全國二卷數學答案文科
2011年高考題全國卷II數學試題·文科全解全析
科目： 數學 試卷名稱 2011年普通高等學校招生全國統一考試·全國卷II(文科)
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（1）設集合 , 則
（A） （B） （C） （D）
【思路點撥】解決本題的關鍵是掌握集合交並補的計算方法，易求 ,
進而求出其 補集為 .
【精講精析】選D. .
4
（2）函數 的反函數為
（A） （B）
（C） （D）
【思路點撥】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范圍，它是反函數的定義域。
【精講精析】選B.在函數 中， 且反解x得 ，所以 的反函數為 .
20
（3）設向量 滿足 ,則
（A） （B） （C） （D）
【思路點撥】本題要把充要條件的概念搞清，注意尋找的是通過選項能推出a>b，而由a>b推不出選項的選項.
【精講精析】選A.即尋找命題P使P 推不出P，逐項驗證可選A。
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（4）若變數x，y滿足約束條件 ，則 的最小值為
（A）17 （B）14 （C）5 （D）3
【思路點撥】解決本題的關鍵是作出如右圖所示的可行域。然後要把握住線性目標函數 的z的取值也其在y軸的截距是正相關關系，進而確定過直線x=1與x-3y=-2的交點時取得最小值。
【 精講精析】作出不等式組表示的可行域，從圖中不難觀察當直線 過直線x=1與x-3y=-2的交點（1，1）時取得最小值,所以最小值為5.
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（5）下面四個條件中，使 成立的充分而不必要的條件是
（A） （B ） （C） （D）
【思路點撥】本題要把充要條件的概念搞清，注意尋找的是通過選項能推出a>b，而由a>b推不出選項的選項.
【精講精析】選A.即尋找命題P使P 推不出P，逐項驗證可選A。
11
（6）設 為等差數列 的前 項和，若 ，公差 ， ，則
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【思路點撥】思路一：直接利用前n項和公式建立關於k的方程解之即可。思路二：
利用 直接利用通項公式即可求解，運算稍簡。
【精講精析】選D.
19
（7）設函數 ，將 的圖像向右平移 個單位長度後，所得的圖像與原圖像重合，則 的最小值等於
（A） （B） （C） （D）
【思路點撥】此題理解好三角函數周期的概念至關重要，將 的圖像向右平移 個單位長度後，所得的圖像與原圖像重合，說明了 是此函數周期的整數倍。
【精講精析】選C. 由題 ,解得 ，令 ，即得 .
40
(8) 已知直二面角 ，點A∈ ， ,C為垂足，點B∈β， ,D為垂足.若AB=2，AC=BD=1，則CD=
（A） 2 （B） （C） （D）1
【思路點撥】解決本題關鍵是找出此二面角的平面角，然後把要求的線段放在三角形中求解即可。
【精講精析】選C. 在平面內過C作 ，連接BM，則四邊形CMBD是平行四邊形，因為 ，所以 ，又 , 就是二面角
的平面角。 .
所以 代入後不難求出 。
45
(9)4位同學每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門 ，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有
(A) 12種 (B) 24種 (C) 30種 (D)36種
【思路點撥】解本題分兩步進行：第一步先選出2人選修課程甲，第二步再把剩餘兩人分別選乙、 丙.
【精講精析】選A.第一步選出2人選修課程甲有 種方法，第二步安排剩餘兩人從乙、丙中各選1門課程有 種選法，根據分步計數原理，有 種選法。
6
(10)設 是周期為2的奇函數，當0 ≤x≤1時， = ，則 =
(A) - (B) (C) (D)
【思路點撥】解本題的關鍵是把通過周期性和奇偶性把自變數 轉化到區間[0,1]上進行求值。
【精講精析】選A.
先利用周期性，再利用奇偶性得: .
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(11)設兩圓 、 都和兩坐標軸相切，且都過點（4，1），則兩圓心的距離 =
(A)4 (B) (C)8 (D)
【思路點撥】本題根據條件確定出圓心在直線y=x上並且在第一象限是解決這個問題的關鍵。
【精講精析】選D.由題意知圓心在直線y=x上並且在第一象限,設圓心坐標為(a,a)(a>0),則 ,求出a=1,a=9.所以C1(1,1),C2(9,9),所以由兩點間的距離公式可求出 .
42
(12)已知平面α截一球面 得圓M，過圓心M且與α成 二面角的平面β截該球面得圓N.若該球面的半徑為4，圓M的面積為4 ，則圓N的面積為
(A)7 (B)9 (C)11 (D)13
【思路點撥】做出如圖所示的圖示，問題即可解決。
【精講精析】選B.
作示意圖如，由圓M的面積為4 ，易得 ，
中， 。
故 .
45
(13)(1- )20的二項展開式中，x的系數與x9的系數之差為: .
【思路點撥】解本題一個掌握展開式的通項公式，另一個要注意 .
【精講精析】0. 由 得 的系數為 , x9的系數為 ,而 .
17
(14)已知a∈( ， )，tanα=2，則cosα= .
【思路點撥】本題考查到同角三角函數的基本關系式，再由正切值求餘弦值時，要注意角的范圍，進而確定值的符號。
【精講精析】 由a∈( ， )，tanα=2 得 .
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（15）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角的餘弦值為 .
【思路點撥】找出異面直線AE與BC所成的角是解本題的關鍵。只要在平面A1B1C1D1內過E作及B1C1的平行線即可。
【精講精析】 取A1B1的中點M連接EM，AM，AE，則 就是異面直線AE與BC所成的角。在 中， 。
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(15)已知F1、F2分別為雙曲線C: - =1的左、右焦點，點A∈C，點M的坐標為(2，0)，AM為∠F1AF2的平分線．則|A F2| = .
【思路點撥】本題用內角平分線定理 及雙曲線的定義即可求解。
【精講精析】6.
由角平分線定理得： ,故 .
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(17)(本 小題滿 分l0分)(注意：在試題卷上作答無效)
設等比數列 的前n項和為 ,已知 求 和 .
【思路點撥】解決本題的突破口是利用方程的思想建立關於a1和公比q的方程，求出a1和q，然後利用等比數列的通項公式及前n項和公式求解即可。
【精講精析】設 的公比為q,由題設得
解得 或 ，
當 時，
當 時， .
21
（18）(本小題滿 分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)
△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知 .
(Ⅰ)求B；
（Ⅱ）若 .
【思路點撥】第（I）問由正弦定理把正弦轉化為邊，然後再利用餘弦定理即可解決。
（II）在（I）問的基礎上知道兩角一邊可以直接利用正弦定理求解。
【精講精析】(I)由正弦定理得
由餘弦定理得 。
故 ，因此 。
（II）
故
.
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(19)(本小題滿 分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)
根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設各車主購買保險相互獨立.
(I)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1 種的概率；
（Ⅱ）求該地3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率.
【思路點撥】此題第（I）問所求概率可以看作「該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險」和「該地的1位車主購買甲種保險」兩個事件的和。由於這兩個事件互斥，故利用互斥事件概率計算公式求解。
(II)第（II）問，關鍵是求出「該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買」的概率，然後再藉助n次獨立重復試驗發生k次的概率計算公式求解即可.
【精講精析】記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險：
B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險。
C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；
D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買；
E表示事件：該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買。
（I）P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.
(II)D= ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,
P(E)= .
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(20）(本小題滿 分l2分)(注意：在試題卷上作答無 效)
如圖，四棱錐 中， ∥ , ，側面 為等邊三角形. .
(I) 證明：
(II) 求AB與平面SB C所成角的大小。
【思路點撥】第（I）問的證明的突破口是利用等邊三角形SAB這個條件，找出AB的中點E，連結SE，DE，就做出了解決這個問題的關鍵輔助線。
(II)本題直接找線面角不易找出，要找到與AB平行的其它線進行轉移求解。
【精講精析】證明：（I）取AB中點E，連結DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2。
連結SE，則
又SD=1，故
所以 為直角。
由 ，得
,所以 .
SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。
所以
（II）由 知，
作 ，垂足為F，則 ,
作 ，垂足為G，則FG=DC=1。
連結SG，則
又 ， ,故 ，
作 ，H為垂足，則 .
即F到平面SB C的距離為 。
由於ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距離d也為 。
設AB與平面SBC所成的角為 ，則 , .
解法二：
以C為坐標原點，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系C-xyz,設D（1，0，0），則A（2，2，0），B（0，2，0）。
又設S（x,y,z），則x>0,y>0,z>0.
(I)
由 得
故x=1.
由 得 ，
又由 得，
即 ，故 。
於是 ，
故 ，又
所以 .
（II）設平面SBC的法向量 ，
則
又
故
取 得 ，又
.
故AB與平面SBC所成的角為 .
53
（21）(本小題滿 分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)
已知函數
(Ⅰ)證明：曲線
（Ⅱ）若 求a的取值范圍。
【思路點撥】第(I)問直接利用導數的幾何意義，求出切線的斜率，然後易寫出直接方程。
(II)第（II）問是含參問題，關鍵是抓住方程 的判別式進行分類討論.
【精講精析】解：（I） .
由 得曲線 在x=0處的切線方程為
由此知曲線 在x=0處的切 線過點（2，2）。
（II）由 得
（i）當 時， 沒有極小值；
(ii)當 或 時，由 得
故 。由題設知 ，
當 時，不等式 無解；
當 時，解不等式 得
綜合(i)(ii)得 的取值范圍是 。
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（21）已知O為坐標原點，F為橢圓 在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為 的直線 與C交與A、B兩點，點P滿足
(Ⅰ)證明：點P在C上；
（Ⅱ）設點P關於點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上.
【思路點撥】方程聯立利用韋達定理是解決這類問題的基本思路，注意把 用坐標表示後求出P點的坐標，然後再結合直線方程把P點的縱坐標也用A、B兩點的橫坐標表示出來。從而求出點P的坐標代入橢圓方程驗證即可證明點P在C上。(II)此問題證明有兩種思路：思路一：關鍵是證明 互補.通過證明這兩個角的正切值互補即可，再求正切值時要注意利用倒角公式。
思路二：根據圓的幾何性質圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據兩條弦的垂直平分線的交點找出 圓心N，然後證明N到四個點A、B、P、Q的距離相等即可.
【精講精析】 (I)設
直線 ，與 聯立得
由 得
,
所以點P在C上。
（II）法一：
同理
所以 互補，
因此A、P、B、Q四點在同一圓上。
法二：由 和題設知， ,PQ的垂直平分線 的方程為 …①
設AB的中點為M，則 ，AB的垂直平分線 的方程為 …②
由①②得 、 的交點為
,
, ,
故 .
所以A、P、B、Q四點在同一圓圓N上.
B. 求問高考二卷數學文科答案
命題特點
2017年高考全國2卷數學試卷，試卷結構在保持穩定的前提下，進行了微調，一是取消試卷中的第Ⅰ卷與第II卷，把解答題分為必考題與選考題兩部分，二是根據中學教學實際把選考題中的三選一調整為二選一，幾何證明選講不再考查。試卷堅持對基礎知識、基本方法與基本技能的考查, 注重數學在生活中的應用。同時在保持穩定的基礎上，進行適度的改革和創新，試卷難度結構合理，有良好的區分度，與2016年相比難度穩中有降略
知識點分布保持穩定
2.注重對數學文化與數學應用的考查
2017年新修訂的《考試大綱（數學）》中增加了數學文化的考查要求。數學作為人類生活必不可少的重要組成部分，如何將數學運用於實踐，是公民必備的基本能力。2017高考數學全國2卷理科19題、文科18題以養殖水產為題材，貼近生活實際，所用數學知識（計數和概率）也不復雜，考查學生的閱讀理解能力與運用數學模型解決實際問題的能力，更貼近學生應用能力的真實水平。
3.注重基礎，體現核心素養
2017年高考數學試卷整體上保持一定比例的基礎題，如選擇題1-5題，起點低,入手易，這樣設置能迅速穩定學生情緒,使學生考出真實水平,又能引導學生重視對基礎知識與基本技的復習；試卷注重通性通法在解題中的運用，都是運用基本概念分析問題，基本公式運算求解、基本定理推理論證、基本數學思想方法分析和解決問題，另外抽象、推理和建模是數學的基本思想，也是數學研究的重要方法，試卷對此都有涉及，如文科第7題，理科第9題都考查了推理。
命題趨勢
總之，2017年新課標Ⅱ卷以知識為載體，在考查基礎的過程中，適度創新，同時對於歷年高考中學生掌握的知識薄弱環節進行了重點考查。在體現了新課標的理念及高等教育發展要求的同時，又兼顧了試卷的難度和區分度，合理地區分了不同思維層次的考生，體現了高考選拔性考試的特點，有利於科學地選拔人才，促進學生健康發展。