名師一號數學答案

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一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．sin105°cos105°的值為()

A.4(1)B．－4(1)

C.4(3)D．－4(3)

解析原式＝2(1)sin210°＝－2(1)sin30°＝－4(1).

答案B

2．若sin2α＝4(1)，4(π)<α<2(π)，則cosα－sinα的值是()

A.2(3)B．－2(3)

C.4(3)D．－4(3)

解析(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－4(1)＝4(3).

又4(π)<α<2(π)，

∴cosα<sinα，cosα－sinα＝－4(3)＝－2(3).

答案B

3．sin15°sin30°sin75°的值等於()

A.4(1)B.4(3)

C.8(1)D.8(3)

解析sin15°sin30°sin75°

＝sin15°cos15°sin30°

＝2(1)sin30°sin30°＝2(1)×2(1)×2(1)＝8(1).

答案C

4．在△ABC中，∠A＝15°，則sinA－cos(B＋C)的值為()

A.B.2(2)

C.2(3)D.2

解析在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，

sinA－cos(B＋C)

＝sinA＋cosA

＝2(2(3)sinA＋2(1)cosA)

＝2cos(60°－A)＝2cos45°＝.

答案A

5．已知tanθ＝3(1)，則cos2θ＋2(1)sin2θ等於()

A．－5(6)B．－5(4)

C.5(4)D.5(6)

解析原式＝cos2θ＋sin2θ(cos2θ＋sinθcosθ)＝1＋tan2θ(1＋tanθ)＝5(6).

答案D

6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，則△ABC是()

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

解析∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝2(π).

答案D

7．設a＝2(2)(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝2(3)，則()

A．c<a<bB．b<c<a

C．a<b<cD．b<a<c

解析a＝2(2)sin17°＋2(2)cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，

b＝2cos213°－1＝cos26°，

c＝2(3)＝cos30°，

∵y＝cosx在(0,90°)內是減函數，

∴cos26°>cos28°>cos30°，即b>a>c.

答案A

8．三角形ABC中，若∠C>90°，則tanA·tanB與1的大小關系為()

A．tanA·tanB>1B.tanA·tanB<1

C．tanA·tanB＝1D．不能確定

解析在三角形ABC中，∵∠C>90°，∴∠A，∠B分別都為銳角．

則有tanA>0，tanB>0，tanC<0.

又∵∠C＝π－(∠A＋∠B)，

∴tanC＝－tan(A＋B)＝－1－tanA·tanB(tanA＋tanB)<0，

易知1－tanA·tanB>0，

即tanA·tanB<1.

答案B

9．函數f(x)＝sin24(π)－sin24(π)是()

A．周期為π的奇函數

B．周期為π的偶函數

C．周期為2π的奇函數

D．周期為2π的偶函數

解析f(x)＝sin24(π)－sin24(π)

＝cos2－x(π)－sin24(π)

＝cos24(π)－sin24(π)

＝cos2(π)

＝sin2x.

答案A

10．y＝cosx(cosx＋sinx)的值域是()

A．[－2,2]B.，2(2)

C.2()D.2(3)

解析y＝cos2x＋cosxsinx＝2(1＋cos2x)＋2(1)sin2x

＝2(1)＋2(2)2()

＝2(1)＋2(2)sin(2x＋4(π))．∵x∈R，

∴當sin4(π)＝1時，y有最大值2(2)；

當sin4(π)＝－1時，y有最小值2(2).

∴值域為2().

答案C

11．已知θ為第二象限角，sin(π－θ)＝25(24)，則cos2(θ)的值為()

A.35(3)B.5(4)

C．±5(3)D．±5(4)

解析由sin(π－θ)＝25(24)，得sinθ＝25(24).

∵θ為第二象限的角，∴cosθ＝－25(7).

∴cos2(θ)＝±2(1＋cosθ)＝±25()＝±5(3).

答案C

12．若α，β為銳角，cos(α＋β)＝13(12)，cos(2α＋β)＝5(3)，則cosα的值為()

A.65(56)B.65(16)

C.65(56)或65(16)D．以上都不對

解析∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝13(12)>0，

∴0<α＋β<2(π)，sin(α＋β)＝13(5).

∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝5(3)>0，

∴0<2α＋β<2(π)，sin(2α＋β)＝5(4).

∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]

＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)

＝5(3)×13(12)＋5(4)×13(5)＝65(56).

答案A

二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分．將答案填在題中橫線上)

13．若1－tanα(1＋tanα)＝2012，則cos2α(1)＋tan2α＝______.

解析cos2α(1)＋tan2α＝cos2α(1＋sin2α)

＝cos2α－sin2α(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα)

＝1－tan2α(tan2α＋1＋2tanα)＝1－tan2α((tanα＋1)2)＝1－tanα(1＋tanα)＝2012.

答案2012

14．已知cos2α＝3(1)，則sin4α＋cos4α＝________.

解∵cos2α＝3(1)，

∴sin22α＝9(8).

∴sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α

＝1－2(1)sin22α＝1－2(1)×9(8)＝9(5).

答案9(5)

15.2cosα(sin(α＋30°)＋cos(α＋60°))＝________.

解析∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinαcos30°＋cosαsin30°＋cosαcos60°－sinαsin60°＝cosα，

∴原式＝2cosα(cosα)＝2(1).

答案2(1)

16．關於函數f(x)＝cos(2x－3(π))＋cos(2x＋6(π))，則下列命題：

①y＝f(x)的最大值為；

②y＝f(x)最小正周期是π；

③y＝f(x)在區間24(13π)上是減函數；

④將函數y＝cos2x的圖像向右平移24(π)個單位後，將與已知函數的圖像重合．

其中正確命題的序號是________．

解析f(x)＝cos3(π)＋cos6(π)

＝cos3(π)＋sin6(π)

＝cos3(π)－sin3(π)

＝·3(π)

＝cos4(π)

＝cos12(π)，

∴y＝f(x)的最大值為，最小正周期為π，故①，②正確．

又當x∈24(13π)時，2x－12(π)∈[0，π]，∴y＝f(x)在24(13π)上是減函數，故③正確．

由④得y＝cos224(π)＝cos12(π)，故④正確．

答案①②③④

三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17．(10分)已知向量m＝，－1(2)，n＝(sinx,1)，m與n為共線向量，且α∈，0(π).

(1)求sinα＋cosα的值；

(2)求sinα－cosα(sin2α)的值．

解(1)∵m與n為共線向量，

∴3(2)×1－(－1)×sinα＝0，

即sinα＋cosα＝3(2).

(2)∵1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝9(2)，

∴sin2α＝－9(7).

∴(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝9(16).

又∵α∈，0(π)，∴sinα－cosα<0.

∴sinα－cosα＝－3(4).

∴sinα－cosα(sin2α)＝12(7).

18．(12分)求證：4()＝1－tanα(1＋tanα).

證明左邊＝4()

＝4()

＝2()

＝cos2α－sin2α(1＋sin2α)＝cos2α－sin2α((sinα＋cosα)2)

＝cosα－sinα(cosα＋sinα)＝1－tanα(1＋tanα).

∴原等式成立．

19．(12分)(2010·北京)已知函數f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.

(1)求f3(π)的值；

(2)求f(x)的最大值和最小值．

解(1)f3(π)＝2cos3(2π)＋sin23(π)－4cos3(π)

＝2×2(1)＋2(3)2－4×2(1)

＝－1＋4(3)－2＝－4(9).

(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx

＝3cos2x－4cosx－1＝33(2)2－3(7)，

∵x∈R，cosx∈[－1,1]，

∴當cosx＝－1時，f(x)有最大值6；

當cosx＝3(2)時，f(x)有最小值－3(7).

20．(12分)已知cos4(π)＝10(2)，x∈4(3π).

(1)求sinx的值；

(2)求sin3(π)的值．

解(1)解法1：∵x∈4(3π)，

∴x－4(π)∈2(π)，

於是sin4(π)＝4(π)＝10(2).

sinx＝sin4(π)

＝sin4(π)cos4(π)＋cos4(π)sin4(π)

＝10(2)×2(2)＋10(2)×2(2)

＝5(4).

解法2：由題設得

2(2)cosx＋2(2)sinx＝10(2)，

即cosx＋sinx＝5(1).

又sin2x＋cos2x＝1，

從而25sin2x－5sinx－12＝0，

解得sinx＝5(4)，或sinx＝－5(3)，

因為x∈4(3π)，所以sinx＝5(4).

(2)∵x∈4(3π)，故

cosx＝－＝－2(4)＝－5(3).

sin2x＝2sinxcosx＝－25(24).

cos2x＝2cos2x－1＝－25(7).

∴sin3(π)

＝sin2xcos3(π)＋cos2xsin3(π)

＝－50(3).

21．(12分)(2011·北京)已知函數

f(x)＝4cosxsin6(π)－1.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在區間4(π)上的最大值和最小值．

解(1)因為f(x)＝4cosxsin6(π)－1

＝4cosxcosx(1)－1

＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x

＝2sin6(π)

所以f(x)的最小正周期為π.

(2)－6(π)≤x≤4(π)，所以－6(π)≤2x＋6(π)≤3(2π)，

當2x＋6(π)＝2(π)時，即x＝6(π)，f(x)取得最大值2；

當2x＋6(π)＝－6(π)時，即x＝－6(π)，f(x)取得最小值－1.

22．(12分)(2011·四川)已知函數f(x)＝sin4(7π)＋cos4(3π)，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期和最小值；

(2)已知cos(β－α)＝5(4)，cos(β＋α)＝－5(4)，0<α<β≤2(π)，求證：[f(β)]2－2＝0.

解(1)∵f(x)＝sin－2π(7π)＋sin2(π)

＝sin4(π)＋sin4(π)＝2sin4(π)，

∴T＝2π，f(x)的最小值為－2.

(2)證明：由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝5(4)，

cosβcosα－sinβsinα＝－5(4).

兩式相加，得2cosβcosα＝0，

∵0<α<β≤2(π)，∴β＝2(π).

∴[f(β)]2－2＝4sin24(π)－2＝0.