數學歸納法證明數列

A. 用數學歸納法證明斐波那契數列公式

假設對小或等於n的自然數k，a（k）={[(1＋sqrt(5))/2]^k － [(1－sqrt(5))/2]^k }/sqrt(5)都成立，當n=k+1時，就有

a（k+1）=a（k）+a（k-1）

={[(1＋sqrt(5))/2]^k － [(1－sqrt(5))/2]^k }/sqrt(5)+{[(1＋sqrt(5))/2]^（k-1） － [(1－sqrt(5))/2]^（k-1 ）}/sqrt(5)

={[(1＋sqrt(5))/2]^（k-1）[（3+sqrt（5））/2] － [(1－sqrt(5))/2]^(k-1)）[（3-sqrt（5））/2] }/sqrt(5)

={[(1＋sqrt(5))/2]^（k-1）[（6+2sqrt（5））/4] － [(1－sqrt(5))/2]^(k-1)）[（6-2sqrt（5））/4] }/sqrt(5)

={[(1＋sqrt(5))/2]^（k-1）[（1+sqrt（5））/2] ^2 － [(1－sqrt(5))/2]^(k-1)[（1-sqrt（5））/2] ^2}/sqrt(5)

={[(1＋sqrt(5))/2]^（k+1）－ [(1－sqrt(5))/2]^(k+1)}/sqrt(5)

這就說明公式對n=k+1也成立。

(1)數學歸納法證明數列擴展閱讀：

數學歸納法證明解題要點

最簡單和常見的數學歸納法是證明當n等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：

1、證明當n= 1時命題成立。

2、假設n=m時命題成立，那麼可以推導出在n=m+1時命題也成立。（m代表任意自然數）

數學歸納法對解題的形式要求嚴格，數學歸納法解題過程中，第一步驗證n取第一個自然數時成立，之後假設n=k時成立，然後以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。最後總結表述。

B. 怎樣用數學歸納法證明這是遞增數列

可以不要數學歸納法？

C. 數學歸納法證明數列單調性，謝謝!

證明過程如圖請參考

D. 數學歸納法證明數列通項公式

n=1時,3a1²=3a1,a1=0或1 0捨去

n=2是,3（a1²+a2²）=5（a1+a2）即3（1²+a2²）=5（1+a2）；3a2²-5a2-2=0則（a2-2）*（3a2+1）=0,a2=2

假設n=k時成立,即3（a1²+a2²+……ak²）=（2k+1）（a1+a2+a3+...+an)時ak=k成立
那麼n=k+1時,3（1²+2²+……+k²+（ak+1）²）=(2(k+1)+1)(1+2+3……k+（ak+1）)
3*k(k+1)(2k+1)/6+3（ak+1）²=(2k+3)(1+k)k/2+(2k+3)*（ak+1）化簡得
3（ak+1）²-(2k+3)（ak+1）-k(k+1)=0即（（ak+1）-（k+1））*（3（ak+1）+k）=0
所以ak+1=k+1
綜上所述,an=n

E. 數學歸納法的證明數列

證明：n個元素有2的n次方個子集
（1）當n=1時，2的1次方=2，有2個子集
（2）當n=k時（k≥2），2的k次方，有2的k個子集
則，當n=k+1時，2*n=2*（k+1）=2*k×2，就有2個2的k個子集。故成立。

F. 數學歸納法怎麼證明數列的單調性

如果要證明單調遞增，只要先證明a2＞a1 ，然後假設ak+1＞ak，證明ak+2＞ak+1 ，其中k為大於等於1的整數。這樣就可以了。

G. 如何用數學歸納法證明數列{an}的通項公式an=f(n)

a(k+1)=2ak-(k+3)/(k+1)(k+2)

把已知的ak帶入，化簡就可以了

H. 如何用數學歸納法證明0≤數列≤1

太容易了，括弧都是非負的，不全為0，所以後面都＞0了。
括弧內都是不＞1的，且不全為1，所以後面都小於1了。

I. 用數學歸納法證明數列成立

證明：
當n=2時，A2＝A1²-A1+1=2²-2+1=3
A2=A1+1=3.所以有A2＝A1＋1成立。
假設當n=k時，等式成立，即有
A(k+1)=Ak*A(k-1)*A(k-2)*...*A1+1
成立
那麼當n=k+1時
A(k+2)=A²(k+1)-A(k+1)+1
=A(k+1)(A(k+1)-1)+1
因為A(k+1)-1=Ak*A(k-1)*A(k-2)*...*A1.代入上式得
A(k+2)=A(k+1)*Ak*A(k-1)*A(k-2)*...*A1+1
滿足
A(n+1)=AnA(n-1)...A1+1.成立。
所以等式得證。