数学创新
一、引言
创新是人类真知的全部来源。在人类从蛮荒走向文明，从蒙昧走向有知，从远古走向现代的漫长历程中，每一次进步都体现着创新的思想光华。可以毫不夸张地说，人类发展的生长点在于人的创造力。[1]
“创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。”从当今社会的发展和对人才需求的角度来看，社会对人才的评价标准发生了巨大变化，不但要求知识渊博，具有合作能力、团队精神，还要求具有创新意识、创新精神和创新能力。“教育是知识创新、传播和应用的主要基地，也是培育创新精神和创新人才的重要摇篮。无论在培养高素质的劳动者和专业人才方面，还是在提高创新能力和提供知识、技术创新成果方面，教育都具有独特的重要意义。”因此培养和发展学生的创新能力理所当然地成为新一轮教育改革中新课程目标的一个极其重要的组成部分。[2] 数学是基础教育的主要内容，是三大主科之一，在数学课堂教学中培养学生的创新能力是时代对我们教育提出的要求。培养学生的创新能力成为数学教学的一个重要目的和一条基本原则。那么如何在数学课堂教学中培养学生的创新能力呢？
二、数学教师自身要具有创新精神
教师自身所具有的创新精神是数学课堂教学中培养学生创新能力的重要因素，这是因为学生知识的获得能力的形成与教师的主导作用是分不开的，教师自身具有的创新精神会极大地鼓舞学生的创新热情。因此教师要不断努力提高自身的创新能力，掌握更具有创新性、更灵活的教学方法，在教学实践中，不断探索和创新、不断丰富和提高自己。
(一) 要克服经验主义， 具有现代化教育观念
每一个教师在教学过程中,都会获得很多成功的经验，尤其是老教师，具有丰富的教学经验，有一位经验丰富的数学老教师曾经这样说过：“教了几十年了，都是这一种教法，还改什么革啊！还是留给年轻一代的新教师吧！”这些教师只凭经验教学，不考虑如何改进教学方法，使自己缺乏创新意识。有一句古话说：活到老，学到老。意思是说人只要活着就要学习，就要不断改进自己，跟上时代的步伐。作为创新型的教师，就要克服经验主义、不断改进教学方法，做到与时俱进。
具有现代化教育观念，是作为一个创新型教师的前提。创新型教师要有远大的目光，在教育观念上有超前意识，能够根据科学与社会的发展趋势确定新的教育理念,不断更新思想,拓宽自己的知识视野,时刻关注国内外的最新的教育动态,以适应时代的发展要求。
(二) 要有坚实的业务素质，勇于探索的改革精神,
教师应不断完善自己的知识结构，不仅要熟练数学学科的知识，还要了解其他学科的相关知识，善于吸收自然科学与社会科学领域的最新知识，融汇贯通，不断扩大知识面，高屋建瓴的理解数学学科的知识。
创新就要勇于探索，勇于向传统的思维模式发起挑战。任何科技成果的产生，都是经过多次反复试验成功，没有探索就没有成功、没有探索就没有改革、没有探索就没有现代的社会，要做一名创新型教师，就要大胆的改革课堂教学，改变传统教学模式中不适应培养学生创新能力的教学。
（三） 建立良好的师生关系，营造平等和谐的新型师生关系
传统的师生关系重于“师道尊严”，很多教师教育学生要听话，老师的话就是圣旨，不允许学生有任何反抗。在顶岗支教活动中，听课时发现学生在课堂上非常安静，既不回答问题，也不提出问题，该课的数学教师在课堂上一直处于自问自答的状态。课后我问学生：“上课时你们为什么不回答老师的问题？”学生回答说：“老师平时太严厉了，我们都怕他，回答错了会挨骂的，所以我们不敢回答问题。”学生在教师面前唯唯诺诺，不想说，不敢说，久而久之，学生活泼的个性会变得压抑沉闷，连个性都不存在了，还怎么能创新呢？罗杰斯提出“有利于创造活动的一般条件是心里的安全和心里的自由”。良好的师生关系可以使学生产生安全感，乐于接受教师的教育和影响，激发学习兴趣，集中学习的注意力，启发积极思维。[3] 我在我的课堂上鼓励学生回答问题，回答的正确，我就会表扬他们，回答的错误，我也会鼓励他们勇气可嘉，几周下来后，我的课堂上是生机勃勃，同学们踊跃回答问题，探讨问题。只有营造平等和谐的师生关系，以德服人、以理服人、以知服人。树立师生平等的观念。让学生在课堂上敢说、敢做。
三、数学教师应克服对创新认识上的偏差
一提到创新教育，有些教师往往会想到一些如小制作、小发明等等脱离教材的活动；或者是借助问题，让学生去想去说，想的越怪、说的越离奇就是创新，从而走入了另一个极端。
（一） 教师要从真正意义上理解什么是创新
创新，是永无止境的更新，包括观念、方法的不断改进，是在辩证的否定中对原事物的扬弃，创新是指人类文明的正面进步。[4] 其实每一个合乎情理的新发现，别出心裁的观察角度，自主发现一个新问题、提出一个新问题等等都是创新。一个人对于某一个问题的解决是否具有创新性，不在于这一问题及其解决是否已经有人做过，而关键是在这一问题及其解决对于这个人来说是否新颖、独特。例如：在在三角形内角和的教学中，学生通过观察会发现三角形的内角和为 ，怎样证明三角形的内角和为 呢？学生看懂书上的证法后就会受到启发，就会想到过三角形的一个顶点作底边的平行线，利用平行线的性质证明三角形的内角和为 ，这样的教学过程就是创新。学生也可以创新，也必须有创新能力。
（二） 教师要挖掘教材，高效的驾驭教材
教师可以通过挖掘教材，高效的驾驭教材，把与时代发展相适应的与学生生活贴近的新知、新问题引入课堂与教材内容相结合，激起学生的学习兴趣，引导学生主动探究。让学生掌握更多的方法和技能了解更多的知识，从而培养学生的创新能力。
四、教师在数学课堂教学中应善于激发学生的创新兴趣
兴趣是最好的老师。兴趣是创造一个欢乐和光明的教育环境的主要途径之一。学生的学习动机和求知欲、学习的积极性和主动性是形成创新意识的重要条件。激发和鼓励学生的浓厚学习兴趣是培养学生创新能力的前提。所以在数学课堂教学过程中，教师要想尽办法激发学生心中探求新知的欲望，激发学生主动探究的兴趣。
(一) 激活学生的创新欲望
创新欲望是人类与生俱来的一种本能，苏霍姆斯基说“人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者”。然而学生最初的创新欲望，只是一种朦胧的、潜藏的、无意识的本能，它没有明确的、稳定的指向，这就需要教师在课堂教学中把它激发出来。
(二) 联系生活实际，激发学生的创新兴趣
数学源于生活，用于生活。教师可以通过解决一些生活中的实际问题来激发学生的学习兴趣，比如：在“圆的认识”的课堂教学中，教师可以用这样一个问题引入课题“大家都知道车轱辘是圆的，为什么我们的祖先要把车轱辘设计成圆的，而不设计成方的或其他形状呢？我们的祖先是怎样得到圆的呢？”
(三) 利用数学中图形的美培养学生的创新兴趣
生活中有大量的图形，有些是几何图形本身，有些是依据数学中的某些重要理论而产生的，有些是几种几何图形的组合，它们具有很强的审美价值，比如生活中的剪纸，实际上就包含着轴对称图形和中心对称图形的知识。在数学课堂教学中尽量把实际生活中美的图形引进来，让学生体会数学图形给生活带来的美的感受，使学生产生创造的欲望，激起学生创新的兴趣。
(四) 合理满足学生好胜的心理，培养创新的兴趣
学生都有强烈的好胜心理。如果学生在学习中屡屡失败会对学习失去信心不利于培养学生的创新能力。教师要创造合宜的机会让学生感受成功的喜悦，增强学生的自信心，这对培养他们的创新能力是十分必要的，比如展开一些比赛、晚会、故事演说等活动让学生在活动中充分展现自我，发挥自己的聪明才智，找到生活与数学的结合点，感受自己胜利的心理，体会数学给他们带来的成功的快乐。
(五) 利用数学历史知识激发学生的创新兴趣
学生一般喜欢听趣人趣事，在课堂教学中结合学习内容讲述数学发展的历史和历史上数学家的故事，像数学理论所经历的沧桑，数学家成长的事迹，数学家在科技进步中的贡献，数学中某些理论的来历，既可以让学生了解数学的历史、丰富知识，又激发学生学习和创新的欲望。例如：在三角和内角和定理的教学中可以引入这样一个故事：“著名的数学家苏步青在初二时，为了证明三角和内角和定理，查阅了大量的数学资料，最终用二十多种方法证明了三角形内角和定理。” [5] 这样就会引起学生的创新兴趣，努力寻找三角形内角和定理的不同证明方法。
五、教师应鼓励学生解决数学问题，通过质疑、解疑来培养学生的创新能力
(一) 引导学生发现问题、提出问题
提出问题是一种创造性的思维活动，体现出个体善于思考、敢于质疑、勇于猜想、勤于探索、敢于创新的个性品质。创新源于问题。[6] 在数学课堂教学中要发展学生的个性，培养其创新能力就必须要引导学生发现问题、提出问题。
比如在讲配方法解一元二次方程时，教师就可以把一元二次方程与完全平方公式联系起来，让学生观察完全平方公式，让他们从中发现一次项系数与常数项的关系：
例：解一元二次方程：⑴ ;⑵ .
在解一元二次方程 时学生们会发现方程的左边为完全平方式直接就可以得到 从而解出该方程的解 ， 。解一元二次方程 时，刚开始时学生可能不会解，这时就需要教师引导学生把第一个一元二次方程与第二个一元二次方程联系起来，学生就会发现在第二个方程的两边分别加上9左边的式子就变成完全平方式，即： ，从而解得 ， 这时有些学生就会问“为什么一定用9加其他的数不行吗？”如果没有学生问这时就需要教师引导学生向学生发问：“除了9还可不可以用其他的数？”引起学生的思考，让学生通过将一组数分别加入一元二次方程中，这时学生就会发现其他的数都不行，这时学生就会问：“为什么一定是9，而其他的数不行呢？”这样就引导学生发现、提出问题。
(二) 当学生发现、提出问题后，教师要及时引导和鼓励学生去解决问题
让学生解决问题，可以培养学生的动手操作的能力，动手操作是创新活动走向成功的必经之路。解决问题还可以增强学生的自信心，更能让学生偿到成功的喜悦，还可以加深学生对知识的理解和记忆。比如上面的例题中学生提出了：为什么是9而其他数不行？这时教师就应该引导学生动手解决这个问题教师可以让学生举出一些完全平方式如 , ， ， …让学生对这些完全平方式进行观察，看一看方程中一次项系数与常数项的关系，学生可以很容易发现一次项系数的一半的平方与常数项相等，现在学生就会明白为什么是9而不能是其他数。在学生自己找出了问题的原因的同时也掌握了用配方法解一元二次方程的方法。
六、鼓励学生求异，发展学生的发散思维能力
求异思维是创造性思维发展的基础，因此在数学课堂教学中要注意培养学生求异思维和创新意识，让学生全方位多角度地思考问题，鼓励学生要突破定势、打破常规、标新立异，大胆尝试、勇于求异，激发学生的创新欲望。发散思维能力有助于提出新问题、孕育新思想、建立新概念、构筑新方法，“数学家创造能力的大小应和他的发散思维能力成正比”。[7] 一题多解是培养发散思维发展数学创造思维的有效途径。在求异过程中不但可以使学生获得解决问题的简捷方法，还有利于各层次的同学参与，有利于创新思维能力的发展。
例如，在立体几何的教学中，可以通过这样一道题来发展学生的发散思维能力。
例，某些关于三角形的定理，可以通过升维类比方法提出有关四面体命题的猜想，任意举出几个这样的猜想，同时分别确定这些命题的真假性。
解：1.任何三角形都有一个外接圆和一个内切圆。
猜想：任何四面体都有一个外接球和一个内切球。真命题
2.三角形外接圆的圆心到三角形各顶点的距离相等。
猜想：四面体的外接球的球心到四面体各顶点的距离相等。真命题
3.三角形内切圆的圆心到三角形各边的距离相等。
猜想：四面体的内切球的球心到四面体的各面的距离相等。真命题
4.等边三角形内任意一点P到三角形三边的距离之和为常数。
猜想：正四面体内的任意一点P到其各面的距离之和为常数。真命题
5.三角形三条中线交于一点，且交点分每条中线比为2：1。
猜想：四面体，四条中线（顶点与底面重心连线）交于一点，且交点分每条中线的比为3：1。真命题
6.在Rt△ABC中，∠C=90°有 。
猜想：四面体P—ABC的三条侧棱两两垂直它的四个面的表面积 , , , 有 。真命题
7.由三角形余弦定理有 。
猜想四面体中：
。真命题
此题答案宽泛，学生可以从不同的角度写出不同的答案，有利于培养学生求异思维能力，从而培养学生的发散思维能力发展学生的创新能力。
七、教师要引导学生参与“再创造”过程，以培养学生的创新意识
学生所学的知识是人类经过发明创造已经得出的成果，因此，数学教学中使学生领会到知识形成的过程，在教师的指导下自己经历某个知识发现与形成的过程，对学生创新意识的启发与培养有着基础性的作用，因为这样的教学过程实际上是让学生参与“再创造”过程。在教学中教师要采用灵活多样的教学方法训练和鼓励学生的创造性思维，例如一位老师在“一元二次方程的解法—因式分解法”(人教版)解决问题：一个数的平方与这个数的三倍能否相等？如果相等，这个数是几？学生已经学会了配方法和求根公式法他们是这样解的：
解：设这个数是x，则根据题意得：
，整理得：和
解得： ，
答这个数是3或着0
解：设这个数是x，则根据题意得：
，整理得：
令a=1，b=-3，c=0，
答这个数是3或者0
教师启发学生能不能用以前学过的多项式的因式分解，于是有的学生就会提出如下解法：
解：设这个数是x，则根据题意得：，整理得：
(方程左边式子因式分解的提公因式法)
解得： ，
答这个数是3或者0。
由于教师对学生灵活的思路及时加以肯定，课堂教育气氛非常活跃，学生们都跃跃欲试。这样的教学就是在启发学生的创新意识。
教师还可以利用开放题培养学生的创新意识和创新能力。“开放题的核心是培养学生的创新意识和创新能力”。[8] 开放题自身的条件不完备、答案不确定，要解答开放题就需要学生能够打破常规、敢于设想、敢于想像。想像是创新的基础。在解答开放题的过程中，往往会出现一些预料之外的事情，如：引出新的问题或引申推广出更一般的问题，因而，开放题有利于发展学生的创新意识和创新能力。
随着数学课程改革的深入，社会对人才的要求，我们教师要更新观念、更新思想，在课堂教学中重视学生个性和创新思维能力的培养，鼓励学生进行自主探索、自觉应用数学知识、自主发现问题、解决问题，为社会培养更多的创新性人才。
B. 什么是数学创新思维
众所周知，在数学活动乃至一般的实践活动中，谁都希望自己具有较强的思维能力。这主要取决于一个人的思维品质。思维的发生和发展，既服从于一般的、普遍的规律性，又表现出个性差异，这种个性差异体现在个体思维活动中的智力特征方面就是思维品质，有时也称思维的智力品质。就数学思维来说较为重要的思维品质有深刻性、广阔性、灵活性、创新性、目的性、敏捷性以及批判性。下面就数学思维的创新性谈一谈自己的认识。
思维的创新性与思维活动的独创性、创造性或创造性思维具有相同的含意，只不过创新性强调“新颖”而已，也就是说，创新性是指独立思考创造出有社会(或个人)价值的具有新颖性成分的成果的智力品质。它的特点是主体对知识经验和思维材料进行新颖的组合分析、抽象概括以致达到人类思维的高级形态；它的结果，不论是概念、理论、假设、方案，或是结论，都包括着新的因素，它是一种探新的思维活动。当然，这种新颖不是脱离实际的荒唐，而是具有社会价值的新颖。它可能被人们所忽视或误解，但它的见解或产物，最终会被社会所承认。
在数学教学中，思维的创新性主要表现在学习数学的过程中善于独立地思索、分析和解答问题，提倡探讨与创新精神，当然也包括小发明创造。做为教师，要自觉地启发学生多提问题，提问题是思维的结果，也是创新的开始，不要给学生立下很多规矩，更不要打棍子，即学生在学习过程中常会提出许多不同的看法或新见解，它往往蕴藏着智慧的萌芽，哪怕只有一点点新意，也应充分肯定和大力鼓励。
在中学，思维的创新性更多地表现在发现矛盾以后，把知识融汇贯通，以进攻的姿态，突破矛盾，最终解决问题。例如：
求证：
分析：该题纯从三角去考虑，是较繁琐的。如果想到单位圆上的点，而点，那么欲证命题成立，只须证即可。又数列，故成立。
(方法二)，想到单位圆上的点 ，而点 又对应着向量那么欲证命题成立，只须证即可。又向量可看作力，进而想到大小一样，终端分布在正n边形的n个顶点上的共点于正n边形中心的力系，其合力为零。故成立。证明(略)。
用数学方法解决物理问题似乎理所当然，但反过来用物理方法去解决数学问题却不太被人们重视，但对有些问题这样去做不仅解法新颖，具有创新性，而且强化了各科之间的相互联系、互相渗透。
思维的创新性的反面是思维的保守性，它的主要表现是在数学学习中受到各种条条框框的限制，思维受束缚，不愿多想问题，只求现成的“法规”，而产生思维的惰性。消除思维保守性的有效方法是提倡学生多思和多问几个为什么，在加强基础知识和基本训练的前提下，提倡学生独立思考。
21世纪人才竞争的焦点在于培养具有创新思维的一流人才上。只有具有创新思维的人，才能领导和把握科技发展的潮流。作为教师，对学生创新思维的培养是我们义不容辞的责任，也是我们不断探索的课题。
C. 关于数学中的创新意识
要懂得一些数学思想
例如，我们在做题时经常会用到数学中的转化思想还有数形结合等，而且对于一道题，我们不要只求做出来了，看是否有更好的方法，开拓思路。题并不再做得多，而在于做得精。
还有，对于有些题，我们不能形成定向思维，懂得善于变通。这样才行。
对于类型题善于累积
易错题要注意
D. 数学专业领域的创新趋势有哪些
数学专业，在大众化的眼光看来，毕业后的就业前景无非是当老师或者搞科研，似乎太古板且就业道路狭窄。然而，这些都是偏见，数学专业毕业的研究生早已是金融界、IT界、科研界的“香饽饽”，数学专业的就业前景有你看不见的“前途似锦”!
E. 学而思数学创新A班
2880
F. 如何有效发展数学创新思维
创新思维已成为新课程改革中教与学的灵魂，是实施素质教育的核心；数学领域蕴含着丰富的创新教育素材，数学教师要根据数学的规律和特点,认真研究,善于利用，积极探索培养和训练学生创造性思维的能力。
小学生正处于思维最活跃的年龄阶段，所以小学六年是打好学生创新思维的基础阶段。因此，数学教师在教学过程中应充分运用各种有效的教学手段和方法，来培养小学生的创造思维能力。本人联系多年教学实际，对如何培养小学生的创新思维能力谈几点粗浅的想法：
一、设疑激趣，拓宽思维时空
古人早有“行成于思毁于随”的戒言，也有“学而不思则惘，思而不学则殆”的训导，如果缺乏必要的深思熟虑，就不会促使思维从量变到质变的瞬间飞跃，迸放出创新的火花。“打开一切科学的钥匙都毫无疑义的是问号，而生活的智慧大概就在于逢事都问个为什么”。
在教学实践中，教师要给学生创造充分的思维时空，既要张弛有度，遵循小学生生理和心理周期性起伏变化的规律，还要“处处留心搜求，把进行的其它活动或接触到的其它事物有意无意地和自己思考的问题联系在一起。这样一遇到适当的剌激，就会触发灵感的产生”。因此教师要灵活布设问题悬念，努力创设问题情境，以此激启学生积极思考。特别是要脚踏实地，充分利用课堂教学的空间和时间，把握教材的内容特点，开拓创新思维的培养途径。
以教学“10的分与合”一课时为例，我预先准备了一个盒子，盒子里装了10支铅笔。一上课，我请一名学生上台摸铅笔，然后老师根据学生摸到的支数猜盒子里剩下的支数，经过几次猜都猜对了，学生感到很好奇，然后老师趁热打铁，说：“因为老师知道了盒子里总共有10支，然后根据10的分成就能猜着了，你们想学会这个本领吗？”数学知识的神奇力量激起了学生强烈的求知兴趣，使学生趣味盎然地参与学习，积极思考。
又如：在教学小学数学第三册《可能性》一课时，课伊始，我让一名男生代表和一名女生代表上台进行摸球比赛，比赛规则是蒙上眼睛摸五次，摸到红球次数多者为胜。结果女生代表每次都是红球，这时男生有的生气，有的责怪，有的打抱不平，说老师有“阴谋”。这样的情境创设，激发了学生的兴趣，形成知识之间的悬念，引导学生尝试改变固定的、传统的思维方式，拓宽数学思考的思维时空。
二、大胆猜想，培养求异心智
心智是一种直觉，它是非常灵活迅捷而复杂的心理活动现象，是在原有知识的基础上，通过对事物的表象感知，借回忆、想象、猜测等心理活动，闪电般跳跃式地对事物本质进行判断，它是创造思维的灵魂。牛顿认为“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”在训练学生直觉思维方面，应鼓励学生大胆猜想，敢于创新，冲破思维定势，摆脱常规约束，允许学生突发奇想，甚至异想天开。对学生回答问题不要苛求过于严谨全面，让它们发现什么说什么，想到多少说多少，说出表象的理解或猜想也可以，不一定要说个所以然；教师对学生独到的见解或奇异的想法要因势利导，引上思维的轨道，让他们想出点门道来。
例如，在教学“能被3整除的数”时，我先让学生猜一猜：“能被3整除的数”会有什么特征？有些学生可能受到“能被2、5整除的数”的特征影响，都在猜测特征是“个位数是3、6、9的数”。老师顺势出示一组个位是3、6、9的数，如13、16、19、23、26、29……结果学生发现这些数都不能被3整除，学生的思维因为猜想的落空陷入了困惑状态，由此引发了他们解决疑惑的心理趋势；而教师乘机再列出另一组数，如12、15、18、21、24、27……学生发现，这些数反而都是能被3整除。这样，通过一系列的猜想与困惑，造成学生认知上不平衡，从而激发起学生继续探索的欲望：为什么后面这一组数都能被3整除呢？学生又带着对这个问题的好奇心进行猜测探索，最后发现原来能被3整除的数的特征是：一个数各个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
这种探索方法的基本程序就是：提出问题，学生猜想，探索规律，验证结论。它就是要让学生先敢于对数学问题进行大胆猜测，再通过探究寻找规律，这样得到的知识对学生来说是有效的，得到的也不仅仅是一种知识，更多的是数学思维能力的训练。
所以，在学习数学时，教师要鼓励每个学生应有一点敢于猜想的意识，多进行“猜一猜”的活动。猜想是不受现成事实的束缚，它包含着可贵的大胆想象和推测的成分。教师要敢于通过“尝试”、“猜想”等问题情景的创设，大胆暴露学生的思维过程，引导学生沿着合理的解题思路去思考。
当然，在猜想中，要提醒学生仔细观察，分析已知，发现规律，以此类推；或者提醒学生利用结果，进行猜测，推而广之。总之，猜想锻炼的是学生发现规律，利用规律解决问题的能力，能让学生活跃的思维在迸发、碰撞中激发出创新的火花。
三、开拓思路,诱发思维的发散性
徐利治教授曾指出:创造能力＝知识量×发散思维能力。思维的发散性，表现在思维过程中，就是思维不受一定解题模式的束缚，从问题个性中探求共性，寻求变异，多角度、多层次去猜想、延伸、开拓，是一种不定势的思维形式。发散思维具有多变性、开放性的特点，是创造性思维的核心。在教学中，可采用多种变式练习来进行训练：
（一）填空答案多样化
教师要擅长改变教材和教纲的有限性，把唯一性的填空改编成一空多填式，以此对学生进行发散思维的培养。如在教完了20以内的进位加法后，为使学生更熟练计算进位加法，安排一组填空，要求其尽量多填，使等式成立：8＋5＝□＋□，□＋3＝6＋□，□＋□＝6＋5，9＋□＝□+7。
（二）问题解答多向化
从知道的条件进行多角度、全方位的审视，是产生思维多向性的关键，只要善于引导学生联想以前学过的或从生活中具备的知识和方法，准确深入挖掘问题中具备的已知条件，努力探索，那么学生就会在发现问题和解题方法上独树一帜。
例如，我在教学小学数学第四册《统计》一课时，安排学生进行想想做做的练习：先出示一些杯子，师问：“你想按照什么来进行分类并统计？”
学生1：有的杯子有把柄，有的杯子没有把柄。
师：对，可以分成有把杯和无把杯。
学生2：有的杯子2元，有的杯子3元，有的杯子4元。
师：对，可以按照价格来分类统计。
学生3：有的杯子有颜色，有的杯子没有颜色。
师：对，可以分成有色杯和无色杯。
学生4：有的杯子高，有的杯子矮。
师：对，也可以根据高矮来分类统计。……
我们可以看到，由于每个学生对事物的观察和思考都具有自己的个性特点，假如只局限于自己个人的思考范畴内，学生只能认识到极为有限的事物统计标准，但是在教师有意的引导下，学生纷纷回答，让不同的智慧火花在课堂上闪现，每个学生都在享受着集体的共同智慧结晶，打开了思维之大门。
（三）问题设计自主化
此类方式是指习题只给出已知条件，至于要求求解什么、怎样求解是需要学生自主设置的。训练的目的是让学生沿着尝试多种方向设计问题，并能用相应方法解决问题。如：“由已知黄花9朵，红花3朵”，师问：“你能提出哪些问题？”学生提出了求和、求差、求倍数关系的好多问题，此类训练可以让每个学生都会有机会发现自己数学智慧的一面，激起创新思维的主动性。
（四）解题思路发散化
在数学教学中培养学生创新的思维能力，“一题多解”是最切实可行切实有效的方法，是培养学生发散思维的一种好方法。教师要重视引导学生在解好一题后，不要满足于结论，不要拘泥于常规，不束缚于定势，而是通过有针对性的，有数学依据地开展积极思维，大胆设想，合理分析，探索和开发题目的“潜在价值”，在沿着不同的方向思考后，比较了多种解决问题的方法后，找出最佳方案，锻炼学生敏捷的解题能力。具体来说，可以通过纵横发散、知识串联、综合沟通等方法，达到举一反三、融会贯通的效果。
1、在应用题解题中培养思维发散性
应用题解题方法多样化，主要有利于培养学生思维的深刻性，针对具体题目让学生寻找不同方法，换个角度思考、分析，可能得到意想不到的收获。
如：小学数学第四册有这样一个应用题：“一辆公共汽车原有35个人，下车了9人，又上来了12人，现在车上有几人？”大部分学生列式：35-9+12=38（人）,这毫无疑问是对的，不过，我没有满足，继续问：“还有不同的想法吗？”这时，一个小朋友举起了他的小手：“我是这样做的：12-9=3（人），35+3=38（人）。”好多小朋友瞠目结舌，然后就说：“不对吧”。另外有几个小朋友发出了不同的声音：“对的”，我让这位小朋友说理由，他说：“12-9=3（人）求出的是上来的比下去的多的，多的加上原来的就是现在有的人数。”多么精炼的回答呀！
以上两种方法各具特色，妙趣横生，我似乎看见学生的思维正自由驰骋于数学领域。
2、在计算题解题中培养思维发散性
在数学解题学习中，学生的主要任务并不是解题，而是学习解题，因此教师教的重点和学生学的重点，不在于“解”，而在于“学解”。所以教师要在尽可能不提供现成结论的前提下，让学生亲身独立地进行数学解题活动，这就要求我们在教学预设时，不能仅仅满足于预设解题过程和方法，更要预设教学过程和方法，倡导学生个体之间、群体之间的多向互动的格局，使学生与学生之间不断交流解题信息。在此过程中，教师和学生分享彼此的解题经验和认识，交流彼此的解题情感和体验，真正为促进解题的思维创新提供可能性，这种理念，哪怕是在计算题的解题训练中也一样要得到落实。
例如：小学数学第四册的笔算加法，这部分内容是在学习了口算加法的基础上进行的。我出示了例题（352+234=？）之后就让学生自己进行尝试练习，然后巡视，让我没想到的是，学生在思考探索和交流之后，提供的解答方法竟然会这么异彩纷呈，我就赶紧让他们上台板演。
这第三种方法尤令我惊异，惊异于学生居然有如此让人出乎意料的数感。这也证明，计算中的多种解题方法练习，同样非常利于达到诱导学生进行创新性发散思维的目的。
四、运用类比，训练灵活多变的思维
类比是根据两个对象或两类事物间存在着的相同或不同属性，联想到另一类事物也可能具有某种属性的思维方法，是发现问题、探索解决问题途径常用的数学思维方法，是创造性思维的精髓。利用类比思维可使学生加深对基础知识的理解，举一反三，融会贯通，发现新的数学知识；可培养学生的发散思维、创造思维及合情推理能力，即遇到新的问题，从形式结构的表象联想似曾相识的旧知识，进一步从感性认识深化到它们的内在联系，以旧喻新，类比新的知识，发现新的理论。
如六年级有这样一道题目：“甲乙两地相距240千米。快车从甲地开往乙地要4小时，慢车从乙地开往甲地要6小时，两车同时从两地出发相向而行。多少小时相遇？”老师要求学生解答，并说出思路。
生1：240÷（240÷4＋240÷6），先求出甲和乙的速度和，路程除以速度等于时间。
这时，老师问：“还有其他解法吗？”一个平时不太爱发言的学生举手了，他说：“我是这样想的，把两地相距的路程看作单位‘1’，可列式为1÷（1÷4＋1÷6）”。
很明显，这个同学利用的是类比思维方式。在解决问题过程中，他从要解决的问题出发，受“题型特点”的启示，联想与它类似的一个熟悉的问题即工程问题，想到曾做过类似题目，并以这个类似题目作为中介，又想到了某种解题方法和技巧，而后进行分析，用熟悉的解法来思考解答所要解决的问题，这种创造思维的火花可以感染全班的每一位同学。
五、实践是创造思维能力的练兵场
（一）充分利用游戏，创新思维在实践中触发
杨振宁博士曾作过这样的对比，中国学生学习成绩比一起学习的美国学生好得多，然而十年后，科研成果却比人家少得多，原因何在？其实就在于美国的学生思维活跃，动手能力和创新能力强。针对小学生在平时学习中缺乏参与性活动这一现状，新教材为学生设计了大量的、具有思考价值的游戏、比赛，（如：对口令、猜数、青蛙过河等等），我很重视这些形式的题目，在课堂上总是多给学生一些自由的时间，让学生多进行一些创造性的活动，使每个学生都能积极地参与到课堂中来，开动脑筋、拓宽思维。
如在教学进位加法的练习课时，这节课的主要目的是使学生熟练口算20以内的进位加法。于是我用了三个游戏把整节课贯穿起来。首先是个人抢答赛。老师出题学生抢答或学生互相出题，这个游戏的设计主要是培养学生思维的敏捷性。接着是小组合作争优赛。4人一组，用三个数组成4个算式，比比哪个组想的算式最多。这个游戏不仅使学生对整体与部分的关系有了深刻的认识，还培养了学生思维的整体性和合作竞争的意识。最后“吃鱼”这个游戏把整个课堂气氛烘托起来，学生们个个跃跃欲试，学习情绪高涨。游戏是这样的，每人一条鱼，每条鱼的上面都有一道题，只要能大声地读题说得数，这条鱼就送给你。学生们不仅要把自己的题说对，还要对其他同学的题进行判断，大大提高了练习的强度。游戏是以“开火车”的形式进行的，又提高了练习的时效性。这节练习课，虽然没有让学生动笔去写，但它的练习强度和效率是显而易见的，在练习课中学生的思维异常活跃。
由此可见，丰富多彩、富有创造性的活动和练习不但能够收到意想不到的效果，还能够使每一个学生从中体验到学习给他们带来的快乐。
（二）捕捉生活素材，创新思维在实践中提升
任何知识都来源于生活，形成于实践，又指导实践，推动科学技术的发展，而学习掌握它，如果脱离实践就成为无源之水。富勒说过：“理论是一种宝库，而实践是它的金钥匙。”我们要力求引导学生，通过阅读、练习、观察、实验、讨论等多种形式，使学生动脑动口动手，在亲自参与下获取知识，熟练技能，领悟理论的本质。组织学生互相讨论，发挥学生各自思维个性差异的优势，使他们相互间的思维“推波助澜”，形成多维立体交叉的思维信息网，教师随时点拨指导，使思维产生跃变。
比如一年级的小朋友刚接触减法，学校里正好组织秋游，游览的路上，我就有意地问：“沈望，你带了几个橘子？”“5个。”“已经吃了几个？”“2个。”“还剩几个？”“3个。”“你能用一个算式表示吗？”“5-2=3”，其余小朋友也争先恐后地喊道。
在回家的路上，我问小朋友：“今天玩得开心吗？”
生：“开心。”
师：“都玩了哪些项目呀？”
生：“射箭、打气球、野炊、爬山……”
师：“今天的秋游活动中，你发现了数学问题吗？”
思考片刻。
生1：“叔叔给了我5支箭，我一支一支地射，一会儿全射光了。”
师：“你能用算式表示吗？”
生1：“5-5=0。”
师：“真好。”
生2：“妈妈给我4元钱，我用掉了2元，还剩2元，4-2=2。”
生3：“我带了2个面包，被我吃光了，2-2=0”
生4：“墙上有10个气球，我打破了一个，还剩9个，10-1=9”
……
在这样的问题解决情景中，由于是从学生的生活入手进行数学知识的训练和巩固的，学生更愿意交流，更愿意表达自己的想法，迸发出了学生思维的火花，创新思维在实践中得到了提升。
又如：我在教学《元角分的认识》一课，在课堂上创设了一个在商店内买卖物品的模拟场景，让学生经历“买卖物品”，然后延伸到家庭生活中，布置了一个特殊的课外作业，让学生星期天跟妈妈上菜场买菜或上商场购物，试着帮妈妈付钱、算帐，回学校后相互交流自己购物、付钱和算帐的经过，说说自己懂得了什么，还有什么困难。针对学生的交流再作小结。
如：有位同学说自己的购物经历：“我用一元钱去买了两枝铅笔、一块橡皮，铅笔2角钱一枝，共4角钱，橡皮5角钱一块，还找回一角钱。”
单凭课堂上的讲解、练习是很难达到这种效果的，学生在亲身实践中发散了思维。
美国教育学家第斯多惠说过：“教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”因此，教学实质上就是设法激启学生自觉学习的兴趣，让他们亲自参与学习，只有多参加实践，多体验生活，积累生活的第一经验，储备直觉思维的感性素材，才有可能升华为抽象思维的理性认识，产生广阔的思维联想，进而进行归纳、类比、推猜，发现新的事物，建构新的理论。
总之，虽然数学具有严谨的逻辑性，但这只是对于理论的完成形式推演论证而言，而理论的学习掌握，解题思路的形成或数学知识的应用，特别是数学知识的发展完善，新理论的发明建构，都离不开灵活自由的创造性思维，它推动人类的进步，创造人类文明，是人类发展进步的巨大财富。我们每一个教育工作者，一定要重视学生创新思维能力的培养，为学生提供思考、探索和创新的具有开放性和选择性的最大空间，我们就能引导学生自己发现问题，进行创造性学习，培养创新思维，为成为适应二十一世纪科技发展所需要的人才奠定基础
G. 数学课堂如何创新
从观察中引发学生创新
观察是培养学生创新思维能力最基本、最重要的手段和方法。这是因为小学生对数学知识的认识始于感知，有了充分的感知才能形成丰富的表象，展开联想，有所感悟，获取知识。因此，在小学数学教学中，教师要注意创设让学生观察的条件，引导学生仔细地进行观察，从而为学生提供丰富的感性材料。
例如：在教学《圆的认识》一课为什么把车轮设计成圆形的这一问题时，用动画模拟小猴驾驶汽车的车轮分别是方的、椭圆的和圆的三种情况，并配上音乐效果，让学生注意观察，教师及时进行诱导，要求学生通过观察比较来选择乘坐哪辆车舒服？哪辆车不舒服？为什么？由于创设了让学生身临其境的情景体验，学生对这个问题就很容易理解，也为学生发展创新思维奠定了良好基础。
从质疑中激励学生创新
爱因斯坦说过：“提出问题比解决问题更重要。”事实上，爱提问题的学生就是善于积极思考、富有创见的学生，小学生具有强烈的好奇心和求知欲。
教学实践告诉我们：保护和激发他们的好奇心和求知欲，让学生学会质疑问难，从无疑到有疑再到无疑，是调动学生学习数学的积极性和创造性、提高学生学习能力的有效途径。因此，“疑”是思维的开端、创新的基础。所以，在教学中我们要充分运用现代教学手段创设问题情境，鼓励学生质疑问难，从而培养学生的创新能力。
例如：在教学《三角形的内角和》时，有的学生提出三角形的内角和一定是180度吗？这时教师不急于给学生解答，而是引导学生分组合作，共同研究。通过在不同的物体上画三角形，度量内角和不是180度，球越大三角形的内角和也就越大。正是在这种质疑问难、自由讨论的过程中，学生提出了独到的富有创新精神的见解。
从实验中启发学生创新
实验是小学数学重要组成部分，它是小学数学的重要基础、重要内容、重要方法和重要手段，是小学生体验探究新知识的重要途径，同时，也是小学数学教学培养学生创新能力的桥梁和纽带。
例如：在教学“用圆规作圆”这一知识时，教师要求学生首先掌握在纸上画圆的方法。接着提问：你能在操场上画一个很大的圆吗？学生积极思考，一边讨论，一边模拟，在学生积极的反馈之后，用计算机呈现动画：一个同学在操场上打桩、拉线、绕圈，画出一个很大的圆。接着，教师适时诱导学生：想一想还有没有其它的更好的方法？请同学们课后实际试一试。通过技能练习，学生能将所学的知识用于实际，从而获得更为稳定的知识结构。
H. 如何做好数学创新教学
一、保持和提高学生学习数学的兴趣
兴趣是最好的老师，兴趣对于一个人认识新事物，探求新知识的重要性，起着非凡的影响作用。小学数学教学中，首要应重视培养学生正确的学习动机、良好的心理品质。
保持和 发展学生学习数学的兴趣，要积极创设求知情景，倡导情景教学，精心设计教学环节，以景人情，激发学生兴趣。学生学习的内容和他所熟悉的生活实际越贴近，学生学习的积极性就越高，就会主动学习，并且更愿意思考、乐于探索。教师在教学过程中，应从学生熟悉的事物人手，要强化感官刺激，引起注意，提高兴趣、挖掘潜能，激发内在动力。
二、重视学生的发散思维，培养创新能力
新课标中的教学目标，是帮助每个学生进行有效的学习，能够按照自己的性向得到尽可能的发挥，以获取新的知识，因为学生的大部分创新都是通过发散思维获得的。因此，课堂教学必须以培养学生的创新精神为目标，改进教学方式，把学习的主动权交给学生，多给学生一些思考的时间、多一些表现机会、多一些创造的信心、多一些成功的体会。在师生共同活动的过程中，教师要以自身的创新意识、思维能力等积极因素，去感染、带动学生创新意识的形成，教师不能把学生视为容纳知识的容器，而是师生共同探究知识的奥秘。在整个过程中，教师要抓住每个时机，对每一个学生的每一个发现都予以肯定、激励，让学生感受到成功的喜悦，从而提高学生的创新意识和实践能力。教师的职责将越来越少地传递知识，越来越多地激励思考，摆脱“应试”观念，让学生从无穷的“题海”中解脱出来，使学生在轻松愉快、积极主动的氛围中增长知识，充分体现以教师为主导、以学生为主体的课堂教学精神。
三、提高教师素质，注重教学水平
教学的一切活动始终围绕学生，教学的一切因素最终作用于学生。面对数学新课程、新教材的实施，更应提高课堂教学效果，这就要求教师必须适应时代要求，更新观念，在实施课堂教学时，不能仅仅满足于将书本上的有限知识传授给学生，而要根据学生身心的发展规律、年龄特点，认真研究、探讨教学方式方法。要从学生全面发展的目标出发来组织和实施自己的课堂教学。课改要求新时期的教师应该能够驾驭各种类型的学生，并使他们各自的特长都充分得到发挥，这就要求教师需要终生学习，拓宽知识面，提高自身的整体素质修养，改进传统的教学模式，创新教学方法和技巧，只有这样才会真正地实现与时俱进。
就教师自身来看，教师本身必须能够吸引学生，这就需要教师具备：一是业务知识必须精通，即在业务水平上能够震住学生，使学生在课本知识上“服”你：二是兴趣爱好必须广泛，即在常识方面能够盖住学生，使学生在生活知识上佩服你：三是心理知识必须懂，即在学生的思想问题上能够提供有效的帮助，使学生在思想问题上敬佩你，这都需要我们的教师水平时注重学习，积累经验，知识渊博，兴趣广泛，富于爱心，注重提高自身的理论水平和综合素质。
教学工作是一项系统工程，小学教学由于学科特点决定了其具有一定的独特性，作为教学第一线的教师，要抓好课堂教学这个中心环节，激发学生内在动力，提升学生综合能力，探求有效教学方法，改进传统教学模式，把每一名学生都塑造成为综合素质人才。