數學競賽題高中

㈠ 高中數學競賽題

我曾經參加過全國高中數學競賽。初賽的題目比任何學校公開的數學考試的最後一題都難。建議你買一本高中數學競賽題看一下，上面有很多例子。初賽的題目目標是讓百分之五十的人題目意思都看不懂，讓百分之九十九的人根本無從下手如何解題。只讓百分之一的人能做出來。

㈡ 高中數學競賽題

這個不是很難，關鍵是我們只需考慮x大於0的情況，因為x小於零和x大於零是一樣的。

㈢ 數學競賽題幾道-高中-需要過程

設A對應阿爾法角，有一個角大於等於六十度，設為A,過它的平分線的另一端坐垂線交AB於E,交AC的延長線於F,如下圖，設AB≥AC則AB/AC=BD/DC,這是角平分線定理，則BD≥CD,面積BDE=1/2*BD*DE*sinEDB,面積DCF=1/2*DC*DF*sinCDF,對頂角相等，ED=DF,BD≥CD故面積BDE不小於面積DCF,這樣面積AEF不大於面積ABC,面積AEF=DF*AD,tan[(1/2)A]=DF/AD≥tan30,DF≥AD*tan30,面積aEF≥AD^2*tan30＞tan30,面積ABC＞tan30

第一題中先構造一個排列[100.1.90.11.80.21.70.31.60.41.][99.2.89.12....59.42].....[91.10.81.20.71.30......51.50]這個排列中十數組是值是505或504，故A的值最大為505，任意排列中一定有一個十數組不小於505，否則若都小於505，設出b1b2...b10是a1a2a3...a100的排列中和值最大的，則b1b2..b10>a1a2..a10,b1b2..b10>a11a12..a20,b1b2..b10>a91a92..a100則505*10>10(b1+b2+..b10)>a1+a2+..a100=5050構成矛盾，這是我的最終的答案不在修改了

㈣ 高中數學競賽題！

第一題只是個配方，第一個平方根是k[a(n)+1],第二個平方根是（k+1)a(n),然後把配好的n減去1就是a(n)了，不會打平方根不打了=。=
第二題用數學歸納法最好，因為一試就知道了所有值都是1，我就不多說了
第三題你說的不清楚啊，我姑且理解成在小三角形里再做小三角形吧，相似三角形面積比等於邊長的平方的比，設第一個三角形是原三角形的N分之1，那麼第二個就是第一個的N分之一，是原三角形的N方分之一，即解方程1/N+1/N^2+1/N^3。。。，將此方程左右乘N，然後相減，得N=2，所以邊長就是根號2倍，然後看三角形BA1B1，已知BA1+BB1=根號2倍的B1A1（由對稱性得知），然後用餘弦定理算出BB1，之後用正弦定理可算出艾爾法角的正弦值，結果我查正弦值沒查出來，看來不是個整數，也可能我算錯了。。。有問題可問我，實在是不會打符號，就不給你打結果了，期望其他人能給出答案

㈤ 如何做數學競賽題（高中）

我初三時就得了全國高中數學聯賽的一等獎
還是有一些經驗的
首先要全面掌握考綱上一試的全部內容，不要有弱點
然後找一些模擬題，一定要限時做。（考試時間很緊）
也可以做一些高考題
二試難度較大，很難一蹴而就，需要長期准備。
可以看華東師范大學的《奧數教程》系列。

㈥ 歷屆高中數學競賽試題和答案

二00四年全國高中數學聯合競賽（天津初賽）
（9月19日上午9：00～11：00）
一、選擇題（本題共6個小題，每小題5分滿分30分）
（1）若函數 的最大值為 ，最小值為 ，則 等於（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）若 ，且 ，則下列各式中最大的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知數列 ， ， ， ， ，…，這個數列的特點是從第二項起，每一項都等於它的前後兩項之和，則這個數列的前 項之和 等於（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）已知函數 的反函數是 ，且 ，則（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）正四棱錐 中，側棱與底面所成的角為 ，側面與底面所成的角為 ，側面等腰
三角形的底角為 ，相鄰兩側面所成的二面角為 ，則 、 、 、 的大小關系是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（6）若對任意的長方體 ，都存在一個與 等高的長方體 ，使得 與 的側面積之比和體積之比都等於 ，則 的取值范圍是（ ）
（A） （B） （C） （D）

二、填空題（本題共6個小題，每小題5分，滿分30分）
（7）若關於 的方程 只有一個實數解，則 的值等於 ．
（8）在 中，若 ， ，且最長的邊的長為 ，則最短的邊的的長等於 ．
（9）若正奇數 不能表示為三個不相等的合數之和，則滿足條件的 的最大值為 ．
（10）設 、 、 是直角三角形的三條邊長，且 ，其中 ， ，則 的值等於 ．
（11）連接正文體各個頂點的所有直線中，異面直線共有 對．
（12）如圖，以 、 為頂點作正 ，再以 和 的中點 為頂點作正 ，再以 和 的中點 為頂點作正 ，…，如此繼續下去．有如下結論：
①所作的正三角形的邊長構成公比為 的等比數列；
②每一個正三角形都有一個頂點在直線 （ ）上；
③第六個正三角形的不在第五個正三角形邊上的頂點 的坐標是 ；
④第 個正三角形的不在第 個正三角形邊上的頂點 的橫坐標是 ．
其中正確結論的序號是 （把你認為正確結論的序號都填上）．
三、解答題（本題共3小題，每小題20分，滿分60分）
（13）已知函數 （ ， ）的反函數是 ，而且函數 的圖象與函數 的圖象關於點 對稱．
（Ⅰ）求函數 的解析式；
（Ⅱ）若函數 在 上有意義，求 的取值范圍．
（14）設邊長為 的正 的邊 上有 等分點，沿點 到點 的方向，依次為 ， ，…， ，若 ，求證： ．

（15）已知 是等差數列， 為公差且不等於 ， 和 均為實數，它的前 項和記作 ，設集合 ， ，試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明．
（Ⅰ）若以集合 中的元素作為點的坐標，則這些點都在一條直線上；
（Ⅱ） 至多有一個元素；
（Ⅲ）當 時，一定有 ．

㈦ 數學競賽高中知識

初中的復競賽一定不會直制接涉及向量的，感覺用解析（向量的方法）也不適合解初中的平面幾何題，
我感覺你可以找找關於不等式和數論，圖論的書看下，只需要最淺的一點對初中競賽都幫助很大。
因為初中的同學根本不知道問題的本質，所以看到題目，往往沒有頭緒。
相信我 ，我初中和高中競賽都是全國一等獎。
有問題可以繼續追問我，希望採納哈

㈧ 高中數學競賽題

(1)令㏒9（p）=㏒12(q)=㏒16(p+q)=k
p=9^k q=12^k p+q=16^k
9^k+12^k=16^k
1+(4/3)^k=(4/3)^2k
(4/3)^k=(1+√5)/2
q/p=(4/3)^k=(1+√5)/2
(2)設a^x=b^y=c^z=70^w=k
x=loga(k) 1/x=1/loga(k)=logk(a)
同理 1/y=logk(b) 1/z=logk(c) 1/w=logk(70)
1/x+1/y+1/z=logk(abc)=1/w=logk(70)
abc=70
又因為a,b,c為正整數且a≤b≤c 而a^x 則a≠1
70=2×5×7
所以a=2 b=5 c=7
則a+b=c
(3)x/z=a^[logt(a/b)]
因為0＜a＜b＜1，0＜t＜1,
a/b<1 logt(a/b)>0 所以x/z=a^[logt(a/b)]<a^0=1
則x<z
y/z=(b/a)^logt(b)
因為0＜a＜b＜1，0＜t＜1 logt(b)>logt(1)=0
b/a>1 (b/a)^logt(b)>b/a)^0=1
所以y>z
則 y>z>x
(4)lg(lg（y）)=lg(3x)+lg(3-x)=lg[3z(3-x)]
lgy=3x(3-x)
y=10^[3x(3-x)]=10^(9x-3x^2)
因為lgy>=1
所以 3x>0 ,3-x>0 ,3z(3-x)≥1
解得 （9-√69)/6≤x≤(9+√69)/6

y≥10

㈨ 歷屆高中數學競賽試題及答案

2011年全國高中數學聯賽江西省預賽
試 題

一、填空題（每小題10分，共 分）
、 是這樣的一個四位數，它的各位數字之和為 ；像這樣各位數字之和為 的四位數總共有 個．
、設數列 滿足: ,且對於其中任三個連續項 ,都有: .則通項 ．
、以拋物線 上的一點 為直角頂點，作拋物線的兩個內接直角三角形 與 ，則線段 與 的交點 的坐標為 ．
、設 ，則函數 的最大值是 ．
、 ．
、正三棱錐 的底面邊長為 ，側棱長為 ，過點 作與側棱 都相交的截面 ，那麼， 周長的最小值是 ．
、滿足 的一組正整數 ．
、用 表示正整數 的各位數字之和，則 ．
二、解答題（共 題，合計 分）
、（20分）、設 ，且滿足： ，求 的值．

、（ 分）如圖， 的內心為 ， 分別是
的中點， ，內切圓 分別與邊 相切於 ；證明： 三線共點．

、（ 分）在電腦屏幕上給出一個正 邊形，它的頂點分別被塗成黑、白兩色；某程序執行這樣的操作：每次可選中多邊形連續的 個頂點（其中 是小於 的一個固定的正整數），一按滑鼠鍵，將會使這 個頂點「黑白顛倒」，即黑點變白，而白點變黑；
、證明：如果 為奇數，則可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成白色，也可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成黑色；
、當 為偶數時，是否也能經過有限次這樣的操作，使得所有的頂點都變成一色？證明你的結論．

解 答

、 ．提示：這種四位數 的個數，就是不定方程 滿足條件 ， 的整解的個數；即 的非負整解個數，其中 ，易知這種解有 個，即總共有 個這樣的四位數．（註：也可直接列舉．）
、 ． 提示：由條件得，
，
所以
，
故 ，而 ；

；
於是
；
由此得
.

、 ．提示：設 ，則

，
直線 方程為
，
即 ，因為 ，則
，
即
，
代人方程得
，
於是點 在直線 上；
同理，若設 ，則 方程為
，
即點 也在直線 上，因此交點 的坐標為 ．
、 ．提示：由

所以，
，
即
，
當 ，即 時取得等號．
、 ．提示：

．
、 ．提示：作三棱錐側面展開圖，易知 ∥ ，且由周長最小，得 共線，於是等腰 ， ，
，
即 ， ，
，
所以 ，由 ，則
．
、 ．提示：由於 是 形狀的數，所以 必為奇數，而 為偶數， 設 ， ，代人得
，
即
. ①
而 為偶數，則 為奇數，設 ，則
，
由①得，
， ②
則 為奇數，且 中恰有一個是 的倍數，當 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為
，
即 ，於是 ；
若 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為 ，即 ，它無整解；
於是 是唯一解： ．
（另外，也可由 為偶數出發，使

為 的倍數，那麼 是 的倍數，故 是 形狀的偶數，依次取 ，檢驗相應的六個數即可．）

、 ．提示：添加自然數 ，這樣並不改變問題性質；先考慮由 到 這一千個數，將它們全部用三位數表示，得到集 ，易知對於每個 ，首位為 的「三位數」恰有 個： ，
這樣，所有三位數的首位數字和為
.
再將 中的每個數 的前兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合仍是 ，
又將 中的每個數 的首末兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合也是 ，由此知
．
今考慮四位數：在 中，首位（千位）上，共有一千個 ，而在
中，首位（千位）上，共有一千個 ，因此
；
其次，易算出， . 所以，
．
、由
，
即
，
平方得

所以

，
即
，
所以
．

、如圖，設 交於點 ，連 ，由於中位線 ∥ ，以及 平分 ，則 ，所以 ，因 ，得 共圓．所以 ；又注意 是 的內心，則
.
連 ，在 中，由於切線 ，所以
，
因此 三點共線，即有 三線共點．
、 證明：由於 為質數，而 ，則 ，據裴蜀定理，存在正整數 ，使
, ①
於是當 為奇數時，則①中的 一奇一偶．
如果 為偶數， 為奇數，則將①改寫成：
，
令 ，上式成為 ，其中 為奇數， 為偶數．
總之存在奇數 和偶數 ，使①式成立；據①，
, ②
現進行這樣的操作：選取一個點 ，自 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了奇數次（ 次），從而改變了顏色，而其餘所有頂點都改變了偶數次（ 次）狀態，其顏色不變；稱這樣的 次操作為「一輪操作」，由於每一輪操作恰好只改變一個點的顏色，因此，可以經過有限多輪這樣的操作，使所有黑點都變成白點，從而多邊形所有頂點都成為白色；也可以經過有限多輪這樣的操作，使所有白點都變成黑點，從而多邊形所有頂點都成為黑色．
、當 為偶數時，也可以經過有限多次這樣的操作，使得多邊形所有頂點都變成一色．具體說來，我們將有如下結論：
如果給定的正多邊形開初有奇數個黑點、偶數個白點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全黑，而不能變成全白；反之，如果給定的正多邊形開初有奇數個白點、偶數個黑點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全白，而不能變成全黑；
為此，採用賦值法：將白點改記為「 」，而黑點記為「 」，改變一次顏色，相當於將其賦值乘以 ，而改變 個點的顏色，即相當於乘了 個（偶數個） ，由於 ；
因此當多邊形所有頂點賦值之積為 ，即總共有奇數個黑點，偶數個白點時，每次操作後，其賦值之積仍為 ，因此無論操作多少次，都不能將全部頂點變白．
但此時可以變成全黑，這是由於，對於偶數 ，則①②中的 為奇數，設 是多邊形的兩個相鄰頂點，自點 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了偶數次（ 次），從而顏色不變，而其餘所有 個頂點都改變了奇數次（ 次）狀態，即都改變了顏色；再自點 開始，按同樣的方法操作 次後，點 的顏色不變，其餘所有 個頂點都改變了顏色；於是，經過上述 次操作後，多邊形恰有 兩個相鄰頂點都改變了顏色，其餘所有 個點的顏色不變．
現將這樣的 次操作合並，稱為「一輪操作」；每一輪操作，可以使黑白相鄰的兩點顏色互換，因此經過有限輪操作，總可使同色的點成為多邊形的連續頂點；
於是當多邊形開初總共有偶數個白點時，每一輪操作又可將相鄰兩個白點變成黑點，使得有限輪操作後，多邊形所有頂點都成為黑色．
同理得，如果給定的正多邊形開初總共有奇數個白點、偶數個黑點，經過有限次操作，可以使多邊形頂點變成全白，而不能變成全黑；（只需將黑點賦值為「 」，白點賦值為「 」，證法便完全相同）．

㈩ 高中數學競賽試題