數學悖論

1. 數學悖論

希帕索斯悖論與第一次數學危機

希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發現密切相關。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。天文學家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數學與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應用，同時也是人類最早認識到的平面幾何定理之一。在我國，最早的一部天文數學著作《周髀算經》中就已有了關於這一定理的初步認識。不過，在我國對於勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國時期的趙爽才用面積割補給出它的第一種證明。

在國外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達哥拉斯。因而國外一般稱之為「畢達哥拉斯定理」。並且據說畢達哥拉斯在完成這一定理證明後欣喜若狂，而殺牛百隻以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號：「百牛定理」。

畢達哥拉斯

畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的「掘墓人」。畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生。小小√2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應該是多麼違反常識，多麼荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱「第一次數學危機」。

歐多克索斯

二百年後，大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。他本人的著作已失傳，他的成果被保存在歐幾里德《幾何原本》一書第五篇中。歐多克索斯的巧妙方法可以避開無理數這一「邏輯上的丑聞」，並保留住與之相關的一些結論，從而解決了由無理數出現而引起的數學危機。但歐多克索斯的解決方式，是藉助幾何方法，通過避免直接出現無理數而實現的。這就生硬地把數和量肢解開來。在這種解決方案下，對無理數的使用只有在幾何中是允許的，合法的，在代數中就是非法的，不合邏輯的。或者說無理數只被當作是附在幾何量上的單純符號，而不被當作真正的數。一直到18世紀，當數學家證明了基本常數如圓周率是無理數時，擁護無理數存在的人才多起來。到十九世紀下半葉，現在意義上的實數理論建立起來後，無理數本質被徹底搞清，無理數在數學園地中才真正紮下了根。無理數在數學中合法地位的確立，一方面使人類對數的認識從有理數拓展到實數，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數學危機。

貝克萊悖論與第二次數學危機

第二次數學危機導源於微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具後變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。

貝克萊主教

1734年，貝克萊以「渺小的哲學家」之名出版了一本標題很長的書《分析學家；或一篇致一位不信神數學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理》。在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊。例如他指責牛頓，為計算比如說 x2 的導數，先將 x 取一個不為0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx2) ，後再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最後突然令 Δx = 0 ，求得導數為 2x 。這是「依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果」。因為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是「已死量的幽靈」。貝克萊的攻擊雖說出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。

數學史上把貝克萊的問題稱之為「貝克萊悖論」。籠統地說，貝克萊悖論可以表述為「無窮小量究竟是否為0」的問題：就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。這一問題的提出在當時的數學界引起了一定的混亂，由此導致了第二次數學危機的產生。

牛頓與萊布尼茲

針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過完善自己的理論來解決，但都沒有獲得完全成功。這使數學家們陷入了尷尬境地。一方面微積分在應用中大獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論。這種情況下對微積分的取捨上到底何去何從呢？

「向前進，向前進，你就會獲得信念！」達朗貝爾吹起奮勇向前的號角，在此號角的鼓舞下，十八世紀的數學家們開始不顧基礎的不嚴格，論證的不嚴密，而是更多依賴於直觀去開創新的數學領地。於是一套套新方法、新結論以及新分支紛紛涌現出來。經過一個多世紀的漫漫征程，幾代數學家，包括達朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，數量驚人前所未有的處女地被開墾出來，微積分理論獲得了空前豐富。18世紀有時甚至被稱為「分析的世紀」。然而，與此同時十八世紀粗糙的，不嚴密的工作也導致謬誤越來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動了數學家們的神經。下面僅舉一無窮級數為例。

無窮級數S＝1－1＋1－1＋1………到底等於什麼？

當時人們認為一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那麼豈非0＝1？這一矛盾竟使傅立葉那樣的數學家困惑不解，甚至連被後人稱之為數學家之英雄的歐拉在此也犯下難以饒恕的錯誤。他在得到

1 + x + x2 + x3 + ..... = 1/(1- x)

後，令 x = －1，得出

S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！

由此一例，即不難看出當時數學中出現的混亂局面了。問題的嚴重性在於當時分析中任何一個比較細致的問題，如級數、積分的收斂性、微分積分的換序、高階微分的使用以及微分方程解的存在性……都幾乎無人過問。尤其到十九世紀初，傅立葉理論直接導致了數學邏輯基礎問題的徹底暴露。這樣，消除不諧和音，把分析重新建立在邏輯基礎之上就成為數學家們迫在眉睫的任務。到十九世紀，批判、系統化和嚴密論證的必要時期降臨了。

柯西

使分析基礎嚴密化的工作由法國著名數學家柯西邁出了第一大步。柯西於1821年開始出版了幾本具有劃時代意義的書與論文。其中給出了分析學一系列基本概念的嚴格定義。如他開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運算化為一系列不等式的推導。這就是所謂極限概念的「算術化」。後來，德國數學家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的「ε-δ 」方法。另外，在柯西的努力下，連續、導數、微分、積分、無窮級數的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。不過，在當時情況下，由於實數的嚴格理論未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善。

柯西之後，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數理論，並於七十年代各自建立了自己完整的實數體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結為遞增有界數列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理「基本序列」來定義無理數。1892年，另一個數學家創用「區間套原理」來建立實數理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴謹的極限理論與實數理論，完成了分析學的邏輯奠基工作。數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。重建微積分學基礎，這項重要而困難的工作就這樣經過許多傑出學者的努力而勝利完成了。微積分學堅實牢固基礎的建立，結束了數學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數學危機的徹底解決。

羅素悖論與第三次數學危機

十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」

康托爾

可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。

羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定的集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義，S就屬於S。無論如何都是矛盾的。

羅素

其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數悖論。1899年，康托爾自己發現了最大基數悖論。但是，由於這兩個悖論都涉及集合中的許多復雜理論，所以只是在數學界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信後傷心地說：「一個科學家所遇到的最不合心意的事莫過於是在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置於這個境地。」戴德金也因此推遲了他的《什麼是數的本質和作用》一文的再版。可以說，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。

危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。「這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。」1908年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。公理化集合系統的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。

以上簡單介紹了數學史上由於數學悖論而導致的三次數學危機與度過，從中我們不難看到數學悖論在推動數學發展中的巨大作用。有人說：「提出問題就是解決問題的一半」，而數學悖論提出的正是讓數學家無法迴避的問題。它對數學家說：「解決我，不然我將吞掉你的體系！」正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：「必須承認，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們試想：在數學這個號稱可靠性和真理性的模範里，每一個人所學的、教的和應用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至於數學思考也失靈的話，那麼應該到哪裡去尋找可靠性和真理性呢？」悖論的出現逼迫數學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了：第一次數學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創立；第三次數學危機促成了數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。數學由此獲得了蓬勃發展，這或許就是數學悖論重要意義之所在吧。

悖論一覽

1． 理發師悖論（羅素悖論）：某村只有一人理發，且該村的人都需要理發，理發師規定，給且只給村中不自己理發的人理發。試問：理發師給不給自己理發？

如果理發師給自己理發，則違背了自己的約定；如果理發師不給自己理發，那麼按照他的規定，又應該給自己理發。這樣，理發師陷入了兩難的境地。

2． 芝諾悖論——阿基里斯與烏龜：公元前5世紀，芝諾用他的無窮、連續以及部分和的知識，引發出以下著名的悖論：他提出讓阿基里斯與烏龜之間舉行一場賽跑，並讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始。假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍。比賽開始，當阿基里斯跑了1000米時，烏龜仍前於他100米；當阿基里斯跑了下一個100米時，烏龜依然前於他10米……所以，阿基里斯永遠追不上烏龜。

3． 說謊者悖論：公元前6世紀，古希臘克里特島的哲學家伊壁門尼德斯有如此斷言：「所有克里特人所說的每一句話都是謊話。」

如果這句話是真的，那麼也就是說，克里特人伊壁門尼德斯說了一句真話，但是卻與他的真話——所有克里特人所說的每一句話都是謊話——相悖；如果這句話不是真的，也就是說克里特人伊壁門尼德斯說了一句謊話，則真話應是：所有克里特人所說的每一句話都是真話，兩者又相悖。

所以怎樣也難以自圓其說，這就是著名的說謊者悖論。

公元前4世紀，希臘哲學家又提出了一個悖論：「我現在正在說的這句話是假的。」同上，這又是難以自圓其說！

說謊者悖論至今仍困擾著數學家和邏輯學家。說謊者悖論有許多形式。如：我預言：「你下面要講的話是『不』，對不對？用『是』或『不是』來回答。」

又如，「我的下一句話是錯（對）的，我的上一句話是對（錯）的」。

4． 跟無限相關的悖論：

{1，2，3，4，5，…}是自然數集：

{1，4，9，16，25，…}是自然數平方的數集。

這兩個數集能夠很容易構成一一對應，那麼，在每個集合中有一樣多的元素嗎？

5． 伽利略悖論：我們都知道整體大於部分。由線段BC上的點往頂點A連線，每一條線都會與線段DE(D點在AB上,E點在AC上)相交，因此可得DE與BC一樣長，與圖矛盾。為什麼？

6． 預料不到的考試的悖論：一位老師宣布說，在下一星期的五天內（星期一到星期五）的某一天將進行一場考試，但他又告訴班上的同學：「你們無法知道是哪一天，只有到了考試那天的早上八點鍾才通知你們下午一點鍾考。」

你能說出為什麼這場考試無法進行嗎？

7． 電梯悖論：在一幢摩天大樓里，有一架電梯是由電腦控制運行的，它每層樓都停，且停留的時間都相同。然而，辦公室靠近頂層的王先生說：「每當我要下樓的時候，都要等很久。停下的電梯總是要上樓，很少有下樓的。真奇怪！」李小姐對電梯也很不滿意，她在接近底層的辦公室上班，每天中午都要到頂樓的餐廳吃飯。她說：「不論我什麼時候要上樓，停下來的電梯總是要下樓，很少有上樓的。真讓人煩死了！」

這究竟是怎麼回事？電梯明明在每層停留的時間都相同，可為什麼會讓接近頂樓和底層的人等得不耐煩？

8． 硬幣悖論：兩枚硬幣平放在一起，頂上的硬幣繞下方的硬幣轉動半圈，結果硬幣中圖案的位置與開始時一樣；然而，按常理，繞過圓周半圈的硬幣的圖案應是朝下的才對！你能解釋為什麼嗎？

9． 谷堆悖論：顯然，1粒穀子不是堆；

如果1粒穀子不是堆，那麼2粒穀子也不是堆；

如果2粒穀子不是堆，那麼3粒穀子也不是堆；

……

如果99999粒穀子不是堆，那麼100000粒穀子也不是堆；

……

10． 寶塔悖論：如果從一磚塔中抽取一塊磚，它不會塌；抽兩塊磚，它也不會塌；……抽第N塊磚時，塔塌了。現在換一個地方開始抽磚，同第一次不一樣的是，抽第M塊磚是，塔塌了。再換一個地方，塔塌時少了L塊磚。以此類推，每換一個地方，塔塌時少的磚塊數都不盡相同。那麼到底抽多少塊磚塔才會塌呢？
累死我拉!!

2. 數學悖論求解

0.99循環就等於1

😒不要糾結這些 循環小數是小學的東西 到了初中直接用分數

3. 1.數學悖論的危害是什麼如何解決

它的危害就是會讓某些人擔心它會對世界造成危害，還要絞盡腦汁思考如何才能解決這些危害；解決辦法是證明它沒有危害即可。

4. 數學悖論講的是什麼

常識和科學告訴我們：假如說一個論斷是正確的，那麼，無論作怎樣的分析、推理，總不會得出錯誤的結論；反過來，也是一樣。於是，早在兩千多年前的古希臘，人們就發現了這樣的矛盾：用公認的正確推理方法，證明了這樣兩個「定理」，承認其中任何一個正確，都將推證出另一個是錯誤的。甚至有這樣的命題：如果承認它正確，就可以推出它是錯誤的；如果承認它不正確，又可以推出它是正確的。

這種事看來十分荒唐，而事實上它是客觀存在的。這種現象科學家稱之為「悖論」。今天，雖然數學家還不能合理地解釋悖論，但正是在這種解釋的努力中，數學家一系列的發現，導致了大量新學科的建立，推動了數學科學的發展。悖論還反映了嚴密數學科學並不是鐵板一塊，它的概念、原理之中也存在許多矛盾。數學就是在解決矛盾中逐漸發展完善起來的。悖論的存在，還告訴人們，在學習與研究數學時，必須牢記古希臘數學家的名言：要懷疑一切，只有這樣才能有所發現。

5. 數學悖論如何發現的

一般而言，數學給人的印象總是嚴密和可靠的。但早在2000多年前的古希臘，人們就發現了一些看起來好像正確，但卻能導致與直覺和日常經驗相矛盾的命題，這些自相矛盾的命題就被稱為悖論或反論，即如果承認這個命題，就可推出它的否定，反之，如果承認這個命題的否定，又可推出這個命題。

約公元前5世紀的古希臘哲學家芝諾提出了4個著名的悖論。第一個悖論說運動不存在。理由是運動物體到達目的地之前必須先抵達小點。也就是說，一個物體從A到B，永遠不能達到。因為要從A到B，必須先達到AB的中點C，為達到C必須先達到AB的中點D，等等。這就要求物體在有限時間內通過無限多個點，從而是不可能的。第二個悖論說希臘的神行太保阿希里永遠趕不上在他前面的烏龜。因為追趕者首先必須到達被追者的起點，因而被追者永遠在前面。第三個悖論說飛箭靜止，因為在某一時間間隔，飛箭總是在某個空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。第四個悖論是遊行隊伍悖論，內容與前者基本上是相似的。芝諾悖論在數學史上有著重要的地位，有人將它看成是第二次數學危機的開始。無理數的發現，被認為是第一次數學危機，並由此導致了實數理論、集合論的誕生。

英國著名哲學家、數學家、邏輯學家羅素（1872年～1970年）講這樣一個故事：有一個村莊的理發師立下了「只為所有不自己理發的人理發」的規矩。於是有人問他：「理發師先生，您的頭由誰理呢？」這可難住了理發師。因為從邏輯上講有兩種可能性，自己給自己理或請別人給自己理。但若自己給自己理，那就違背了立下的規矩；如果請別人給自己理，那他自己就成了「不自己理發的人」，按照規矩，他應該給自己理發。無論怎樣都和自己的規矩相沖突。看來這位理發師真是遇到難題了。這就是羅素於20世紀初提出的著名的理發師悖論，或稱羅素悖論。羅素悖論標志著第三次數學危機的開始，由此導致了對數學基礎的廣泛討論。實際上，與羅素悖論本質上完全一樣的說謊者悖論早在公元前4世紀就由古希臘數學家歐幾里得提出，即「我正在說的這句話是謊話」。這句話到底是真話還是謊話呢？這也是一個無法自圓其說的論題。

對於數學悖論的研究，推動了數學的發展，同時也使人們認識到盡管數學是很嚴密的，但它的真理性卻也是相對的。只有不斷去探索、去研究，才能更好的發現真理、掌握真理，真正理解世界的涵義。

6. 數學悖論的由來是什麼

1919年，著名英國數學家羅素編了一個很有趣的「笑話」。

小鎮有個愛吹牛的理發師。有一天，理發師誇下海口說：「我給鎮上所有不自己刮鬍子的人刮鬍子，而且只給這樣的人刮鬍子。」

大家聽了直發笑。有人問他：「理發師先生，您給不給自己刮鬍子呢？」

「這，這，……」理發師張口結舌，半晌說不出一句話來。

原來，這個愛吹牛的理發師，已經陷入自相矛盾的窘境。如果他給自己刮鬍子，那就不符合他聲明的前一半，這樣，他就不應當給自己刮鬍子；但是，如果他不給自己刮鬍子，那又不符合他聲明的後一半，所以，他又應當給自己刮鬍子。無論刮不刮，橫豎都不對。

像理發師這樣在邏輯上自相矛盾的言論，叫做「悖論」。羅素編的這則笑話，就是數學史上著名的「理發師悖論」。

理發師的狼狽相是很好笑的，可是，數學家聽了卻笑不起來，因為他們自己也像那個愛吹牛的理發師一樣，陷入了自相矛盾的尷尬境地。

實際上，20世紀初期的數學家們，比那個愛吹牛的理發師更狼狽。理發師只要撤消原來的聲明，厚起臉皮哈哈一笑，什麼事情都沒有了；數學家可沒有他那樣幸運，因為他們遇上了一個無法迴避的數學悖論，如果撤消原來的「聲明」，那麼，現代數學中大部分有價值的知識，也都盪然無存了。

這個數學悖論也是羅素提出來的。1902年，羅素從已被人們公認為數學基礎理論的集合論中，按照數學家們通用的邏輯方法，「嚴格」地構造出這個數學悖論。把它通俗化就是理發師悖論。

集合論是19世紀末發展起來的一種數學理論，它已迅速深入到數學的每一個角落，直至中學數學課本。它極大地改變了整個數學的面貌。正當數學家們剛剛把數學奠立在集合論的基礎上時，羅素悖論出現了，它用無可辯駁的事實指出，誰贊成集合論，誰將變成一個「愛吹牛的理發師」，從而陷入自相矛盾的窘境。數學家們尷尬萬分，如果繼續承認集合論，那麼，號稱絕對嚴密的數學，就會因為羅素悖論這樣的怪物而不能自圓其說；如果不承認集合論，那麼，許許多多重要的數學發明也就不復存在了。

羅素悖論震撼了世界數學界，導致了一場涉及數學基礎的危機。人們已經發現，在數學這座輝煌大廈的基礎部分，存在著一條巨大的裂縫，如不加以修補，整座大廈隨時都有倒塌的危險。

數學家們勇敢地接受了挑戰。他們認真考察了產生羅素悖論的原因。原來，之所以出現羅素悖論這樣的怪物，是由於在集合論中，「集合的集合」這句話不能隨便說。於是，數學家們開始探索數學結論在什麼情況下才具有真理性，數學推理在什麼情況下才是有效的……，從而產生了一門新的數學分支——數學基礎論。

在這個領域里，由於數學家的觀點不同，產生了3個著名的學派。以羅素為主要代表的數學家叫邏輯主義學派，他們認為，只要不允許使用「集合的集合」這種非邏輯語言，羅素悖論就不會發生；以布勞威爾為主要代表的數學家叫直覺主義學派，他們認為，「集合的集合」是不能用直覺理解的，不承認它的合理性，羅素悖論自然也就不會產生了；以希爾伯特為主要代表的數學家叫形式主義學派，他們認為，悖論是一種不相容的表現。

三大學派都提出了修補數學基礎的方案，由於各執己見，爆發了一場大論戰。這場大論戰對現代數學發展影響深遠，還導致了許多新的數學分支的誕生。

現在，修補數學基礎的工作尚未取得令人完全滿意的結果，數學家們仍在頑強拼搏。

7. 有哪些經典的數學悖論和科學悖論

數學悖論：說謊者悖論、芝諾悖論、上帝悖論、硬幣悖論、預想不到的考試的悖論等；
科學悖論： 阿基里斯悖論、二分法悖論、

8. 一個數學悖論

這不是一個悖論，將這說成是悖論的人只是不明白1/3與0.3333······的關系罷了。

9. 數學悖論趣談講了什麼

悖論是邏輯學的術語，原本是指那些會導致邏輯矛盾的命題或論述。比如大家熟知的《韓非子·難一》中記載的那位賣矛又賣盾的楚國人，聲稱他的矛鋒利無比，什麼樣的盾都能刺穿，而他的盾堅韌異常，什麼樣的矛都刺不穿，人問：「以子之矛，陷子之盾，何如？」楚人無言以對。這里關於矛和盾的論述就是一個悖論。悖論這個詞在實際使用中，其涵義已被擴大化，常常包括與人的直覺、經驗或客觀事實相違背的種種問題或論述。因此有時也被稱為「佯謬」、「怪論」等。

悖論雖然看似荒誕，但卻在數學哲學史上產生過重要影響。一些著名的悖論曾使高明的哲學家與數學家為之震驚，為之絞盡腦汁，並引發了人們長期艱難而深入的思考。可以說，悖論的研究對促進數學思想的深化發展是立過汗馬功勞的。

世界上有記載的最早的悖論，是公元前五世紀希臘哲學家芝諾提出的關於運動的著名悖論。在我國公元前三世紀的《莊子·天下篇》中，也記載了幾條著名的悖論辨題。這些悖論的提出和解決都與數學有關。在數學史上震撼最大的悖論是英國哲學家羅索於1902年提出的「集合論悖論」，它幾乎動搖了整個數學大廈的基礎，引發了所謂的「第三次數學危機」。這些嚴肅的論題在許多數學方法論著作、數學史書籍以及有關的讀物中都有記載和討論。

本文只想談點輕松的話題。其實，許多數學悖論是饒有趣味的，它不僅可以令你大開眼界，還可以從中享受到無盡的樂趣。面對形形色色富於思考性、趣味性、迷惑性的問題，你必須作一點智力准備，否則可能就會在這悖論迷宮中轉不出來了。看看下面的幾個小故事，你就會相信此話不假。

第一個故事發生在一位調查員身上。這位調查員受託去A、B、C三所中學調查學生訂閱《中學生數學》的情況，他很快統計出，A校男生訂閱的比例比女生訂閱的比例要大些，對B校和C校的調查也得出同樣的結果。於是他擬寫了一個簡要報道，稱由抽取的三所學校的調查數據看，中學生中男生訂閱《中學生數學》的比例比女生大。後來，他又把三所學校的學生合起來作了一遍統計復核，匪夷所思的事情發生了，這時他得出的統計結果令他大吃一驚，原來訂閱《中學生數學》的所有學生中，女生的比例比男生要大些，怎麼會是這樣呢？這就象在玩一個魔術，少的變多了，多的變少了。你能幫他找找原因嗎？

接下來的這個悖論似乎更簡單了。有人把它歸入數學中對策論的研究范疇。

一位美國數學家來到一個賭場，隨便叫住兩個賭客，要教給他們一種既簡單又掙錢的賭法。方法是，兩個人把身上的錢都掏出采，數一數，誰的錢少就可以贏得錢多的人的全部錢。賭徒甲想，如果我身上的錢比對方多，我就會輸掉這些錢，但是，如果對方的錢比我多，我就會贏得多於我帶的錢數的錢，所以我贏的肯定要比輸的多。而我倆帶的錢誰多誰少是隨機的，可能性是一半對一半，因此這種賭法對我有利，值得一試。賭徒乙的想法與甲不謀而合。於是兩個人都愉快地接受了這位數學家的建議。看來這真是一種生財有道的賭博。

現在的問題是，一場賭博怎麼會對雙方都有利呢？這象不象一場機會均等的猜硬幣正反面的游戲，輸了只付1元，而贏了則收2元呢？據說這是個一直讓數學家和邏輯學家頭疼的問題。《科學美國人》雜志社一直在徵求這個問題的答案呢。其實只要認真分析一下，對這個問題也不難給出有說服力的解釋。

讓我們再來看一個邏輯學的悖論吧。一位數學教授告訴學生，考試將在下周內某一天進行，具體在星期幾呢？只有到了考試那天才知道，這是預先料不到的。學生們都有較強的邏輯推理能力，他們想，按教授的說法，不會是星期五考試，因為如果到了星期四還沒有考試，那教授說的「只有到了考試那天才知道，這是預先料不到的」這句話就是錯的。因此星期五考試可以排除。那就只可能在星期一到星期四考。既然這樣，星期四也不可能考，因為到了星期三還沒有考試的話，就只能是星期四了，這樣的話，也不會是預料不到的。因此星期四考也被排除了。可以用同樣的理由推出星期三、星期二、星期一都不可能考試。學生們推出結論後都很高興，教授的話已經導出矛盾了，輕輕鬆鬆地過吧。結果到了下周的星期二，教授宣布考試，學生們都愣住了，怎麼嚴格的推理失效了呢？教授確實兌現了自己說的話，誰也沒有能預料到考試的時間。現在請你想一想，學生們的推理究竟錯在哪裡呢？

關於運動的悖論有很悠久的歷史，這里介紹的「螞蟻與橡皮繩悖論」是一道讓你的直覺經受考驗的數學趣題。問題是這樣的：一隻螞蟻沿著一條長100米的橡皮繩以每秒1厘米的勻速由一端向另一端爬行。每過1秒鍾，橡皮繩就拉長100米，比如10秒後，橡皮繩就伸長為1000米了。當然，這個問題是純數學化的，既假定橡皮繩可任意拉長，並且拉伸是均勻的。

螞蟻也會不知疲倦地一直往前爬，在繩子均勻拉長時，螞蟻的位置理所當然地相應均勻向前挪動。現在要問，如此下去，螞蟻能否最終爬到橡皮繩的另一端？

也許你會認為，螞蟻爬行的那點可憐的路程遠遠趕不上橡皮繩成萬倍的不斷拉長，只怕是離終點越來越遠吧！但是千真萬確，螞蟻爬到了終點，奇怪嗎？