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數學作輔助線

發布時間: 2021-07-26 20:22:17

A. 初二數學怎樣熟練掌握做輔助線的方法

初中數學輔助線
1.三角形問題添加輔助線方法
方法1:有關三角形中線的題目,常將中線加倍。含有中點的題目,常常利用三角形的中位線,通過這種方法,把要證的結論恰當的轉移,很容易地解決了問題。
方法2:含有平分線的題目,常以角平分線為對稱軸,利用角平分線的性質和題中的條件,構造出全等三角形,從而利用全等三角形的知識解決問題。
方法3:結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形,或利用關於平分線段的一些定理。
方法4:結論是一條線段與另一條線段之和等於第三條線段這類題目,常採用截長法或補短法,所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分,證其中的一部分等於第一條線段,而另一部分等於第二條線段。
2.平行四邊形中常用輔助線的添法
平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質,所以在添輔助線方法上也有共同之處,目的都是造就線段的平行、垂直,構成三角形的全等、相似,把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理,其常用方法有下列幾種,舉例簡解如下:
(1)連對角線或平移對角線:
(2)過頂點作對邊的垂線構造直角三角形
(3)連接對角線交點與一邊中點,或過對角線交點作一邊的平行線,構造線段平行或中位線
(4)連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段,構造三角形相似或等積三角形。
(5)過頂點作對角線的垂線,構成線段平行或三角形全等.
3.梯形中常用輔助線的添法
梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合,通過添加適當的輔助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁,梯形中常用到的輔助線有:
(1)在梯形內部平移一腰。
(2)梯形外平移一腰
(3)梯形內平移兩腰
(4)延長兩腰
(5)過梯形上底的兩端點向下底作高
(6)平移對角線
(7)連接梯形一頂點及一腰的中點。
(8)過一腰的中點作另一腰的平行線。
(9)作中位線
當然在梯形的有關證明和計算中,添加的輔助線並不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁,將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決,這是解決問題的關鍵。
作輔助線的方法
一:中點、中位線,延線,平行線。
如遇條件中有中點,中線、中位線等,那麼過中點,延長中線或中位線作輔助線,使延長的某一段等於中線或中位線;另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線,以達到應用某個定理或造成全等的目的。
二:垂線、分角線,翻轉全等連。
如遇條件中,有垂線或角的平分線,可以把圖形按軸對稱的方法,並藉助其他條件,而旋轉180度,得到全等形,,這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。
三:邊邊若相等,旋轉做實驗。
如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等,有時邊角互相配合,然後把圖形旋轉一定的角度,就可以得到全等形,這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心,因題而異,有時沒有中心。故可分「有心」和「無心」旋轉兩種。
四:造角、平、相似,和、差、積、商見。
如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等,欲證線段或角的和差積商,往往與相似形有關。在製造兩個三角形相似時,一般地,有兩種方法:第一,造一個輔助角等於已知角;第二,是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣:「造角、平、相似,和差積商見。」
五:面積找底高,多邊變三邊。
如遇求面積,(在條件和結論中出現線段的平方、乘積,仍可視為求面積),往往作底或高為輔助線,而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。
如遇多邊形,想法割補成三角形;反之,亦成立。
另外,我國明清數學家用面積證明勾股定理,其輔助線的做法,即「割補」有二百多種,大多數為「面積找底高,多邊變三邊」。
初中幾何常見輔助線口訣
人說幾何很困難,難點就在輔助線。輔助線,如何添?把握定理和概念。
還要刻苦加鑽研,找出規律憑經驗。
三角形
圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對折看,對稱以後關系現。
角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線,三線合一試試看。
線段垂直平分線,常向兩端把線連。線段和差及倍半,延長縮短可試驗。
線段和差不等式,移到同一三角去。三角形中兩中點,連接則成中位線。
三角形中有中線,延長中線等中線。
四邊形
平行四邊形出現,對稱中心等分點。梯形問題巧轉換,變為△和□。
平移腰,移對角,兩腰延長作出高。如果出現腰中點,細心連上中位線。
上述方法不奏效,過腰中點全等造。證相似,比線段,添線平行成習慣。
等積式子比例換,尋找線段很關鍵。直接證明有困難,等量代換少麻煩。
斜邊上面作高線,比例中項一大片。
請採納,你的採納是我上進的動力!可以追問,一直到懂!!!

B. 跪求數學幾何作輔助線技巧!!

一般來說,看到中線要延長一倍

對於求邊之間的關系,例如A+B=C這樣類型的應用截長補短,要麼把長邊截短,要麼把短邊移到一條直線上

如果是在等邊三角形,等腰三角形中,旋轉也是常用方法

在等腰直角三角形中,連接斜邊中點很常用

C. 不會在數學幾何中作輔助線怎麼

輔助線這個東西,應該是初中學習幾何的難點,它呢,被我戲稱為「幾何中的噩夢」。
話說啊,我當初上初二的時候,也很討厭這東西。輔助線我覺得這東西完全就不是什麼數學中邏輯推理的產物,而是想像力的具體體現。
不多說廢話了,我給你的建議:
1.多練習,當然,這句話你的老師家長都跟你提了很多遍,但是,題海戰術真的是唯一一個能讓你總結出每一道題添加輔助線的方法。如果你的數學還算不錯,勸你找幾何壓軸難度的題來練習,提高的會快一點,基礎不好的話,先回去看看書上的定理,熟悉了再說。
2:多記憶:輔助線的做法你可能已經上網搜索過口訣之類的東西了,但是,它不可能說你背下來口訣了,任何題都可以解決了,因為幾何圖形的變化實在多得數不清,輔助線更是千變萬化,所以,你需要記住你做過的幾何題用到了哪種輔助線,具體的添加方法是什麼,或者記住這個圖形的樣子,也就是通常所說的「模型」,以後再遇到這個樣子的圖形,就直接套用那個輔助線就可以了。多記憶肯定有好處,這樣當你積累一定數量的幾何題,你就會總結輔助線的添加方法,就不會為難了
3:多思考:思考輔助線添加的意義,不要盲目添加輔助線。

方法:我覺得,輔助線的方法就是欲擒故縱,根據定理來添加與定理有關的輔助線。或者,如果你的年級還低,才初二,你可以試著學習初三的知識,你的思路會伸展一些。

當然,也許你是高中,因為高中還要學習立體幾何,總之,立體幾何和平面幾何的輔助線方法相同:欲擒故縱。
但是呢,高中解決幾何題的方法就很多了,你可以建立坐標系,還可以用向量,解析幾何甚至復數……
你看著可能會覺得高中很可怕,但是,高中數學就沒有想像力了,完全就是依靠數學運算來達到證明效果,不用這么費勁而已。

希望可以幫助你。

D. 數學作輔助線怎麼表達

輔助線至少滿足一下條件:
1,過一已知點,至另一已知點(均可為動點)
2,過一已知點,向某一特定方向.
表達上亦應類似.

E. 數學幾何輔助線怎麼作

初中數學幾何證明題輔助線一般畫成虛線,畫輔助線的原則(技巧)如下:
揭示圖形中隱含的性質:當條件與結論間的邏輯關系不明朗時,通過添加適當的輔助線,將條件中隱含的有關圖形的性質充分揭示出來。以便取得過渡性的推論,達到推導出結論的目的。

2.聚攏集中原則:通過添置適當的輔助線,將圖形中分散,遠離的元素,通過變換和轉化,使他們相對集中,聚攏到有關圖形上來,使題設條件與結論建立邏輯關系,從而推導出要求的結論。
3.構造圖形的作用:對一類幾何證明,常須用到某種圖形,這種圖形在題設條件所給的圖形中卻沒有發現,必須添置這些圖形,才能導出結論,常用方法有構造出線段和角的和差倍分,新的三角形,直角三角形,等腰三角形等。

F. 初中數學做輔助線方法

一.添輔助線有二種情況:
1按定義添輔助線:
如證明二直線垂直可延長使它們,相交後證交角為90°;證線段倍半關系可倍線段取中點或半線段加倍;證角的倍半關系也可類似添輔助線。
2按基本圖形添輔助線:
每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形,我們 把它叫做基本圖形,添輔助線往往是具有基本圖形的性質而基本圖形不完整時補完整基本圖形,因此「添線」應該叫做「補圖」!這樣可防止亂添線,添輔助線也有規律可循。舉例如下:
(1)平行線是個基本圖形:
當幾何中出現平行線時添輔助線的關鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線
(2)等腰三角形是個簡單的基本圖形:
當幾何問題中出現一點發出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形:
出現等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線;出現角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。
(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形
出現直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現線段倍半關系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。
(5)三角形中位線基本圖形
幾何問題中出現多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當有中點沒有中位線時則添中位線,當有中位線三角形不完整時則需補完整三角形;當出現線段倍半關系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形;當出現線段倍半關系且與半線段的端點是某線段的中點,則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。
(6)全等三角形:
全等三角形有軸對稱形,中心對稱形,旋轉形與平移形等;如果出現兩條相等線段或兩個檔相等角關於某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形:或添對稱軸,或將三角形沿對稱軸翻轉。當幾何問題中出現一組或兩組相等線段位於一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明,添加方法是將四個端點兩兩連結或過二端點添平行線
(7)相似三角形:
相似三角形有平行線型(帶平行線的相似三角形),相交線型,旋轉型;當出現相比線段重疊在一直線上時(中點可看成比為1)可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段為平行方向,這類題目中往往有多種淺線方法。
(8)特殊角直角三角形
當出現30,45,60,135,150度特殊角時可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三邊比為1:1:√2;30度角直角三角形三邊比為1:2:√3進行證明
(9)半圓上的圓周角
出現直徑與半圓上的點,添90度的圓周角;出現90度的圓周角則添它所對弦---直徑;平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有一砧,瓦,水泥,石灰,木等組成一樣。
二.基本圖形的輔助線的畫法
1.三角形問題添加輔助線方法
方法1:有關三角形中線的題目,常將中線加倍。含有中點的題目,常常利用三角形的中位線,通過這種方法,把要證的結論恰當的轉移,很容易地解決了問題。
方法2:含有平分線的題目,常以角平分線為對稱軸,利用角平分線的性質和題中的條件,構造出全等三角形,從而利用全等三角形的知識解決問題。
方法3:結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形,或利用關於平分線段的一些定理。
方法4:結論是一條線段與另一條線段之和等於第三條線段這類題目,常採用截長法或補短法,所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分,證其中的一部分等於第一條線段,而另一部分等於第二條線段。
2.平行四邊形中常用輔助線的添法
平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質,所以在添輔助線方法上也有共同之處,目的都是造就線段的平行、垂直,構成三角形的全等、相似,把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理,其常用方法有下列幾種,舉例簡解如下:
(1)連對角線或平移對角線:
(2)過頂點作對邊的垂線構造直角三角形
(3)連接對角線交點與一邊中點,或過對角線交點作一邊的平行線,構造線段平行或中位線
(4)連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段,構造三角形相似或等積三角形。
(5)過頂點作對角線的垂線,構成線段平行或三角形全等.
3.梯形中常用輔助線的添法
梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合,通過添加適當的輔助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁,梯形中常用到的輔助線有:
(1)在梯形內部平移一腰。
(2)梯形外平移一腰
(3)梯形內平移兩腰
(4)延長兩腰
(5)過梯形上底的兩端點向下底作高
(6)平移對角線
(7)連接梯形一頂點及一腰的中點。
(8)過一腰的中點作另一腰的平行線。
(9)作中位線
當然在梯形的有關證明和計算中,添加的輔助線並不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁,將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決,這是解決問題的關鍵。
4.圓中常用輔助線的添法
在平面幾何中,解決與圓有關的問題時,常常需要添加適當的輔助線,架起題設和結論間的橋梁,從而使問題化難為易,順其自然地得到解決,因此,靈活掌握作輔助線的一般規律和常見方法,對提高學生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。
(1)見弦作弦心距
有關弦的問題,常作其弦心距(有時還須作出相應的半徑),通過垂徑平分定理,來溝通題設與結論間的聯系。
(2)見直徑作圓周角
在題目中若已知圓的直徑,一般是作直徑所對的圓周角,利用"直徑所對的圓周角是直角"這一特徵來證明問題。
(3)見切線作半徑
命題的條件中含有圓的切線,往往是連結過切點的半徑,利用"切線與半徑垂直"這一性質來證明問題。
(4)兩圓相切作公切線
對兩圓相切的問題,一般是經過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線,通過公切線可以找到與圓有關的角的關系。
(5)兩圓相交作公共弦
對兩圓相交的問題,通常是作出公共弦,通過公共弦既可把兩圓的弦聯系起來,又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯系起來。
作輔助線的方法
一:中點、中位線,延線,平行線。
如遇條件中有中點,中線、中位線等,那麼過中點,延長中線或中位線作輔助線,使延長的某一段等於中線或中位線;另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線,以達到應用某個定理或造成全等的目的。
二:垂線、分角線,翻轉全等連。
如遇條件中,有垂線或角的平分線,可以把圖形按軸對稱的方法,並藉助其他條件,而旋轉180度,得到全等形,,這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。
三:邊邊若相等,旋轉做實驗。
如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等,有時邊角互相配合,然後把圖形旋轉一定的角度,就可以得到全等形,這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心,因題而異,有時沒有中心。故可分「有心」和「無心」旋轉兩種。
四:造角、平、相似,和、差、積、商見。
如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等,欲證線段或角的和差積商,往往與相似形有關。在製造兩個三角形相似時,一般地,有兩種方法:第一,造一個輔助角等於已知角;第二,是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣:「造角、平、相似,和差積商見。」
托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表)
五:兩圓若相交,連心公共弦。
如果條件中出現兩圓相交,那麼輔助線往往是連心線或公共弦。
六:兩圓相切、離,連心,公切線。
如條件中出現兩圓相切(外切,內切),或相離(內含、外離),那麼,輔助線往往是連心線或內外公切線。
七:切線連直徑,直角與半圓。
如果條件中出現圓的切線,那麼輔助線是過切點的直徑或半徑使出現直角;相反,條件中是圓的直徑,半徑,那麼輔助線是過直徑(或半徑)端點的切線。即切線與直徑互為輔助線。
如果條件中有直角三角形,那麼作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓,或半圓;相反,條件中有半圓,那麼在直徑上找圓周角——直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。
八:弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。
如遇弧,則弧上的弦是輔助線;如遇弦,則弦心距為輔助線。
如遇平行線,則平行線間的距離相等,距離為輔助線;反之,亦成立。
如遇平行弦,則平行線間的距離相等,所夾的弦亦相等,距離和所夾的弦都可視為輔助線,反之,亦成立。
有時,圓周角,弦切角,圓心角,圓內角和圓外角也存在因果關系互相聯想作輔助線。
九:面積找底高,多邊變三邊。
如遇求面積,(在條件和結論中出現線段的平方、乘積,仍可視為求面積),往往作底或高為輔助線,而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。
如遇多邊形,想法割補成三角形;反之,亦成立。
另外,我國明清數學家用面積證明勾股定理,其輔助線的做法,即「割補」有二百多種,大多數為「面積找底高,多邊變三邊」。

G. 數學中怎麼樣才能作輔助線作的更准確更快速

首先你要明確輔助線的作用,輔助線連結已知、未知,起橋梁作用的線。所以你在作題時如果感覺到已知條件不好用,或未知結論找不到思路時,就要想到作輔助線了。
再次,是怎樣作輔助線。這是個大問題,也是個很難回答的問題。我覺得有兩點。一是要掌握基本定義、定理和基本圖形,這里的基本圖形是指某些定理在使用時常用的圖形,如果你覺得在做題時某些基本圖形缺了幾條線,需要補全,那就要作輔助線,所以要想准確的作出輔助線,基本圖形非常重要。二是要有一定的積累,也就是多做些題,形成一定的解題經驗和解題技巧。
不知我的回答能否對

H. 數學做輔助線技巧

作輔助線的方法和技巧
題中有角平分線,可向兩邊作垂線。
線段垂直平分線,可向兩端把線連。
三角形中兩中點,連結則成中位線。
三角形中有中線,延長中線同樣長。
成比例,正相似,經常要作平行線。
圓外若有一切線,切點圓心把線連。
如果兩圓內外切,經過切點作切線。
兩圓相交於兩點,一般作它公共弦。
是直徑,成半圓,想做直角把線連。
作等角,添個圓,證明題目少困難。
輔助線,是虛線,畫圖注意勿改變。
圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看,對稱以後關系現。

角平分線平行線,等腰三角形來添。

角平分線加垂線,三線合一試試看。

線段垂直平分線,常向兩端把線連。

要證線段倍與半,延長縮短可試驗。

三角形中兩中點,連接則成中位線。

三角形中有中線,延長中線等中線。

平行四邊形出現,對稱中心等分點。

梯形裡面作高線,平移一腰試試看。

平行移動對角線,補成三角形常見。

證相似,比線段,添線平行成習慣。

等積式子比例換,尋找線段很關鍵。

直接證明有困難,等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線,比例中項一大片。

半徑與弦長計算,弦心距來中間站。

圓上若有一切線,切點圓心半徑連。

切線長度的計算,勾股定理最方便。

要想證明是切線,半徑垂線仔細辨。

是直徑,成半圓,想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連,垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦,直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦,同弧對角等找完。

要想作個外接圓,各邊作出中垂線。

還要作個內接圓,內角平分線夢圓

如果遇到相交圓,不要忘作公共弦。

內外相切的兩圓,經過切點公切線。

若是添上連心線,切點肯定在上面。

要作等角添個圓,證明題目少困難。

輔助線,是虛線,畫圖注意勿改變。

假如圖形較分散,對稱旋轉去實驗。

基本作圖很關鍵,平時掌握要熟練。

解題還要多心眼,經常總結方法顯。

切勿盲目亂添線,方法靈活應多變。

分析綜合方法選,困難再多也會減。

虛心勤學加苦練,成績上升成直線

I. 數學幾何作輔助線的方法

作輔助線的方法和技巧
題中有角平分線,可向兩邊作垂線。
線段垂直平分線,可向兩端把線連。
三角形中兩中點,連結則成中位線。
三角形中有中線,延長中線同樣長。
成比例,正相似,經常要作平行線。
圓外若有一切線,切點圓心把線連。
如果兩圓內外切,經過切點作切線。
兩圓相交於兩點,一般作它公共弦。
是直徑,成半圓,想做直角把線連。
作等角,添個圓,證明題目少困難。
輔助線,是虛線,畫圖注意勿改變。
圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看,對稱以後關系現。

角平分線平行線,等腰三角形來添。

角平分線加垂線,三線合一試試看。

線段垂直平分線,常向兩端把線連。

要證線段倍與半,延長縮短可試驗。

三角形中兩中點,連接則成中位線。

三角形中有中線,延長中線等中線。

平行四邊形出現,對稱中心等分點。

梯形裡面作高線,平移一腰試試看。

平行移動對角線,補成三角形常見。

證相似,比線段,添線平行成習慣。

等積式子比例換,尋找線段很關鍵。

直接證明有困難,等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線,比例中項一大片。

半徑與弦長計算,弦心距來中間站。

圓上若有一切線,切點圓心半徑連。

切線長度的計算,勾股定理最方便。

要想證明是切線,半徑垂線仔細辨。

是直徑,成半圓,想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連,垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦,直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦,同弧對角等找完。

要想作個外接圓,各邊作出中垂線。

還要作個內接圓,內角平分線夢圓

如果遇到相交圓,不要忘作公共弦。

內外相切的兩圓,經過切點公切線。

若是添上連心線,切點肯定在上面。

要作等角添個圓,證明題目少困難。

輔助線,是虛線,畫圖注意勿改變。

假如圖形較分散,對稱旋轉去實驗。

基本作圖很關鍵,平時掌握要熟練。

解題還要多心眼,經常總結方法顯。

切勿盲目亂添線,方法靈活應多變。

分析綜合方法選,困難再多也會減。

虛心勤學加苦練,成績上升成直線

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