數學的認識

❶ 對數學的認知

對數學的認知，那麼一般來說，我們都是從書本上開始認知，可以從一些定理，然後計算過程進行認知。
也可以從生活上進行認知，比如說買東西的時候有價格，單價，總價。

❷ 如何認識數學學習

現代社會生活中，人們的生存環境不斷更變，可獲取的信息在迅速增加，人們從事工作、學習和看待處理問題的方式也在發生巨大變化。家庭計算機的普及和人們對計算機、網路的依賴，使得學生數學學習方式必然隨之轉變。探索學生能主動參與的並能獲取切實體驗的學習方式是十分必要也是非常迫切的。
近年來，以計算機多媒體和網路技術為基礎的現代信息技術的迅速發展對傳統的教學模式產生了巨大的沖擊。CAI（Computer Assisted Instruction計算機輔助教學）、WBI（Web-Based Instruction基於網路的教學）產生了教學理念、教育思想上和教育技術上的重大變革。計算機多媒體技術為呈現數學知識提供了多種可能，支持學生通過不同的途徑與方法研究數學，成為獲取數學知識、探索問題、解決問題、培養能力的工具，同時信息技術的掌握與運用成為可持續性學習能力的重要表徵。
高中數學教學中一直是注重知識的傳授，盡管我們不斷地進行著教學內容，方法、手段等方面的改革，教學大綱、學科教學目標中已經將思維訓練、能力培養、情感、態度與價值觀提高到比知識傳授更為重要的地位，信息技術與學科整合受到普遍關注，改變學習方式加強研究性學習成為熱點問題，成為二期課改的重要目標，但在實際教學中，知識傳授仍被視為主要目標，因為這一目標是顯性的，是可以通過教師講授而達成的，尤其是不加理解的短時記憶，模仿解題是可以用簡單的方法實現的，對於能力的培養卻沒有直接現成的方法和直接可操作的程序。高中學生對數學學習，越來越多地表現出興趣低下、被動接受、簡單模仿、機械記憶等傾向。這種傾向在經過層層篩選的重點中學學生中也有所表現，甚至在一些重點大學數學系，學生也普遍不願意在規定的課程學習之外，思考或談論數學問題。數學對於多數從小學到大學的在校學生來說，成為最讓人懼怕、無奈的學科。
從教育教學實踐上看，研究上注重理論原則，宏觀研究多，而微觀的、具體的、操作性強的實踐方法研究顯得較薄弱；基層教師的教學研究多數是圍繞教學內容的組織處理、具體解題的方法策略、一些特殊問題的引申與拓展，重視教法研究，而學法卻沒得到足夠的關注，或者說即便是重視，也多數停留在原則性的號召和缺乏實證根據的想像和期待上；如何切實有效地提高學生學習數學的興趣，提高學習數學的價值認同度，一個非常重要的著眼點就是要從根本上改善學生的學習方式。如何創設一種能使學生主動產生數學問題，觀察數學現象，實驗探索數學規律的學習環境，構建一種新型的實現學生主動發展並有相當開放程度的學習模式，是我們最為關注的焦點。因此，我們提出建立「數學學習實驗室」，使得數學問題的呈現能盡可能結合現實世界的物化現象，貼近學生的實際經驗背景，使得學生主動提出數學問題、主動探索實驗、發現規律具有更大的可能性。強化學生的實踐探索、敢於思考創新的意識，優化學習過程的主動體驗和獲得感受的心理歷程，提高學生數學學習的能力和價值認同度，為學生終身學習奠定基礎。
一. 課題研究的目標、內容和主要研究方式
1. 課題研究目標
1) 建立數學學習實驗室實體
2) 驗證對目前數學教學中主要矛盾的判斷
3) 探索實驗型數學教學的基本形式
4) 實現學生數學學習方式可檢測性的轉變
5) 切實有效提高數學教師專業化水平
2.課題研究內容
1) 實驗型數學學習的概念界定
2) 學生學習方式的現狀分析與研究
3) 構建「數學學習實驗室」的框架設計研究
4) 實驗型數學教學的一般原則和規律
5) 「數學學習實驗室」中，教師的角色與任務
6) 「數學學習實驗室」的運作方式研究
7) 「數學實驗」的適用范圍研究
8) 實驗型學習方案設計和配套軟體開發
9) 學生學習方式與學習質量變化的跟蹤測量與評價
10) 數學學習實驗軟體平台的比較研究
3. 主要研究方式
該課題研究的基本願景是，創設能使學生主動產生數學問題的學習環境，提供觀察數學現象和通過實驗方法探索數學規律的工具平台，構建一種新型的實現學生主動發展的適應學生不同水平差異的並有相當開放程度的學習模式，即在「數學學習實驗室」中，學生可以根據教師提供的學習素材和問題，不局限於老師的講授，可以利用網路、計算機、學習軟體等已有的學習資源，按自己的設想進行探索，就如同教師提供了直尺和圓規，學生不再局限於看老師畫出的圖形，他可以根據合理想像，構造各種幾何圖形，在做的過程中，對幾何圖形的特徵屬性產生直接體驗，從而自然主動地產生證實自己想法的願望。再比如教師提供的課件（如圖1）顯示了一條固定長的線段AB，此線段可以任意截成AC和CB兩段，學生操作改變C點位置，觀察以AC和CB兩動線段為邊長的矩形的面積變化情況（界面即時顯示線段長和矩形面積的度量值），發現規律，並進一步將發現的現象進行概括抽象，便可得出一個重要基本不等式，即兩正數的算術均值與幾何均值的關系。而以上這種以「學生能做數學實驗」為基本出發點的教育思想，是否能切實轉化為學生的學習行為，關鍵是教師能否將思想觀念轉化為研究實踐行為。其實作為教學的直接實施者—教師，在明確了要「做什麼」的情況下，最關心的是「怎樣做」，然後在親身實踐的過程中加深對「為什麼這樣做」的理解以及「還能怎樣做」的研究。因此，我們強調教師在實踐中研究，在研究中實踐，學生的學習方式必將發生轉變並不斷得到優化。從基層科研特點和學校對科研成果的形式需求出發，我們力求開發設計大量的可操作有借鑒和應用價值的優秀案例並形成校本教材。
因此實踐研究工作的基本方式和流程表示如下：

二. 課題研究過程
課題研究工作大致上分為三個階段：
第一是准備階段，對當前學生學習數學的主要困難、學習心向、學習方式的現狀進行調查分析與研究，提出主要解決的問題；針對性地進行教師和部分學生的培訓；初步制定數學學習實驗室的建設方案。
第二階段是全面開展研究和實踐調整階段，在實踐中深入研究數學學習實驗的目的、基本形式、實施策略、一般原則以及在改善學習方式上的一些突出效能。
第三階段是研究總結階段，主要是將研究過程中形成的認識、設計的方案、製作的實驗軟體和過程性經驗資料，進行提煉和整理。
1. 對學生學習數學的心向、主要困難、方式的現狀分析與研究
如前文所述，近年來學生學習數學困難的現象越來越普遍，教與學的矛盾也越突出，長期以來形成的對學生認知規律特徵判斷的方法經驗，受到現實情況的嚴峻挑戰。這在普通高中尤為突出。我們通常認為機械的簡單操作是容易被人厭棄的，而富含智力成分的活動會讓人喜愛，但事實並非如此。
為了檢驗我們對學生學習數學的心向、主要困難、學習方式的現狀等方面作出的一些判斷和假設，在課題研究初期，我們設計了一份調查問卷（見附件1），分別對一所普通中學6個班共253人和一所市示範性（重點）高中1個班51人進行調查，問卷數據統計如下
普通中學調查情況
A B C D 答題人數 選擇A 選擇B 選擇C 選擇D
第1題 66 155 25 7 253 26.1% 61.3% 9.9% 2.8%
第2題 3 64 162 24 253 1.2% 25.3% 64.0% 9.5%
第3題 30 164 58 1 253 11.9% 64.8% 22.9% 0.4%
第4題 68 140 45 0 253 26.9% 55.3% 17.8% 0.0%
第5題 32 96 86 39 253 12.6% 37.9% 34.0% 15.4%
第6題 4 66 73 109 252 1.6% 26.2% 29.0% 43.3%
第7題 11 157 44 41 253 4.3% 62.1% 17.4% 16.2%
第8題 173 59 9 12 253 68.4% 23.3% 3.6% 4.7%
第9題 16 29 13 195 253 6.3% 11.5% 5.1% 77.1%
第10題 57 103 16 77 253 22.5% 40.7% 6.3% 30.4%
第11題 26 80 69 78 253 10.3% 31.6% 27.3% 30.8%
第12題 80 91 24 58 253 31.6% 36.0% 9.5% 22.9%
第13題 36 177 17 23 253 14.2% 70.0% 6.7% 9.1%
第14題 24 106 64 58 252 9.5% 42.1% 25.4% 23.0%
第15題 28 37 160 28 253 11.1% 14.6% 63.2% 11.1%
重點中學調查情況
A B C D 答題人數 選擇A 選擇B 選擇C 選擇D
第1題 12 15 11 13 51 23.5% 29.4% 21.6% 25.5%
第2題 1 11 37 2 51 2.0% 21.6% 72.5% 3.9%
第3題 21 22 8 0 51 41.2% 43.1% 15.7% 0.0%
第4題 24 20 6 0 50 48.0% 40.0% 12.0% 0.0%
第5題 3 23 14 11 51 5.9% 45.1% 27.5% 21.6%
第6題 4 10 25 10 49 8.2% 20.4% 51.0% 20.4%
第7題 5 24 14 8 51 9.8% 47.1% 27.5% 15.7%
第8題 18 19 9 5 51 35.3% 37.3% 17.6% 9.8%
第9題 0 20 2 29 51 0.0% 39.2% 3.9% 56.9%
第10題 11 18 10 12 51 21.6% 35.3% 19.6% 23.5%
第11題 6 22 12 11 51 11.8% 43.1% 23.5% 21.6%
第12題 5 23 2 21 51 9.8% 45.1% 3.9% 41.2%
第13題 1 34 7 9 51 2.0% 66.7% 13.7% 17.6%
第14題 3 11 15 22 51 5.9% 21.6% 29.4% 43.1%
第15題 1 6 28 16 51 2.0% 11.8% 54.9% 31.4%
根據以上統計數據，我們將每題各選項進行了頻數分布分析（各選項的百分比）、部分問題之間的相關性分析、兩個樣本對應問題的比較分析，結果與我們的預測（經驗判斷）進行了對比。這里只把與預測有明顯差異的結果概括如下（詳細分析見《普通高中數學學習主要困難、學習心向、學習方式的調查報告》）
（1）從第1、5題情況看學生多數有一本以上參考用書，課余時間有相當一部分用於數學學習，平均約1.5小時，重點中學比普通中學用時更多，這與我們的判斷吻合，但同時也反應重點中學課業負擔更重。
（2）從第3、4、8、9、10、12題情況看，對於數學學習的價值認識、學習方式、興趣、信心等方面，重點中學普遍明顯優於普通中學，但對於某些選項諸如對「思考問題」「認真聽講」的重要性選擇，還是傾向於「聽講」；對於做課後練習的習慣，多數是「邊看書邊做練習」或「不看書做練習」，很少有人「先看書再做練習」或「做完練習再看書」；這些都反映出學習的被動性和依賴性傾向。
（3）從兩個樣本的整體答題情況看，普通中學的答題率高於重點中學，說明普通中學學生更「聽話」，更「規矩」，這個細節是值得思考的。
（4）從11題反映，學生對教師的教學方式的期望比較一致，即「老師盡快講完主要內容，學生當堂練習」，而我們認為學生可能對「老師提出問題，學生自主討論研究」的期望較高
（5）選擇最集中的是13題，希望教師布置作業「部分由老師布置，部分由學生自主選擇」；希望「全部由老師布置」的人數，比希望「全部由學生自主選擇」的多，且兩所學校的情況高度一致，這也是我們沒有估計到的。
（6）從14、15題看，學生普遍認為，家用電腦的主要作用是「上網」，對於計算機能否對數學學習起到幫助，幾乎處於無知狀態。
通過以上的種種分析研究，本課題的研究思路更加開闊，研究目的更加清晰，研究基礎也更加堅實。

2.在研究過程中，深入理解「數學學習實驗」這一概念的內涵。
開題初期，對於數學實驗的概念是很模糊的，我們也查閱了一些相關資料，不同層次的數學教學專家和學者對數學實驗有不同的界定。經過為期一年多次的討論，包括與物理、化學學科教師的一些激烈爭論，課題組成員對於開展數學學習實驗的目的認識基本達成一致，並認為數學教學中數學實驗在實驗工具上，應主要藉助於計算器、TI圖形計算器、計算機和相應的軟體等，在實驗目的上不應只是輔助教學，應把數學實驗作為一種科學研究方法。事實上把數學實驗作為一種科學研究方法這種想法方向是正確的，然而以這樣的視角看問題，從今天看來，顯然不符合該課題的本來目的。盡管對實驗的概念、形式、實施方法一直有許多爭論，但還是逐漸形成了以下的一些主流認識。
數學實驗是一種知識素材形成、發展和應用為任務，利用算具（或空間模型實物）作為實驗工具來推演（或模擬）的，並且以一定的數學思想方法作為實驗原理的一種實驗形式；它必須以某一層面的數學知識素材作為實驗對象，在一般意義下的某種運算程序里，以數值計算、符號演算或圖形演示等作為實驗內容的操作（或心智活動）；達到驗證數學命題，廣泛開展猜想創新的目的。使學生通過實驗來建構數學概念，探求數學規律，發現數學問題，解釋數學原理，驗證數學結果。
引用中科院院士張景中的觀點，數學實驗就是動手算一算、畫一畫、量一量，一個題目，光想不動手，往往不得其門而入，動手做，常會有啟發，代數問題，把字母代成數試一試，幾何問題，多畫幾個圖看一看，這比你冥思苦想效果好得多，學生通過數學實驗，手腦並用，獲得直接的感性認識，能最大程度地發揮其主觀能動性，有利於右腦的開發，並能由此引發奇思妙想，產生大膽的猜想和創新，使得所學的知識真正地轉化自身的知識結構。
學習、實踐、碰撞、反思使得課題研究逐步深入。現在的統一認識是，本課題中的「實驗」概念，之所以將其描述為「數學學習實驗」，是因為我們研究的目標和解決的問題是數學學習方式的優化，而不是「數學學習實驗」概念本身。作為一種行為模式，在研究實踐中其內涵和外延得以豐富和清晰化。針對學生學習數學普遍感到困難、興趣低下的實際情況，盡可能採用「實驗」手段，讓數學的呈現形式真實可感，讓數學離他們近一些，從而引發他們思考問題、嘗試解決問題的自然願望。因此我們課題中的「數學學習實驗」有別於學術界一般意義上的「數學實驗」， 一般意義的數學實驗通常沒有預先的組織與設計，它隨著問題解決的進程自發而生；而數學學習實驗通常是一種觀察、發現、歸納、抽象的「再建構」過程，需要有計劃地安排實驗載體，有計劃地控制實驗進程。從實驗目的來看，一般的數學實驗是為了解決一定的問題, 是對數學問題的深入研究、拓展，力圖有新的發現，關注實驗的「本體結果」；而數學學習實驗是讓學生在「做數學」中「學數學」和「用數學」, 關注用合理的手段有效改善學習；可見數學學習實驗的首要功能是輔助數學教與學，使學生在實驗中深刻理解數學知識，靈活應用數學方法，提高自主學習數學的願望和能力，並不要求學生在研究中真正發現數學（盡管確實有可能有新的發現），而是以習得知識、發展能力、提高素養為目的指向。
「數學學習實驗」與物理、化學、生物等自然科學實驗有本質的區別，首先是目的指向不同，後者的實驗對象是具體的物質對象，是對自然的模擬和驗證，實驗現象即是結論，無須證明；而前者往往沒有具體的物質對象，即便有也不是研究主體或終極目標；數學實驗是思維過程的模擬和驗證，實驗現象並不能作為數學結論，而必須通過邏輯的證明；物理、化學實驗所得到的結果本身就是學習的目標知識，而「數學學習實驗」主要是為了提供一個學生主動參與學習活動的情境，呈現數學知識發生、發展的過程，養成善於從感官現象中抽象出一般規律的習慣和進行數學建模的意識；物理、化學實驗必須觀察實物運動變化，必須掌握實物工具和器材的運用，而「數學學習實驗」則不一定，它基本上是依靠數值計算，圖形變化，觀察數與形的關系進行的，使用什麼樣的工具（實物或電腦）並不重要，「動腦」是決定性標志，「動手」不是必要條件。
結合上述研究實踐過程中形成的認識，本課題的數學學習實驗界定為：以激發學生數學思維活動為目的，經過某種預先的組織、設計，模擬地創設一些利於觀察的數學對象和問題情境，促使學生在對實驗素材進行數學化操作中產生歸納假設，在分析、修改、驗證猜想中形成認知體驗，從而實現在建構數學中理解學習數學、解釋數學、應用數學的一種探究性教學活動．

3.實踐中研究探索「數學學習實驗」的基本形式
由於實驗的目的、應用的知識和採取的技術手段等不盡相同，因此我們從三個維度對學習實驗進行分類。
從實驗工具劃分，可將數學學習實驗分為實物模型實驗 和信息技術模擬實驗 兩類；從實驗的實施方法分為動手操作實驗 和觀察演示實驗 ；從實驗的目的可分為理解性實驗 和探索性實驗 。這樣我們就把要設計研究的數學學習實驗類型用下表表示：

數學研究的對象不是現實世界的實物化對象，而對實物性狀規律和屬性的表達基本上都能通過信息化手段形象地表達，因此我們重點研究用信息技術模擬的數學實驗，主要應用幾何畫板軟體；同時根據學生學習數學的主要困難和普遍的習慣特徵，我們又將重點集中在2-2-1型和2-1-1型，當然，如果學生知識基礎好，又有良好的興趣習慣和動手能力，則2-1-2型和2-2-2型實驗更富有價值。
理解性實驗是讓學生通過觀察現象與數學自然地建立聯系，通過實驗驗證、檢測由已學過的相關知識推導出的結論或做出的一般猜測的正確性，從而深刻理解數學概念、原理為目的。通過理解性實驗加強學生自己分析問題、解決問題的自信，或者發現問題解決中的謬誤，並分析原因，加以改正。探索性實驗是讓學生通過觀察、測量、計算等活動認識不同水平條件下的數學本質，通過歸納、類比、概括等思維方式發現數學規律，從而達到「建構」數學認知結構目的的數學實驗。

4.課題研究始終結合日常教學成為校本教研的主題
該課題的研究主要是落實在實踐中，金匯高級中學近年來形成的富有特色的校本教研「三磨」（磨課、磨卷、磨作業）活動，成為課題研究的實踐平台。所謂「磨」實質上就是研究，或者說在實踐中研究，並以研究的方式開展實踐。結合學校的三輪磨課活動，課題研究得到了扎實有效的推進。數學組三輪磨課的主題分別是「用實驗方法學數學，促進學生學習方式的轉變」、「現代化數學教學基本功的錘煉」、「優化學習方式，突出學生主體」。磨課過程中，我們一次次將案頭的思索帶進課堂，又一次次從課堂上帶回問題進行研磨，這種根植於教學實踐而又主題鮮明的課題研究，使教師真切地認識到研究的價值，體驗到研究帶來的快樂。教師設計的一則則教學方案《函數 圖像的合成》、《函數的奇偶性》、《數列的極限》及配套課件，撰寫的實踐反思總結或案例《學生為什麼不喜歡學數學》、《出乎意料》，諸如《數學實驗的適用范圍》《高中數學學習實驗的特徵》等論文都直接成為教師的研究成果，而在此過程中出現的疑問和困難又不斷地及時討論並得到課題組骨幹教師的幫助，教師培訓工作就這樣自然而有效地進行。磨課使得研究、培訓和教學實踐有機整合，使得教師的學習、研究和工作成為一個高效率的聯動體系，使得我們的課題有了一塊成長發展的沃土。

三．課題研究成果總結
本課題的主要研究成果可以概括為：
（1）教師專業化水平顯著提高；
（2）建立了「數學學習實驗室」；
（3）對實驗教學軟體進行了專門的比較研究並編寫了教師培訓教程；
（4）總結出了用「幾何畫板」設計數學實驗教學的一般模式；
（5）研究總結了實驗型教學的普遍原則；
（6）對數學概念的實驗型教學進行了深入研究。

1．教師觀念得以更新，專業化水平顯著提高
如前文所述，在提出該課題以後，圍繞普通高中學生學習數學的主要困難是什麼？導致這種現象的原因是什麼？如何改善我們的教與學？實驗型的教學的價值與作用如何？怎樣開展實驗型教學活動？哪些數學知識需要用實驗方法習得？實驗型學習過程中學生的學習心理機制有何特徵？用那些技術手段實現設計的實驗效果？如何檢測實驗效果？等等問題，展開了廣泛的、持續的討論、研究和實踐，在此過程中，每次思想觀點的碰撞交鋒，都對教師觀念的更新起到了有效的催化作用，每次尋找問題的原因和解決的具體辦法，又無形中提高了教師的教學技能。顯性的成果有，教師圍繞課題撰寫了大量的實驗型學習方案，相應製作大量課件，有8篇論文，一套培訓教程，2套問卷和對應的分析報告，多數教師學會使用幾何畫板。可以說課題研究高效地將學習和教學整合在一起，取得了顯著的教、研、訓聯動效益。

2．對實驗型數學教學的軟體工具進行了比較研究和合理選擇並建立了「數學學習實驗室」
在中學數學教學中，可以使用的軟體工具主要有幾何畫板、Z+Z超級畫板、Mathmatica MathCAD、Maple、MATLAB等。根據使用范圍的普遍性、便利性以及軟體功能的全面性、基礎性和開放性，幾何畫板應成為首選。特別提出，由張景中院士研發的超級畫板在功能上有較幾何畫板更全面便捷之處，然而由於面世時間短，不夠普及，因此我們仍主要使用幾何畫板。值得說明的是，由於PPT演示文稿在各科教學以及會議講座上的廣泛應用，數學教師在教學中也普遍使用，若僅僅是用於文稿演示，倒也還可以，但若用於表現說明數學原理則屬用法不當，若用於做數學實驗則幾近荒謬了。因此建議數學教師不要在數學課上使用PPT，事實上，PPT的功能，幾何畫板幾乎完全能實現，而時間效率高得多，相信如果數學教師嘗試使用幾何畫板，一定會提高其應用信息技術的興趣和熱情。為此，課題負責人蔣雲鵬多次組織教師專門學習使用幾何畫板，在培訓教師和部分學生的過程中，編寫了《幾何畫板培訓教程》。
2007年3月「數學學習實驗室」正式啟用，至此，數學實驗就不再局限於演示實驗，學生動手操作型的實驗課也有了固定場所，以幾何畫板為主要設計平台，由教師製作的實驗課件以及相關資源通過整理，進入實驗室資源庫。

3．總結出了用「幾何畫板」設計數學實驗教學的一般模式
我們知道建構主義教學策略的核心是以學生為中心、以學習活動為中心、以學生主動性的知識建構為中心，強調四個基本環節：情境創設、自主探索、協作學習和效果評價。利用「幾何畫板」進行數學實驗教學，可以創設出一種以「問題—實驗—交流—猜想—驗證」為新模式的數學教學。
利用「幾何畫板」進行數學實驗教學的模式一般主要包括以下七個環節。
（1）課前准備。實驗前派發實驗報告表，要求學生事前了解實驗的目標並預習實驗所涉及的知識，學生或教師針對問題，設計一定的實驗步驟，提出具體的要求。
（2）創設情境。學生通過形象的感性資料，產生問題意識，形成並提出問題。
（3）活動與實驗。通過教師的演示或學生操作，對問題形成直接的初步感知。
（4）討論與交流。在形象觀察獲得初步認識後，自然引起討論與交流。
（5）歸納與猜想。教師合理組織，引導學生概括、歸納、總結，表達自己的猜想，教師對猜想的合理性適時地加以點評。
（6）檢驗與證明。教師組織以邏輯演繹的形式對猜想加以嚴格證明，此間教師應盡可能全面觀察學生通過以上實驗過程對問題本質體驗的水平。
（7）完成實驗總結。一般有寫實驗報告和做相應的練習兩種形式，實驗報告的填寫通常可以穿插在實驗的各個環節。
以上各環節要根據實驗的類型，結合實際情況靈活取捨調整。如2-2-1型，就應突出第（2）（3）（5）環節，第（4）環節可以省略或弱化，如果是2-1-1型，則需特別突出（3）（4）環節，第（6）環節可以作開放性處理，或移到課後。

4．深入研究了實驗型教學的普遍原則
啟發性原則
啟發性是數學教學的靈魂，因為歸根結底數學是人類一種高度的精神活動。美國著名數學家柯朗（R• Courant）在《數學是什麼》一書中指出，「數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志，縝密周詳的推理以及對完美境界的追求。它的基本要求是：邏輯和直觀，分析和構造，一般性與個別性。雖然不同傳統可以強調不同的側面，然而這些互相對立的力量的相互作用以及它們綜合起來的努力才構成數學科學的生命、用途和崇高價值。」因而數學教學決不能只告訴學生現成的數學結論，或讓他們死記公式定理法則。歷史上，數學的每一步前進都是以數學家付出的艱難探索為代價的，有些成果甚至是上百年幾代數學家心血的積累。今天要在很短的時間里讓學生理解它們，不啟發他們運用自己的智力認真思考怎麼能行？在這個意義上講，數學教師的責任在於再創造，在於提出深入淺出的問題、設計最佳的教學情景與活動，讓學生通過自己的思考去獲得知識，歷練心智。

❸ 你對數學的看法及認識

我喜歡數學，他是客觀的，公平的，迷人的，數學是其他科學的皇冠，而美麗的數論更是皇冠上的明珠，令多少人著迷。

❹ 對數學專業的理解與認識

一、專業的發展簡要概述

數學與應用數學可謂是歷史悠久。從古代結繩記數、丈量土地、分配財產導致算術、代數、幾何的相繼產生，以及我國最著名的數學典籍《九章算術》中246個實際應用問題的匯集；到現代數學概念、語言在日常生活中的滲透，一些數學原理已成為人們必備知識，如對稱、百分數、平均數、比例等成為社會生活中常見名詞；象人口增長率、生產統計圖、股票趨勢圖等不斷出現在報刊、電視等大眾信息傳播媒介中；而儲蓄、債券、保險、面積、體積計算（估算）、購物決策等成為人們難以迴避的現實問題。可見，數學已不僅只作為解決問題的工具，更是時代文化的重要組成部分。

人類正進入信息社會時代，面臨許多發展與對策問題。應用數學也同步進入一個新的發展時間。國際間已多次舉行過有關數學物理、控制論、運籌學、計算數學、模糊數學、有限元方法、邊界元法法、生物數學等方面的學術性會議。第一屆工業與應用數學國際會議已於1987年6月在法國巴黎舉行,到會代表約2000人，是應用數學界的一次空前盛會。在工業先進的各國中，應用數學受到極大地重視，應用數學具有廣闊的發展前途。

二、專業的研究方法

我認為，數學與應用數學專業最重要的就是獨立思考，學會鑽研剖析，掌握理論知識，並靈活應用至實際問題。但是，學習中的合作精神也是必不可少的，例如在數模競賽中，團隊的力量就顯得尤為重要了。

三、大學的奮斗

數學與應用數學專業的目標是培養掌握數學科學的基本理論、基礎知識與基本方法，能夠運用數學知識和使用計算機解決若干實際數學問題，具備在高等和中等學校進行數學教學的教師、教學研究人員及其他教育工作者。

因此，大學期間有數學分析、高等代數、解析幾何、常微分方程、 概率論、實變函數、微分幾何、數理統計和抽象代數等專業核心課程,有數學建模、Matlab軟體及應用、SAS統計軟體及應用、畢業論文等提高性實踐教育課程，還有科研訓練項目、創新創業教育、社團活動課程等創新性實踐教學課程。另外，根據師范類專業要求還必須修讀教師教育類課程，包括班級經營、教育學、教師語言技能、三筆字技能等。

四、未來的方向

四年畢業後，我希望能去貴州支教一年，然後再回到寧波成為一名普通卻光榮的高中教師。初中時候的數學老師就是去過小山村支教的，從那時我就想，如果有機會，我也願意以這樣的方式關愛他們，來到大學，又在十佳學子報告會上聽到了其中一位學長的支教經歷，讓我心潮澎湃了好久，因此，畢業後我希望能在這樣的實踐中更好的磨練自己，變得更優秀

❺ 我對數學的認識和看法

我對數學的認識和理解

數學對於我來說是：無時無刻不在，並且伴隨我的成長！

對於每個中國的孩子，也可以說世界上的每個孩子，自從上學的那天開始，數學便走進了他（她）的生活，並且一直陪伴他走過十幾二十幾年的時光。但是，那時數學僅僅是一門必須去學的課程，我們的學習可以說不是自發的，而且是被動的。而對於每個對世界充滿好奇，充滿了求知慾的人來說，數學不單單是一門課程了，她是我們認識世界、探索世界、乃至改造世界的一個窗口，一個工具。她的身上散發了迷人的魅力。她不再是分數的一種表達，她是有血有肉的精靈。記得義大利物理學家、天文學家G.伽利略（Galieo Galilei）說過，「為了理解宇宙，人們先要學習描寫它們所用的語言，並且解釋這種語言的字母。宇宙是用數學語言寫成的，它的字母是……幾何圖形，如果沒有這些字母，人類將對它一字不識，只能在黑暗迷宮里徘徊。」看吧，數學不光是描述地球的，她還是整個宇宙的最佳文字！法國哲學家、數學家R.卡迪兒（Rene Descartes）說，「萬物對我皆為數學」。我雖然沒有這樣的大數學家的高度，將一切事物都歸納為數學，但是我知道我們身邊的一切都離不開數學。當我們環顧四周，偶爾可見數學風採的微妙印記，令人神往。這些印記讓我感受數學對生活的巨大影響，從而可以幫助我了解我們的世界和宇宙。

我覺得，與其他知識部門相比，數學是一門歷史性或者說積累性很強的科學。重大的數學理論總是在繼承和發展原有理論的基礎上建立起來的，它不僅不會推翻原有的理論，而且總是包容原先的理論，對於我們在小學乃至中學大學里的數學課程也是一樣，它們彼此沒有矛盾，但是後者顯然要比前面部分更加完善。有的數學家說過「大多數的學科里，一代人的建築為下一代人所拆毀，一個人的創造被另一個人所破壞。唯獨數學，每一代人都在古老的大廈上添加一層樓」。這樣的說法雖然有些絕對，但卻形象地說明了數學這座大廈的積累特徵。

查閱了很多資料，我終於找到了一個困惑我許多年的問題，那就是「什麼是數學？」。最為權威的應該是恩格斯的定義：「純數學的對象是現實世界的空間形式與數量關系。」後人根據他的論述，將其概括為：數學是研究現實世界的空間形式與數量關系的科學。所以，我知道了數學家們將行星的運動、機械的運動、流體運動、動植物生成這些運動與變化的數學描述為「數」與「形」。但是20世紀50年代前蘇聯的一批有影響的數學家試圖修正前面恩格斯的定義來概括現代數學發展的特徵：「現代數學是各種量之間的可能的，一般說是各種變化著的量的關系和相互聯系的科學。」這個定義不再區分「數」和「形」，而是將其歸為一個「量」。這個「量」好像被賦予了豐富的現代涵義，有一定的現代意義。

❻ 對數學的認識和理解

數學是一切自然科學的基礎，任何的自然科學都需要用「量」來衡量和說明其包含的一切原理、規律、法則。而「量」就要用到相關的數學知識。

❼ 對數學的認識

有人這樣形容數學：「思維的體操，智慧的火花」。這足以說明數學在形成人類理性思維的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用。正如老師所說：每個人一生中都會有那麼一個階段喜歡數學。為什麼呢？一、如陳省身所說，「數學好玩」；二、數學有用，生活離不開數學。為什麼這么說呢？下面就此簡單地談一下關於數學的一些淺顯的認識： 好玩的數學才是數學 數學本身充滿著趣味性，眾所周知的一句話：興趣是最好的老師。所以一個人喜歡數學也就是很自然的事了。嗯，拿自身舉個例子，我最初開始喜歡數學是在小學的時候，當時在姥姥家看一本叫做《趣味數學》的少兒科普書看的很入迷，記得書中有一篇關於高斯求和的文章，當時第一次看的時候感覺有點兒震撼：原來算數可以這樣算的！原來這么多個數的加法可以這么簡單地算出來！從此我對數學的熱情就與日俱增，成績也越來越好。不過到上中學，乃至到了大學，我對數學的熱情之火卻慢慢熄滅了，因為我覺得這數學越來越不好玩了，數學彷彿就成了一些數字的考試了，雖然現在做出一道數學題依然會讓我很興奮很有成績感，不過沒了小時候的那種「好玩」的樂趣，還是覺得索然。所以，我認為能讓人覺得好玩，趣味橫生的數學才是數學。 有用的數學才是數學 數學，於社會而言是其不可或缺的組成部分，數學涉及到生活的方方面面：從買菜時的算術，到列車時刻表，到太空梭的發射……哪個環節離得了數學。從IT，到建築，到金融，到稅務，到設計……那個行業離得了數學。不要說是我們這些理工科的學生，就連學藝術的學生也要知道黃金分割點。所以說，數學很有用。然而說數學有用又不僅僅局限於此，作為人類一切科學的源科學，數學與哲學一樣能教給人們許多生活的哲理，以及不同的邏輯思維方式。一個好的數學家必定也是一個不凡的哲學家。可以說：數學很大程度上教給人們的不是如何解決問題的方法，而是一種追求真知的信念。所以說，數學很有用，有用的數學才是數學。 我對數學的認識就說到這里，最後用徐光啟譯《幾何原本》時說的一句話作結：凡同此書者，無事不能通。數學是一門人生學科，需要一生學習。
請樓主採納，這是我以前打的。

❽ 淺談對數學的認識

摘要： 新課程改革注重知識的發生、發展過程，培養學生用數學的觀點觀察社會、思考問題，增強應用數學的意識，重視聯系實際和數學應用意識。教師應加強數學應用教學，多讓學生自主學習，重視課外實踐，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實際應用能力。
關鍵詞： 數學應用 生活經驗 學以致用
新課程改革注重知識的發生、發展過程，培養學生用數學的觀點觀察社會、思考問題，增強應用數學的意識，真正讓學生體會到「學以致用」。近年來，我堅持以新課程標准為指導思想，重視實踐，加強對學生數學應用能力的培養，做了一些探索，在此談談對這一問題的一點思考。
一、理論基礎
1.數學的發展就是數學應用的歷史。
從數學的早期發展來看，數學起源於人類實際生活的需要，人類在簡單的物品交換和重新分配中，產生了數的概念。在古埃及流傳下來的最早的數學著作《萊茵德紙草書》和《莫斯科紙草書》中，包含有許多幾何性質的問題，內容大都與土地面積和谷堆體積的計算有關;中國現存的最早的數學著作《周髀算經》中，主要成就是勾股定理及其在天文測量上的應用。
到了近現代，特別是現代，一方面，數學的核心研究變得越來越抽象;另一方面，數學的應用也變得越來越廣泛。數學除了在物理、化學、生物等自然科學大量應用，還在經濟學、社會學領域大展身手，在日益發展的信息社會中，即使一般的勞動者，也必須具備基本的數學運算能力以及應用數學思想去觀察和分析工作、生活乃至從事經濟、政治活動的能力――存款、利息、股票、投資、保險、成本、利潤、折扣、分期付款，以至文藝創作、心理分析、社會改革、哲學思辨等。可以說，數學是人類活動最基本、最重要的工具之一。

❾ 怎麼認識數學

數學是一門有著廣泛應用的基礎科學。它是各門科學，尤其是自然科學發展和進步的有力工具。對數學的研究有多個側面，其中比較重要的是數學的工具性和數學作為思想體系的特徵。

正如「電子計算機之父」馮·諾意曼(von Neumann)所說的：「數學處於人類智能的中心區域」。數學的研究對於整個科學的發展都有著巨大的推動作用，同時，對數學作為思想體系研究的不斷深入，也將促進人類認識思維的產生原因和作用方式。

數學的歷史和特點

數學是產生較早的一門科學，最初的數學經歷了長期的實踐檢驗和豐富發展後才形成今天我們所見到的數學。最初的數學，是人類對自然現象一種經驗性的描述，隨後發展為一個邏輯嚴密的思想體系，而後又在各個方向開枝散葉，形成了龐大的數學體系。在數學不斷發展的過程中，數學的許多特徵也表現出來：數學的概念和方法具有很高的抽象性，數學的體系具有極強的邏輯嚴密性。這樣兩個基本的特徵決定了數學應用的廣泛性。

數學的起源

數學是一門研究空間形式和數量關系的科學，所以最初的數學概念就是「形」和「數」的概念。

人們在長期的生產實踐和生活實踐中發現，事物之間是存在著區別的。一方面，它們的形態各不相同；另一方面，外在形態相同或相似的事物其多寡也不一樣。所以經過實踐和思考後，人們的頭腦中產生了「形」和「數」的概念。

這兩個數學概念的產生，標志著人類認識水平的一次飛躍，因為這兩個概念都是抽象性很強的概念。雖然事物的外在形態是可見的，但當點、線、面作為數學概念出現後，它們就已經脫離客觀事物的外形而存在了。現實生活中我們找不到沒有面積的點、沒有寬度的線、沒有厚度的面，就是因為它們已經成為了抽象的概念。而「數」的概念就更為抽象了。物體的顏色、溫度、硬度等等都可以利用感知器官去感知；而物體數量的多寡卻不能直接去感知，必須通過大腦的抽象加工才能夠實現。「為了計數，不僅要有可以計數的對象，而且還要有一種在考察對象時撇開對象的其它一切特徵而僅僅顧及到數目的能力」，這種能力，就是人類抽象思維的能力。

「量」的概念的產生是有著十分重大的意義的：這是數學對整個科學體系的貢獻。一門科學從定性描述進入了定量的分析和計算，是這門科學達到比較成熟階段的標志。而實現定量分析的前提條件就是應用數學中「量」的概念及其有關定理。

數學在其產生的過程中，就出現了抽象的概念。事實上，任何科學的產生都需要從自然界中抽象出一些概念，數學與其他自然科學不同的地方就在於數學概念的抽象深度和廣度要高於其他科學。最初的抽象僅僅限於數學概念的抽象，在數學發展的過程中，又出現了數學方法的抽象。

❿ 數學怎麼理解

數學理解的核心是對基本概念及其所反映的數學思想方法的理解
記金華市高中新課程數學概念教學研討會

進入高中新課程以來,如何在保持原有傳統教學的優點的基礎上,全面落實新課程理念,是目前擺在高中數學教學面前的難點問題,其焦點還是正確認識數學概念的地位，正確把握數學概念的教學。為讓教師了解國際、國內對該問題的研究動向，促進概念教學方式的完善，金華市教育局教研室於2008年10月29日—30日在金華二中召開金華市高中新課程數學概念教學研討會，全市300餘位一線高中數學教師參加了會議。

會議由金華二中周建鋒老師和陳巧芬老師提供了兩堂精彩的研討課（幾類不同增長的函數模型（第1課時）、方程的根與函數的零點）。課後各縣（市）教師代表就兩節課的教學理念、概念的把握、教師的教、學生的學等方面，開誠布公地進行了點評。

對教師代表的評課，參會的金華市教育學會中學數學分會學術委員會成員和與會教師共同參與評價，產生了《金華市高中數學首屆課堂教學評課評比》的獲獎者。張揚平（磐安中學）、王 芳（義烏中學）、孔小明（金華一中）獲一 等 獎；葉健明（蘭溪三中） 、樓方紅（東陽中學）、 俞少洪（武義一中）、鄭旭軍（浦江中學）、 黃志剛（永康明珠學校）獲二等 獎。

會議特請人民教育出版社數學室主任章建躍作主旨報告《聚焦核心概念、思想方法的數學課堂教學設計》，報告結合了大量教學案例和對應教材的解讀。報告精彩紛呈、引人入勝又發人深省。

章主任在報告中指出：

一、我們面臨的現實課改迅猛推進

亟待解決的問題多多：新課程提倡的理念難把握；新教材的改革設計難適應；教學方式、學習方式的變革難跟上；課程改革與考試評價制度的改革不配套；等。

二、教學層面的問題

課堂教學抓不住數學概念的核心，沒有前後一致、貫穿始終的數學思想主線，在學生沒有基本了解數學概念和思想方法時就進行大量解題操練，導致教學缺乏必要的根基，教學活動不得要領，在無關大局的細枝末節上耗費學生寶貴時間，數學課堂中效益、質量「雙低下」。學生花大量時間學數學，做無數的練習，但數學基礎仍很脆弱。

教學過程「不自然」，強加於人，對學生學習興趣與內部動機都有不利影響；缺乏問題意識，對學生的創新精神和實踐能力培養不利；重結果輕過程，「掐頭去尾燒中段」 ，缺乏知識的歸納、概括過程，學習過程不完整，導致思維參與度不足；重解題技能、技巧輕普適性思考方法的概括，方法論層次的內容滲透不夠，機械模仿多獨立思考少，思維層次不高；講邏輯而不講思想，關註明確知識多，強調學科的思想方法少，對學生整體素養的提高不利。

三、教師層面的問題分析

對數學課程、教材的體系結構、內容及其組織方式把握不準，特別是對中學數學核心概念和思想方法的體系結構缺乏必要的了解；

對中學數學概念的核心把握不準確，對概念所反映的思想方法的理解水平不高；

只能抽象籠統地描述數學教學目標，導致教學措施無的放矢，對是否已經達成教學目標心中無數；

對自己設計的教學方案不能取得預期效果，不能從設計層面給出令人信服的解釋，往往只把問題歸咎於教學系統的復雜性；

缺乏有效的發現、分析和解決教學問題的方法，往往感到教學問題的存在而不知其所在，或者發現了問題而找不到原因，甚至發現了問題及其根源也找不出解決問題的有效方法；

採取的教學方法、策略和模式都比較單一，機械地套用一些已有的解決教學問題方案，缺乏根據教學問題和教學條件創建解決教學問題的新方法。

四、努力的方向——專業化

數學學科的專業素養

有較好的數學功底（教好數學的前提是自己先學好數學），對數學內容所反映的思想、精神有深入的體會和理解；懂得哪些數學知識對學生的發展具有根本的重要性；具有揭示數學知識所蘊含的科學方法和理性思維過程的能力和「技術」；等。

教育學科的專業素養：

一個人的可持續發展，不僅要有扎實的雙基，而且要有積極的生活態度、主動發展的需求、終身學習的願望、熱情、能力和堅持性、健康向上的人生觀和價值觀。教師在這些方面對學生的影響力，就是教師的教育學科專業素養的最重要指標。

「兩個素養」的結合

善於抓住數學的核心概念和思想方法，懂得削枝強干；善於打開凝結在數學知識中的數學家的思維活動，並有好的載體（如教學情景、典型例子、變式訓練等）來展開這些數學思維活動；對數學知識中蘊含的價值觀資源特別敏感，有挖掘這些資源並用與學生身心發展相適應的方式表述的能力，使數學知識教學與價值觀影響有機整合。

五、從「理解數學」入手

提高概念理解水平：從表面到本質—把握概念的深層結構上的進步；從抽象到具體—對抽象概念的形象描述，解讀概念關鍵詞，更多的典型、精彩的例子；從孤立到系統—對概念之間的關系、聯系的認識，有層次性、立體化的認識；等。

提高解讀概念所反映的數學思想方法的能力

六、基於概念的核心、思想方法的教學設計框架

1．教學設計的基本線索

概念及其解析（概念的核心）；

目標和目標解析；

教學問題診斷（達成目標已有條件和需要的新條件的分析）；

教學過程設計；

目標檢測的設計。

2．概念和概念解析

概念：內涵和外延的准確表達；

概念解析：重點是在揭示內涵的基礎上說明概念的核心之所在；對概念在中學數學中的地位的分析，對內容所反映的思想方法的明確。在此基礎上確定教學重點。

3．目標和目標解析

目標：用「了解」「理解」「掌握」及相應的行為動詞「經歷」「體驗」「探究」等表述目標；

目標解析：對「了解」「理解」「掌握」以及「經歷」「體驗」「探究」的含義進行解析，一般的，核心概念的教學目標都應進行適當分解。

4．教學問題診斷分析

教師根據自己以往的教學經驗，數學內在的邏輯關系以及思維發展理論，對本內容在教與學中可能遇到的障礙進行預測，並對出現障礙的原因進行分析，其中包括對概念學習的認知分析。在上述分析的基礎上指出教學難點。

5．教學過程設計

強調教學過程的內在邏輯線索；

給出學生思考和操作的具體描述；突出核心概念的思維建構和技能操作過程，突出思想方法的領悟過程分析；

以「問題串」方式呈現為主，應當認真思考每一問題的設計意圖、師生活動預設，以及需要概括的概念要點、思想方法，需要進行的技能訓練，需要培養的能力，等；

根據內容特點設計教學過程，如基於問題解決的設計，講授式教學設計，自主探究式教學設計，合作交流式教學設計，等。

6．目標檢測設計

習題、練習方式的檢測。要明確每一個（組）習題或練習的設計目的，加強檢測的針對性、有效性。

注意防止一步到位，過早給綜合題、難題有害無益；基礎不夠的題目更是貽害無窮——題目出不好是老師專業素養低的表現之一。

章主任在報告的最後強調：

數學理解的核心是對基本概念及其所反映的數學思想方法的理解。

圍繞數學核心概念、思想方法進行教學；

在挖掘知識所蘊含的價值觀資源上狠下功夫；

抓基礎的含義是：第一，不斷回到概念去，從基本概念出發思考問題、解決問題；第二，加強概念的聯系性，從概念的聯系中尋找解決問題的新思路。

「題型」、與「題型」對應的技巧是雕蟲小技，無法窮盡。教學應追求解決問題的「根本大法」——基本概念所蘊含的思想方法。

會議還邀請特級教師朱恆元老師就如何進行概念教學介紹了自己的理解和做法，為會議畫上了圓滿的句號。

其實還是有點不懂你的問題！只能給你找了以上的資料，如果想探討數學學習方法也可以問我，我很樂意回答！