數學聯賽真題

『壹』 歷屆高中數學競賽試題及答案

2011年全國高中數學聯賽江西省預賽
試 題

一、填空題（每小題10分，共 分）
、 是這樣的一個四位數，它的各位數字之和為 ；像這樣各位數字之和為 的四位數總共有 個．
、設數列 滿足: ,且對於其中任三個連續項 ,都有: .則通項 ．
、以拋物線 上的一點 為直角頂點，作拋物線的兩個內接直角三角形 與 ，則線段 與 的交點 的坐標為 ．
、設 ，則函數 的最大值是 ．
、 ．
、正三棱錐 的底面邊長為 ，側棱長為 ，過點 作與側棱 都相交的截面 ，那麼， 周長的最小值是 ．
、滿足 的一組正整數 ．
、用 表示正整數 的各位數字之和，則 ．
二、解答題（共 題，合計 分）
、（20分）、設 ，且滿足： ，求 的值．

、（ 分）如圖， 的內心為 ， 分別是
的中點， ，內切圓 分別與邊 相切於 ；證明： 三線共點．

、（ 分）在電腦屏幕上給出一個正 邊形，它的頂點分別被塗成黑、白兩色；某程序執行這樣的操作：每次可選中多邊形連續的 個頂點（其中 是小於 的一個固定的正整數），一按滑鼠鍵，將會使這 個頂點「黑白顛倒」，即黑點變白，而白點變黑；
、證明：如果 為奇數，則可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成白色，也可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成黑色；
、當 為偶數時，是否也能經過有限次這樣的操作，使得所有的頂點都變成一色？證明你的結論．

解 答

、 ．提示：這種四位數 的個數，就是不定方程 滿足條件 ， 的整解的個數；即 的非負整解個數，其中 ，易知這種解有 個，即總共有 個這樣的四位數．（註：也可直接列舉．）
、 ． 提示：由條件得，
，
所以
，
故 ，而 ；

；
於是
；
由此得
.

、 ．提示：設 ，則

，
直線 方程為
，
即 ，因為 ，則
，
即
，
代人方程得
，
於是點 在直線 上；
同理，若設 ，則 方程為
，
即點 也在直線 上，因此交點 的坐標為 ．
、 ．提示：由

所以，
，
即
，
當 ，即 時取得等號．
、 ．提示：

．
、 ．提示：作三棱錐側面展開圖，易知 ∥ ，且由周長最小，得 共線，於是等腰 ， ，
，
即 ， ，
，
所以 ，由 ，則
．
、 ．提示：由於 是 形狀的數，所以 必為奇數，而 為偶數， 設 ， ，代人得
，
即
. ①
而 為偶數，則 為奇數，設 ，則
，
由①得，
， ②
則 為奇數，且 中恰有一個是 的倍數，當 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為
，
即 ，於是 ；
若 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為 ，即 ，它無整解；
於是 是唯一解： ．
（另外，也可由 為偶數出發，使

為 的倍數，那麼 是 的倍數，故 是 形狀的偶數，依次取 ，檢驗相應的六個數即可．）

、 ．提示：添加自然數 ，這樣並不改變問題性質；先考慮由 到 這一千個數，將它們全部用三位數表示，得到集 ，易知對於每個 ，首位為 的「三位數」恰有 個： ，
這樣，所有三位數的首位數字和為
.
再將 中的每個數 的前兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合仍是 ，
又將 中的每個數 的首末兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合也是 ，由此知
．
今考慮四位數：在 中，首位（千位）上，共有一千個 ，而在
中，首位（千位）上，共有一千個 ，因此
；
其次，易算出， . 所以，
．
、由
，
即
，
平方得

所以

，
即
，
所以
．

、如圖，設 交於點 ，連 ，由於中位線 ∥ ，以及 平分 ，則 ，所以 ，因 ，得 共圓．所以 ；又注意 是 的內心，則
.
連 ，在 中，由於切線 ，所以
，
因此 三點共線，即有 三線共點．
、 證明：由於 為質數，而 ，則 ，據裴蜀定理，存在正整數 ，使
, ①
於是當 為奇數時，則①中的 一奇一偶．
如果 為偶數， 為奇數，則將①改寫成：
，
令 ，上式成為 ，其中 為奇數， 為偶數．
總之存在奇數 和偶數 ，使①式成立；據①，
, ②
現進行這樣的操作：選取一個點 ，自 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了奇數次（ 次），從而改變了顏色，而其餘所有頂點都改變了偶數次（ 次）狀態，其顏色不變；稱這樣的 次操作為「一輪操作」，由於每一輪操作恰好只改變一個點的顏色，因此，可以經過有限多輪這樣的操作，使所有黑點都變成白點，從而多邊形所有頂點都成為白色；也可以經過有限多輪這樣的操作，使所有白點都變成黑點，從而多邊形所有頂點都成為黑色．
、當 為偶數時，也可以經過有限多次這樣的操作，使得多邊形所有頂點都變成一色．具體說來，我們將有如下結論：
如果給定的正多邊形開初有奇數個黑點、偶數個白點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全黑，而不能變成全白；反之，如果給定的正多邊形開初有奇數個白點、偶數個黑點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全白，而不能變成全黑；
為此，採用賦值法：將白點改記為「 」，而黑點記為「 」，改變一次顏色，相當於將其賦值乘以 ，而改變 個點的顏色，即相當於乘了 個（偶數個） ，由於 ；
因此當多邊形所有頂點賦值之積為 ，即總共有奇數個黑點，偶數個白點時，每次操作後，其賦值之積仍為 ，因此無論操作多少次，都不能將全部頂點變白．
但此時可以變成全黑，這是由於，對於偶數 ，則①②中的 為奇數，設 是多邊形的兩個相鄰頂點，自點 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了偶數次（ 次），從而顏色不變，而其餘所有 個頂點都改變了奇數次（ 次）狀態，即都改變了顏色；再自點 開始，按同樣的方法操作 次後，點 的顏色不變，其餘所有 個頂點都改變了顏色；於是，經過上述 次操作後，多邊形恰有 兩個相鄰頂點都改變了顏色，其餘所有 個點的顏色不變．
現將這樣的 次操作合並，稱為「一輪操作」；每一輪操作，可以使黑白相鄰的兩點顏色互換，因此經過有限輪操作，總可使同色的點成為多邊形的連續頂點；
於是當多邊形開初總共有偶數個白點時，每一輪操作又可將相鄰兩個白點變成黑點，使得有限輪操作後，多邊形所有頂點都成為黑色．
同理得，如果給定的正多邊形開初總共有奇數個白點、偶數個黑點，經過有限次操作，可以使多邊形頂點變成全白，而不能變成全黑；（只需將黑點賦值為「 」，白點賦值為「 」，證法便完全相同）．

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