下吧,很容易的,太長了）但是值得注意的是,自從改革開放,中國的經濟實力不斷增強,與外界的合作也日漸增多.但是,這給人們帶來的功利,浮躁心理,也不容忽視.試看現在中國的數學教育,人人都在搞競賽（雖然現在國家限制）,各種培訓班培養出來的,很多都是沒有興趣的做題機器,這種人,是很難在數學領域有所長足發展的.
中國在不斷強大,我們新一代的年輕人,要有理想,不能急功近利的只關注高收益的學科與專業,更應注重基礎學科的發展,一個國家的科技水平,不僅體現在工業領域,基礎理論也是科學不可分割一部分.縱觀中國的數學發展史,不管時代如何,代代都有才人出.希望,中國的數學,將會在我們這一代,有長足的發展,不要讓中國悠久的歷史,在我們這一代蒙羞.

7. 世界近現代著名的數學家

Green 格林(有很多姓綠的人，反正都很牛）
S.Lie 李 (創造了著名的Lie群，是近代數學物理中最重要的一個概念)
Euler 歐拉（後來雙目失明了，但是其偉大很少有人能與之相比）Gauss 高斯（有些人不需要說明，Gauss就是一個）
Sturm 斯圖謨（那個Liouvel-Sturm定理的人，項武義先生很推崇他)
Riemann 黎曼(不知道這個名字，就是說不知道世界上存在著數學家）
Neumann 諾伊曼（造了第一台電腦，人類歷史上最後一個數學物理的全才）
Caratheodory 卡拉西奧多禮（外測度的創立者，曾經是貴族）
Newton 牛頓（名字帶牛，實在是牛）
Jordan 約當（Jordan標准型，Poincare前的法國數學界精神領袖）
Laplace 拉普拉斯（這人的東西太多了，到處都有）
Wiener 維納（集天才變態於一身的大家，後來在MIT做教授）
Thales 泰勒斯（古希臘著名哲學家，有一個他囤積居奇發財的軼事）
Maxwell 麥克斯韋（電磁學中的Maxwell方程組）
Riesz 黎茨（泛函里的Riesz表示定理，當年匈牙利數學競賽第一）
Fourier 傅立葉(巨煩無比的Fourier變換，他當年黑過Galois)
Noether 諾特（最最偉大的女數學家，抽象代數之母）
Kepler 開普勒（研究行星怎麼繞著太陽轉的人)
Kolmogorov 柯爾莫戈洛夫(蘇聯的超級牛人爛人，一生桀驁不馴）
Borel 波萊爾（學過數學分析和實分析都知道此人）
Sobolev 所伯列夫（著名的Sobolev空間，改變了現代PDE的寫法）
Dirchlet 狄利克雷（Riemann的老師，偉大如他者廖若星辰）
Lebesgue 勒貝格（實分析的開山之人，他的名字經常用來修飾測度這個名詞）
Leibniz 萊不尼茲（和Newton爭誰發明微積分，他的記號使微積分容易掌握）
Abel 阿貝爾（天才，有形容詞形式的名字不多，Abelian就是一個）
Lagrange 拉格朗日（法國姓L的偉人有三個，他，Laplace，Legendre)
Ramanujan 拉曼奴陽（天資異稟，死於思鄉病）
Ljapunov 李雅普諾夫（愛微分方程和動力系統，但更愛他的妻子）
Holder 赫爾得（Holder不等式，L-p空間里的那個）
Poisson 泊松（概率中的Poisson過程，也是純數學家）
Nikodym 發音很難的說（有著名的Ladon-Nikodym定理）
H.Hopf 霍普夫（微分幾何大師，陳省身先生的好朋友）
Pythagoras 畢達哥拉斯(就是勾股定理在西方的發現者）
Baire 貝爾(著名的Baire綱)
Haar 哈爾（有個Haar測度,一度哥廷根的大紅人）
Fermat 費馬（Fermat大定理，最牛的業余數學家，吹牛很牛的）
Kronecker 克羅內克（牛人，迫害Cantor至瘋人院）
E.Laudau 朗道（巨富的數學家，解析數論超牛）
Markov 馬爾可夫(Markov過程)
Wronski 朗斯基（微分方程中有個Wronski行列式，用來解線性方程組的）
Zermelo 策梅羅（集合論的專家，有以他的名字命名的公理體系）
Rouche 儒契（在復變中有Rouche定理Rouche函數）
Taylor 泰勒（Taylor有很多，最熟的一個恐怕是Taylor展開的那個）
Urysohn 烏里松(在拓撲中有著名的Urysohn定理)Frechet 發音巨難的說，泛函中的Frechet空間
Picard 皮卡（大小Picard定理，心高氣敖，很沒有人緣）
Schauder 肖德爾（泛函中有Schauder基Schauder不動點定理）
Poincare 彭加萊(數學界的莎士比亞）Peano 皮亞諾（有Peano公理，和數學歸納法有關系）Zorn 佐恩(Zorn引理，看起來顯然的東西都用這個證明)

8. 中國近代數學發展史

1919年五四運動以後，中國近代數學的研究才真正開始。 近現代數學發展時期 這一時期是從20世紀初至今的一段時間，常以1949年新中國成立為標志劃分為兩個階段。 中國近3年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來(1915年轉留法)，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數回國後成為著名數學家和數學教育家，為中國近現代數學發展做出重要貢獻。其中胡明復1917年取得美國哈佛大學博士學位，成為第一位獲得博士學位的中國數學家。隨著留學人員的回國，各地大學的數學教育有了起色。最初只有北京大學1912年成立時建立的數學系，1920年姜立夫在天津南開大學創建數學系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學(今南京大學)和清華大學建立數學系，不久武漢大學、齊魯大學、浙江大學、中山大學陸續設立了數學系，到1932年各地已有32所大學設立了數學系或數理系。1930年熊慶來在清華大學首創數學研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內最早的數學研究生。三十年代出國學習數學的還有江澤涵(1927)、陳省身(1934)、華羅庚(1936)、許寶騄(1936)等人，他們都成為中國現代數學發展的骨幹力量。同時外國數學家也有來華講學的，例如英國的羅素(1920)，美國的伯克霍夫(1934)、奧斯古德(1934)、維納(1935)，法國的阿達馬(1936)等人。1935年中國數學會成立大會在上海召開，共有33名代表出席。1936年《中國數學會學報》和《數學雜志》相繼問世，這些標志著中國現代數學研究的進一步發展。 解放以前的數學研究集中在純數學領域，在國內外共發表論著600餘種。在分析學方面，陳建功的三角級數論，熊慶來的亞純函數與整函數論研究是代表作，另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果；在數論與代數方面，華羅庚等人的解析數論、幾何數論和代數數論以及近世代數研究取得令世人矚目的成果；在幾何與拓撲學方面，蘇步青的微分幾何學，江澤涵的代數拓撲學，陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創性的工作：在概率論與數理統計方面，許寶騄在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴密證明。此外，李儼和錢寶琮開創了中國數學史的研究，他們在古算史料的注釋整理和考證分析方面做了許多奠基性的工作，使我國的民族文化遺產重放光彩。 1949年11月即成立中國科學院。1951年3月《中國數學學報》復刊(1952年改為《數學學報》)，1951年10月《中國數學雜志》復刊(1953年改為《數學通報》)。1951年8月中國數學會召開建國後第一次全國代表大會，討論了數學發展方向和各類學校數學教學改革問題。 建國後的數學研究取現代數學開始於清末民初的留學活動。較早出國學習數學的有：190得長足進步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素數論》(1953)、蘇步青的《射影曲線概論》(1954)、陳建功的《直角函數級數的和》(1954)和李儼的《中算史論叢》(5輯，1954-1955)等專著，到1966年，共發表各種數學論文約2萬余篇。除了在數論、代數、幾何、拓撲、函數論、概率論與數理統計、數學史等學科繼續取得新成果外，還在微分方程、計算技術、運籌學、數理邏輯與數學基礎等分支有所突破，有許多論著達到世界先進水平，同時培養和成長起一大批優秀數學家。 60年代後期，中國的數學研究基本停止，教育癱瘓、人員喪失、對外交流中斷，後經多方努力狀況略有改變。1970年《數學學報》恢復出版，並創刊《數學的實踐與認識》。1973年陳景潤在《中國科學》上發表《大偶數表示為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國數學家在函數論、馬爾可夫過程、概率應用、運籌學、優選法等方面也有一定創見。 1978年11月中國數學會召開第三次代表大會，標志著中國數學的復甦。1978年恢復全國數學競賽，1985年中國開始參加國際數學奧林匹克數學競賽。1981年陳景潤等數學家獲國家自然科學獎勵。1983年國家首批授於18名中青年學者以博士學位，其中數學工作者佔2/3。1986年中國第一次派代表參加國際數學家大會，加入國際數學聯合會，吳文俊應邀作了關於中國古代數學史的45分鍾演講。近十幾年來數學研究碩果累累，發表論文專著的數量成倍增長，質量不斷上升。1985年慶祝中國數學會成立50周年年會上，已確定中國數學發展的長遠目標。代表們立志要不懈地努力，爭取使中國在世界上早日成為新的數學大國。

9. 近代數學家

史豐收
他的腦子比電腦快
史豐收速演算法不僅獲得了國人的認可和青睞，也受到國際人士的關注。1987年8月，聯合國教科文組織總幹事姆博訪華，特意會見了史豐收教授，並看了他的速算表演，驚嘆不已。他當即邀請史豐收出席聯合國教科文組織第24屆大會。10月23日中午，在聯合國教科文組織大廈，史豐收為參加大會的158個會員國的代表進行了速算表演。出第一道題的是斯里蘭卡駐聯合國教科文組織代表的夫人，當這位夫人把891876乘9寫在黑板上，手中的粉筆還沒有放下的時候，史豐收已經把答案寫了出來：8026884。隨後，裁判手中的計算器也顯示出了相同的答案。接著一位非洲國家的代表出了一道用17個個位數字相加的題目，史豐收不假思索地就得出了答案，而裁判此時還在一個數一個數地在計算器上相加呢！黑板上又出了一道多位數相乘的題目：43879乘以7089。史豐收略一思索，得出了答案：311058231。而這時裁判手中只有8位數字的計算器卻無論如何也顯示不出9位數的答案，引起了在座觀眾的一陣大笑。在半個多小時的表演中，史豐收進行了多位數的加、減、乘、除、開方等數學運算，並向觀眾介紹了速算的原理和推廣情況，獲得了一陣陣掌聲。擔任裁判的印尼大使握著這位年輕速算專家的手風趣地說：「我的結論是，你的腦子比計算機的電腦快！」