數學競賽題庫

① 歷屆高中數學競賽試題及答案

2011年全國高中數學聯賽江西省預賽
試 題

一、填空題（每小題10分，共 分）
、 是這樣的一個四位數，它的各位數字之和為 ；像這樣各位數字之和為 的四位數總共有 個．
、設數列 滿足: ,且對於其中任三個連續項 ,都有: .則通項 ．
、以拋物線 上的一點 為直角頂點，作拋物線的兩個內接直角三角形 與 ，則線段 與 的交點 的坐標為 ．
、設 ，則函數 的最大值是 ．
、 ．
、正三棱錐 的底面邊長為 ，側棱長為 ，過點 作與側棱 都相交的截面 ，那麼， 周長的最小值是 ．
、滿足 的一組正整數 ．
、用 表示正整數 的各位數字之和，則 ．
二、解答題（共 題，合計 分）
、（20分）、設 ，且滿足： ，求 的值．

、（ 分）如圖， 的內心為 ， 分別是
的中點， ，內切圓 分別與邊 相切於 ；證明： 三線共點．

、（ 分）在電腦屏幕上給出一個正 邊形，它的頂點分別被塗成黑、白兩色；某程序執行這樣的操作：每次可選中多邊形連續的 個頂點（其中 是小於 的一個固定的正整數），一按滑鼠鍵，將會使這 個頂點「黑白顛倒」，即黑點變白，而白點變黑；
、證明：如果 為奇數，則可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成白色，也可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成黑色；
、當 為偶數時，是否也能經過有限次這樣的操作，使得所有的頂點都變成一色？證明你的結論．

解 答

、 ．提示：這種四位數 的個數，就是不定方程 滿足條件 ， 的整解的個數；即 的非負整解個數，其中 ，易知這種解有 個，即總共有 個這樣的四位數．（註：也可直接列舉．）
、 ． 提示：由條件得，
，
所以
，
故 ，而 ；

；
於是
；
由此得
.

、 ．提示：設 ，則

，
直線 方程為
，
即 ，因為 ，則
，
即
，
代人方程得
，
於是點 在直線 上；
同理，若設 ，則 方程為
，
即點 也在直線 上，因此交點 的坐標為 ．
、 ．提示：由

所以，
，
即
，
當 ，即 時取得等號．
、 ．提示：

．
、 ．提示：作三棱錐側面展開圖，易知 ∥ ，且由周長最小，得 共線，於是等腰 ， ，
，
即 ， ，
，
所以 ，由 ，則
．
、 ．提示：由於 是 形狀的數，所以 必為奇數，而 為偶數， 設 ， ，代人得
，
即
. ①
而 為偶數，則 為奇數，設 ，則
，
由①得，
， ②
則 為奇數，且 中恰有一個是 的倍數，當 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為
，
即 ，於是 ；
若 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為 ，即 ，它無整解；
於是 是唯一解： ．
（另外，也可由 為偶數出發，使

為 的倍數，那麼 是 的倍數，故 是 形狀的偶數，依次取 ，檢驗相應的六個數即可．）

、 ．提示：添加自然數 ，這樣並不改變問題性質；先考慮由 到 這一千個數，將它們全部用三位數表示，得到集 ，易知對於每個 ，首位為 的「三位數」恰有 個： ，
這樣，所有三位數的首位數字和為
.
再將 中的每個數 的前兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合仍是 ，
又將 中的每個數 的首末兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合也是 ，由此知
．
今考慮四位數：在 中，首位（千位）上，共有一千個 ，而在
中，首位（千位）上，共有一千個 ，因此
；
其次，易算出， . 所以，
．
、由
，
即
，
平方得

所以

，
即
，
所以
．

、如圖，設 交於點 ，連 ，由於中位線 ∥ ，以及 平分 ，則 ，所以 ，因 ，得 共圓．所以 ；又注意 是 的內心，則
.
連 ，在 中，由於切線 ，所以
，
因此 三點共線，即有 三線共點．
、 證明：由於 為質數，而 ，則 ，據裴蜀定理，存在正整數 ，使
, ①
於是當 為奇數時，則①中的 一奇一偶．
如果 為偶數， 為奇數，則將①改寫成：
，
令 ，上式成為 ，其中 為奇數， 為偶數．
總之存在奇數 和偶數 ，使①式成立；據①，
, ②
現進行這樣的操作：選取一個點 ，自 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了奇數次（ 次），從而改變了顏色，而其餘所有頂點都改變了偶數次（ 次）狀態，其顏色不變；稱這樣的 次操作為「一輪操作」，由於每一輪操作恰好只改變一個點的顏色，因此，可以經過有限多輪這樣的操作，使所有黑點都變成白點，從而多邊形所有頂點都成為白色；也可以經過有限多輪這樣的操作，使所有白點都變成黑點，從而多邊形所有頂點都成為黑色．
、當 為偶數時，也可以經過有限多次這樣的操作，使得多邊形所有頂點都變成一色．具體說來，我們將有如下結論：
如果給定的正多邊形開初有奇數個黑點、偶數個白點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全黑，而不能變成全白；反之，如果給定的正多邊形開初有奇數個白點、偶數個黑點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全白，而不能變成全黑；
為此，採用賦值法：將白點改記為「 」，而黑點記為「 」，改變一次顏色，相當於將其賦值乘以 ，而改變 個點的顏色，即相當於乘了 個（偶數個） ，由於 ；
因此當多邊形所有頂點賦值之積為 ，即總共有奇數個黑點，偶數個白點時，每次操作後，其賦值之積仍為 ，因此無論操作多少次，都不能將全部頂點變白．
但此時可以變成全黑，這是由於，對於偶數 ，則①②中的 為奇數，設 是多邊形的兩個相鄰頂點，自點 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了偶數次（ 次），從而顏色不變，而其餘所有 個頂點都改變了奇數次（ 次）狀態，即都改變了顏色；再自點 開始，按同樣的方法操作 次後，點 的顏色不變，其餘所有 個頂點都改變了顏色；於是，經過上述 次操作後，多邊形恰有 兩個相鄰頂點都改變了顏色，其餘所有 個點的顏色不變．
現將這樣的 次操作合並，稱為「一輪操作」；每一輪操作，可以使黑白相鄰的兩點顏色互換，因此經過有限輪操作，總可使同色的點成為多邊形的連續頂點；
於是當多邊形開初總共有偶數個白點時，每一輪操作又可將相鄰兩個白點變成黑點，使得有限輪操作後，多邊形所有頂點都成為黑色．
同理得，如果給定的正多邊形開初總共有奇數個白點、偶數個黑點，經過有限次操作，可以使多邊形頂點變成全白，而不能變成全黑；（只需將黑點賦值為「 」，白點賦值為「 」，證法便完全相同）．

② 60道數學競賽題

1.在凸4n+2邊形A1A2A3 …… A[sub]4n+2 中,每一個內角都是30度的整數倍，且A1 =A2 =A3 =90度，則n=?

2.不等邊三角形ABC的兩條高的長度分別是4和12，若第三條高及三邊均為整數，求當第三條高取得最大值時，三角形ABC的周長的最小值

3.銳角三角形用度數來表示時，所有角的度數為正整數，最小角的度數是最大角度數的1/4，求滿足此條件的所有銳角三角形

4.周長為30，各邊長互不相等且都是整數的三角形有多少個？（註明每個三角形的各邊長）

5.用正方形的地磚不重疊，無縫隙地鋪滿一塊地，選用邊長為x cm規格的地磚，恰需n塊；若選用邊長為y cm規格的地磚，則要比前一種剛好多用124塊，已知x、y、n都是整數，且x、y互質，試問這塊地有多少平方米？

參考答案
1、在凸多邊形，其每個內角小於180度，由於它是30度的整數倍，所以其內角最大為150度。
題中要求的4n+2邊形，其內角和就小於：90*3+(4n+2-3)*150
而4n+2邊形的內角和等於：（4n+2-2)*180度，所以有：
(4n+2-2)*180≤90*3+(4n+2-3)*150
解得n≤1.
而n<1時，4n+2邊不成為凸多邊形，所以n=1.

2、設三角形三條邊分別是a、b、c，第三個高是h。
三角形的面積S=1/2*4*a=1/2*12*b=1/2*c*h
由：1/2*4*a=1/2*12*b,得a=3b
三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊，a-b<c<a+b,得2b<c<4b
再由1/2*12*b=1/2*c*h，得3<h<6。當h為整數時，其最大值是5。
再由：S=4a=12b=5c，由於a、b、c都是整數，4、5、12的最小公倍數是60，所以，面積S的最小值是60。這時，a=15,b=5,c=12,這時的周長就是周長的最小值，等於32。

3、設三個角的度數分別是x、y、z，且x≤y≤z<90度。
由題意，z=4x<90，所以x≤22度。
而x+y+z=180,得5x+y=180.所以y=180-5x≤z=4x,得x≥20度。
所以，滿足此條件的所有銳角三角形的度數是：（20，80，80），（21，75，84），（22，70，88）三種。

4、
（3，13，14），
（4，12，14），
（5，12，13），（5，11，14），
（6，11，13），（6，10，14），
（7，11，12），（7，10，13），（7，9，14），
（8，10，12），（8，9，13）
（9，10，11）
共12種。

5、由題意，有：
n*x^2=(n+124)*y^2
得：n=124*y^2/(x^2-y^2)
由於x、y互質,所以x^2、y^2也互質，同時y^2和(x^2-y^2)也互質。
所以，要y是整數，124必須能整除(x^2-y^2).
124隻有124、62、31、4、2、1幾個因素，分別來看：
1)x^2-y^2=124,（x+y)*(x-y)=124=2*2*31,x+y=62,x-y=2,x=32,y=30。這時xy不互質數，不和題意。
2）x^2-y^2=62，無整數解
3）x^2-y^2=4，無整數解
4）x^2-y^2=2，無整數解
5）x^2-y^2=1，無整數解

最後，只能是x^2-y^2=31，(x+y)(x-y)=1*31,x+y=31,x-y=1,x=16,y=15.
n=124*y^2/(x^2-y^2)=124*15^2/31=900

面積就是900*16*16=（900+124）*15*15=230400平方厘米=23.04平方米。

③ 全國大學生數學競賽試題及答案（非數學專業）

請問首屆全國大學生數學競賽試題是哪年的
我知道一個網站
要年份才能查
這個問題全國大學生數學競賽試題及答案（非數學專業）,好難啊，辛辛苦苦回答了，給我個滿意答案把

④ 阜陽市數學競賽試題及答案解析

由於時間問題，我想出來第二題的是：可以看出，「3，3」後隔著一個數，後面是「4，4」，那在隔著一個，後面有一個「5「，那所要填的就是「5」啦，總結一下就是，兩個相同數字之後隔著一個數字，而這兩個數字與後兩個的規律就是自然數的順序依次排列：「3，3 4,4 5,5,」 至於第一個，讓我再想想啊

⑤ 數學競賽題及答案

五年級數學競賽試卷
1.一個正方形的邊長增加3厘米，面積就增加39厘米，原來正方形的面積是多少平方厘米？
2.已知A、B兩個數的最小公倍數是1000；A、C兩數的最小公倍數和B、C兩個數的最小公倍數都是2000；滿足這個要求的數C有四個，分別是（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
3.已知1×2×3×4×5×6×……×n的末尾有連續100個0 ，那麼n最小是多少？
4.有一列數：1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、4、5、4、3、4、5、6、5、4、5、……這列數中前240個數的和是（ ）
6.有9個連續的質數，它們的和偶數，則其中後5個數的平均數是( ）
7.數列1234，5678，9101112，……中，有一個十位數，這個十位數是（ ）
8.個位是5的五位數中，能被9整除的所有的數的和是（ ）

10.在一個正八邊形的紙片內有100個點，以這100個點和八邊形的8個頂點為頂點的三角形，最多能剪出多少個？最少可以剪多少個三角形？

11.分一堆蘋果，每份3個，最後還剩一個；每份5個，最後還剩3個，每份7個最後還剩下5個，這堆蘋果最少有多少個

12.從早晨7時到晚上7時，鍾面上共有（ ）次時針與分針成500角

13.從一塊正方形木板上鋸下5厘米寬的一個木條後，剩下的面積是750平方厘米。問鋸下的木條的面積是多少平方厘米？

14.甲乙兩人進行百米賽跑，當甲到達終點時，乙在甲後面20米，如果甲乙兩人的速度保持不變，要使甲乙兩人同時到達終點，甲的起跑線要比原來向後移動多少米？

15.倉庫里原有一批存貨，以後陸續運貨進倉，且每天運進貨物同樣多。現在用載重量相同的汽車將倉庫里的貨物運出，如果每天用4輛汽車，則9天恰好運完，如果用5輛汽車，則6天恰好運完。如果每天用一輛汽車運出倉庫里原有的貨物，則需要幾天運完？

16.某市舉行長跑活動，長跑隊伍以每小時6千米的速度前進，長跑開始時，兩名記者小張和小王分別從排頭、排尾同時向隊伍中間行進，進行報道采訪活動。小張、小王都騎摩托車，每小時行10千米，他們在離隊伍中點900米處相遇。長跑隊伍有多少米長？

17.甲乙丙丁四人拿同樣多的錢，合夥買同樣規格的貨物若干件，貨物買回來之後，甲乙丙分別比丁多拿3，7，14件貨物，最後結算時，乙付給丁14元，那麼丙應該付給丁多少元？

18.甲乙兩人賣雞蛋，甲的雞蛋比乙多10個，可是全部賣出後的收入都是15元，如果甲的雞蛋按乙的價格出售可賣18元，那麼甲、乙各有多少個雞蛋？

19.爺爺和孫女沿著邊長為100米的正方形池塘散步，走法如圖。已知孫女每分走50米，爺爺每分走46米，至少經過多少分鍾孫女才能看到爺爺？

20.黑板上寫有一個數2003，甲乙兩人用這個數做數字游戲。從2003開始將黑板上的數減去一個非零數位上的數，得到一個新數，擦去原來的數。兩人輪流做，當誰得到的新數為0時，誰就獲勝。現在讓甲先做，他應該怎樣做才能保證一定取得勝利？

21.對於任意一個自然數n，當n為奇數時，加上121，當n為偶數時，除以2，這算一次操作。現在對三位數241連續進行操作，在操作過程中是否會出現100，為什麼？