反演數學
⑴ 地球物理學中的反演計算
反演是地球物理中的重要領域。依據地球表面觀測到的各種地球物理場資料，通過計算去推斷地球內部的結構、物質組成和動力學過程。可以說地球物理學從誕生起便踏著反演的進步路徑在發展。
1.地球物理反演理論的發展
地球物理學中的反演問題最早主要是針對地球內部結構的探索。1907年赫格羅斯（Herglotz）首先由地球物理資料的定量分析提出了地震波走時數據的反演；1909年莫霍洛維奇（MohorovicicA.）發現地殼與地幔之間的一級不連續面；1912年古登堡（Guten-berg）發現古登堡面；1923年康拉德（Conrad）發現地殼中間界面；1935年萊曼（Leh-mann）發現地球內核和外核的分界面。這些人在地球物理學發展史上均寫下了不朽的篇章，對地球物理反演學術思想的形成和發展起到極大的推動作用。
20世紀50年代前後，隨著觀測技術的不斷提高，人們對地球內部的認識不斷深化，地球內部圈層有了基本模型。由於電子計算機的使用，使得已發展起來的試錯法和擬合法可以通過計算機來實現。到了60年代地球物理工作者已可以利用電子計算機對地球模型參數進行自動的修正反演，即發展為自動擬合法或最優化法。
1970年以前地球物理反演研究的主要特點：
（1）採用均勻各向同性地球模型；
（2）反演問題在數學上僅涉及微積分或古典積分方程；
（3）觀測數據與假定模型正演計算結果等同；
（4）對解的不唯一性未做深入分析，而是以觀測數據與用推測模型求得結果進行類比；
（5）在計算技術上僅涉及了初等數值分析，如數值微積分、最小二乘法解超定方程組等。
20世紀60年代由於各類運用於計算的新演算法不斷涌現，快速傅里葉（Fourier）變換和高速褶積的廣泛應用，基於二次曲面分割的地球模型已不能滿足新的要求，而迫使地球物理反演計算必須提高解析度。因此反演理論在70年代前後發展迅速，並做出了重要貢獻（Backusetal.，1967，1968，1970）。
巴庫斯和吉伯特（一位是地球物理學家，另一位是數學家）的地球物理反演理論（BG理論）是建立在模型為連續的情況下，故必導致方程組欠定，難於在快速電子計算機上實現。為此，維津斯（Wiggins，1972）和傑克遜（Jackson，1972）先後提出了與BG理論相應的廣義反演方法。後經帕克（Parker，1976）等人的整理與推廣，使BG理論在20世紀70年代後期得到廣泛應用。
基於勘探地球物理學的快速發展，20世紀80年代以來的偏微分方程反演進一步得到發展。20世紀90年代以來，非線性理論在自然科學各個領域均得到極大重視，當然這要比線性反演復雜得多。
我國在地球物理反演理論和方法研究方面起步較晚。BG理論於20世紀70年代引入我國，並在解決某些地球物理數據分析中得以應用。
2.地球物理反演中解的不唯一性原因分析
地球物理學可以根據地面或者高空的觀測資料（如來自深部的地震波、電磁場、熱流、重力場等）來推斷地下的結構、構造和物質屬性等情況，即地球物理學中的反演或反問題（InversionProblem）。在各種地球物理場（重、磁、電、熱）給出的數據中，雖然含有地下各種物性結構的信息，但在對數據進行計算與解釋（即反演）的過程中，即便是使用同樣的資料，所得的答案卻不盡相同。這是反演的多解性，或解的非唯一性。
造成反演多解的原因，有數學上的問題，如解法不穩定、觀測誤差等，但其根本的原因是不可能得到地球深部直接的觀測數據，而僅靠地面的觀測資料，其「信息」量是不夠的。地震波雖然可以穿透地球，帶來深部的三維信息，但地震圖震相識別仍有很大的不確定性。為此，不論是一維、二維還是三維或四維反演，減少多解性都需要對各種地質地球物理資料進行綜合分析，加強對地震圖記錄的震相識別，需要依據豐富的資料，即在多因素約束下提出科學而又合理的初始模型，並對反演進行約束。反演問題是地球物理學中理論與方法核心問題之一。
⑵ 遙感中的反演是什麼意思
按樓主的需求回答：一句話——遙感的本質是反演。
具體解釋：
遙感的本質是反演，而從反演的數學來源講，反演研究所針對的首先是數學模型。因此，遙感反演的基礎是描述遙感信號或遙感數據與地表應用之間的關系模型，也就是說，遙感模型是遙感反演研究的對象。要進行遙感反演研究，首先要解決的問題是對地表遙感像元信息的地學描述。
遙感像元尺度上的地學描述是十分有意義的課題，由於地球表面是一個復雜的系統，對地觀測得到的遙感像元從幾米到幾公里的空間解析度，人類對地表真實性的了解需要用多種參數來描述。一般來說，遙感模型描述像元的觀測量與地表實用參數之間的定量關系。這種描述模型的精度與參數量成正比。而精確的模型需要較多的參數。因此定量遙感面臨的首要問題是對地表的精確、實用的地學描述。對這里所說的地學描述應該有兩個方面的要求，第一是精確性，即對地學描述模型的精度要求，精確的模型具有科學性和定量性；第二是實用性，即地學描述模型參數的應用性，建立模型需要考慮遙感與應用的銜接，由於模型反演精度常受到數據源的限制，要注意發揮多種數據組合的優勢。
定量遙感反演理論
定量遙感發展的一個主要障礙是反演理論的研究不足。陸地遙感反演長期局限於採用處理數據量多於未知量的成熟演算法，最小二乘法是高斯以來從大量數據中反演少量未知參數的成熟方法。但陸地遙感反演的根本問題在於定量遙感往往需要用少量觀測數據估計非常復雜的地表系統的當前狀態，本質上是一個病態反演問題。因而必須在反演過程中盡可能地充分利用一切先驗知識，把新觀測的信息量有效地用於時空多變要素的估計上，使新觀測中的信息有效分配給這一復雜系統中的時空多變參數。
相關介紹：
國際上對地遙感反演的主流尚未認識到這一點，以 Verstraete 等 (1996) 提出的反演 IO 個公設小第 3 公設為代表，仍將最小二乘法對數據量的要求作為必要條件。但反演不可能創造信息，不妥善利用先驗知識就不可能很好地分配新觀測的信息到感興趣的時空多變參數中去。大氣遙感界對此有比較清醒的認識，因而他們對在大氣溫度和水汽垂直廓線等的反演上如何利用先驗知識有比陸地遙感界遠為深入的研究，也更注重知識的積累。陸地遙感界必須迎頭趕上。這一方面我國科學家有比國際陸地遙感界主流更為清醒的認識，如陳述彭、金亞秋等。我們在這方面已經作了系統性的努力，有可能在陸地遙感反演理論上形成中國特色的學派，領先世界水平。要充分利用先驗知識，我們也必須研究遙感與非遙感數據的融合，先驗知識的積累和在多維 GIS 中的表達。
定量遙感的又一個障礙是：我們能反演的不一定是用戶所需要的。也就是遙感模型與農學模型、生態學模型的鏈接問題。這是 1996 年北京國際多角度遙感討論會， 1997 年華盛頓多角度遙感討論會和 1998 年舊金山 BRDF 討論會的主要議題之一。但由於體制上的原因，國際上較難組織這樣多學科交叉互補的項目，所以盡管連續三年作為主題，進展並不明顯。國內在這方面已有一些較好的工作基礎，如北京市農林科學院建立的農業智能網路，已與遙感界進行了密切合作，做了富有成果的工作，等等。
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⑶ 反演變換的數學反演變換（inversion)
正冪反演的性質：
1、反演中心不存在反演點。不共線的兩對反演點共圓，且此圓與反演基圓正交。與反演基圓正交的圓，其反象為原圓。
2、反演變換φ把通過反演中心O的任一條直線變成自身。即通過反演中心的任何直線都是該反演變換下的不變圖形。（直線→直線）
3、反演變換φ把任一條不通過反演中心O的直線變成一個通過反演中心O的一個圓，而且這個圓周在點O的切線平行於該直線。（直線→圓）
4、反演變換φ把任一個通過反演中心O的圓周變成一個不通過反演中心O的一條直線，而且這條直線平行於該圓的過點O的切線。（圓→直線）
註：性質3和4互為逆命題。
5、反演變換φ把任一個不通過反演中心O的圓周變成不能過反演中心O的圓周。（圓→圓）
由於可以把直線看成圓周，上述性質2—5可經綜合為 反演變換把（廣義）圓周變成（廣義）圓周。這個定理常稱為反演變換的保圓性。
6、任何兩條直線在它們的交點A的夾角，等於它們的反演圖形在相應點A′的夾角，但方向相反。
7、兩個相交圓周在交點A的夾角等於它們的反演圖形在相應點A′的夾角，但方向相反。
8、一條直線和一個圓周在交點A的夾角等於它們的反演圖形在相應點A′的夾角，但方向相反。
上述性質6—8可經綜合為 兩相交（廣義）圓周在交點A的夾角，等於它們的反演象（廣義）圓周在相應點A′的夾角，但方向相反。定理二稱為反演變換的反向保角性。
因反演變換具有保圓性和反向保角性而成為證題和作圖中的重要工具。由定理一、二易得：
9、正交兩圓其反象仍正交。
10、相切兩圓的反象仍相切，若切點恰是反演中心，則其反象為兩平行線。
負冪變換可以轉化為一次正冪變換和一次關於反演極反射的積來代替。
⑷ 反演基本理論
高密度電法勘探反演是尋求一個接近於真實觀測值的模型響應，該模型是一個理想化後的地質剖面的數學表達式，並對應一套模型參數，反演的目的就是從觀測數據中估算物理參量，並通過給定模型參數的數學關系式來計算模型響應的合成數據。所有的反演方法本質上都是設法找到一個受某些因素約束的模型響應，且與觀測數據相一致。正演所用的方法較多，目前應用較廣泛、效果較好的方法是有限差分和有限元法。模型參數為模型單元的電阻率值，獲取視電阻率值後，通過有限差分法（Dey et al.，1979）或有限元法（Silvester etal.，1990）建立模型參數和2-D或3-D電阻率響應。
在所有優化方法中，重復修改初始模型的方式來減少模型響應與觀測數據之間的誤差，觀測數據可以用一個列向量y來表示:
高密度電法勘探方法與技術
式中:FR＝αxRmCx＋αyRmCy ＋αzRmCz；Rd和Rm為加權矩陣，其目的是避免在反演過程中，不合適數據和模型粗糙向量的不同元素賦予了相等的權重。
如果需要知道地下地質信息，式（2.125）提供了一種進一步修改的一般方法，例如，如果知道地下電阻率的變化可能限制在一個有限的區域，在該區域內，阻尼因子值允許作更大的修改（Ellis et al.，1994a）。
⑸ 邏輯代數中的反演規則和對偶規則
1、反演規則
若將邏輯函數f表達式中所有的「·」變成「+」，「+」變成「·」，「0」變成「1」，「1」變成「0」，原變數變成反變數，反變數變成原變數，並保持原函數中的運算順序不變 ，則所得到的新的函數為原函數f的反函數
(5)反演數學擴展閱讀：
邏輯代數有與、或、非三種基本邏輯運算。它是按一定的邏輯關系進行運算的代數，是用來分析和設計數字電路的數學工具。此外，邏輯變數的邏輯與運算叫做與項，與項的邏輯或運算構成了邏輯函數的與或式，也叫做積之和式。
與邏輯和乘法：乘法原理中自變數是因變數成立的必要條件，與邏輯的定義正好和乘法原理的描述一致，所以與邏輯和乘法對應。
⑹ 數學中什麼叫矩陣反演
應該是求矩陣的逆的過程
⑺ 數學中的仿射和反演變換
原理在有限維的情況，每個仿射變換可以由一個矩陣A和一個向量
雙仿射變換b給出，它可以寫作A和一個附加的列b。一個仿射變換對應於一個矩陣和一個向量的乘法，而仿射變換的復合對應於普通的矩陣乘法，只要加入一個額外的行到矩陣的底下，這一行全部是0除了最右邊是一個1，而列向量的底下要加上一個1.設在平面上給定了半徑為r的圓O，若A′為過定點O的直線OA上一點，且有向線段OA與OA′滿足OA·OA′=k^2(k為非零常數），則這種變換叫做關於⊙O（r）的反演變換，簡稱反演。稱A′為A關於⊙O（r）的反演點，同樣，A為A′關於⊙O（r）的反演點；圓心O稱為反演中心或反演極；圓半徑r稱為反演半徑；⊙O（r）稱為反演（基）圓。
⑻ 反演的數學上
反演(inversion)
反演在數學(某些幾何證明)上有很重要的作用.
把[1,+∞)放入(0,1],可以用取倒數的方法.這是一維上的反演.
二維上反演以一個特定的反演圓為基礎:圓心O為反演中心,圓半徑為常數k,把點P反演為點P'就是使得OP×OP'=k^2(即k為OP和OP'的幾何平均).
如點P在圓外可這樣作:過點P作圓的切線(兩條),兩個切點相連與OP連線交點就是點P'.
如點P在圓內就把這一過程反過來即可:連結OP,並且過點P作直線垂直於OP,直線與圓的交點處的切線的交點就是點P'.
如點P在圓上,反演後仍是它自身.按上述方法都可用尺規作圖完成.
⑼ 數學模型反演解法概述
數值模擬反問題常常轉化為優化問題，函數優化就是求一個函數的最優值以及達到該最優值的最優點，而最優化演算法本質上是一個最優值的搜索過程。經典的優化演算法如牛頓法、單純形法、共軛方向法、最速下降法和罰函數法等，一般對目標函數要求連續、可微甚至於高階可微、單峰等；需要對函數求一階、二階導數；受初值影響較大，演算法容易陷入局部最小值，對於多峰函數優化問題具有較大局限性。
20世紀80年代初期以來，地下水水流與溶質遷移模型和數值優化方法相結合越來越普遍，目前常用的主要有以下兩種方法。
3.4.7.1 數學規劃方法
主要包括線性規劃（LP），該方法廣泛應用於線性目標函數及流量約束的地下水管理問題，解線性規劃的軟體主要有AQMAN，MODMAN，MODOFC，MODFLIP；非線性規劃（NLP）；混合整數線性規劃（MILP）；混合整數非線性規劃（MINLP）。其中線性規劃法計算效率較高，但僅適用於承壓含水層，通常不能有效地處理溶質運移問題。非線性規劃與動態規劃的應用較廣泛，計算效率上有優勢，但需要計算目標函數對決策變數的導數即梯度，因此，該方法又被稱為梯度法，在目標函數很復雜，而且為非線性時，結果往往會陷於一個局部最優解而不能識別全局最優解。
3.4.7.2 全局優化方法
主要以啟發式搜索技術為根據的一類優化方法，包括模擬退火法、遺傳演算法、禁忌搜索法、人工神經網路法、外圍近似法等，這些方法有識別全局或接近全局范圍內最優解的能力。全局優化法能夠模仿一定的自然系統，通常計算量很大。本書主要介紹4種現階段應用廣泛發展較為迅速的優化演算法。
遺傳演算法（Genetic Algorithms，GA）是一類借鑒生物界自然選擇（Natural Selection）和自然遺傳機制的隨機搜索演算法（Random Searching Algorithms），求解問題一般包括編碼、計算適應度、選擇、交叉、變異、循環回到計算適應度，反復進行直到滿足終止條件。該演算法是處理一般非線性數學模型優化的一類新的優化方法，對模型是否線性、連續、可微等不作限制，也較少受優化變數數目和約束條件的束縛，其本質是一種高效、並行、全局搜索的方法，能在搜索過程中自動獲取和積累相關搜索空間的知識，並自適應地控制搜索過程以求得最優解。目前已廣泛用於函數優化、參數辨識、機器學習、神經網路訓練、結構設計和模糊邏輯系統等方面。常用的GA計算程序有MGO（Molar Groundwater Optimizer），模塊化地下水優化程序，該程序是地下水水質管理的通用優化模型。將水流和遷移模擬程序與遺傳演算法相結合，能適應非線性復雜目標函數，能夠處理水頭、梯度、水流以及濃度等約束條件。SOMOS程序，實現了包括遺傳演算法和人工神經網路的優化演算法，能處理經濟、環境以及地下水管理體積等問題，同時SOMOS可以將MODFLOW和MT3DMS作為模型的組成部分進行運算。但是目前遺傳演算法的應用還存在明顯的不足，主要表現為以下幾點：
1）GA的演算法設計和關鍵控制參數選擇對優化性能的影響明顯，直接影響演算法的搜索效率和優化性能，甚至導致「早熟」收斂；
2）參數識別研究中的編碼方案以二進制編碼為主，計算量和存儲量大。
人工神經網路（Artificial Neural Network，ANN）是由大量神經元通過極其豐富和完善的聯結而構成的自適應非線性動態系統，它使用大量簡單的相連的人工神經元來模仿生物神經網路的能力，從外界環境或其他神經元獲得資訊，同時加以簡單的運算，將結果輸出到外界或其他人工神經元。神經網路在輸入資訊的影響下進入一定狀態，由於神經元之間相互聯系以及神經元本身的動力學特性，這種外界刺激的興奮模式會自動地迅速演變成新的平衡狀態。人工神經網路是一種計算系統，包括軟體與硬體，它使用大量簡單相連的人工神經元來模仿生物神經網路的能力。人工神經網路是生物神經元的簡單模擬，它從外界環境或者其他神經元取得資訊，同時加以非常簡單的運算，輸出其結果到外界環境或者其他人工神經元。人工神經網路系統反映了人腦功能的許多基本特性，但它並不是人腦神經系統的真實寫照，而只是對其作某種簡化、抽象和模擬，這也是當前的現實情況。是目前對人腦神經及其智能機理的研究水平所能做到的，對人腦智能機理的簡化、抽象和模擬是人工神經網路研究的基本出發點。
支持向量機是基於統計學理論的VC維理論和結構風險最小化原理而提出的一種新的機器學習方法。與傳統的神經網路學習方法相比，支持向量機從結構風險最小化原則出發，求解的是一個二次規劃問題而得到全局最優解，有效地解決了模型選擇與過學習問題、非線性和維數災難以及局部極小等問題，在解決小樣本、非線性、高維模式識別問題中表現出許多特有的優勢。
模擬退火演算法是對固體退火過程的模擬。在金屬熱加工工藝中，將金屬材料加熱到某一高溫狀態後，讓其慢慢冷卻，隨著溫度的降低，物質的能量將逐漸趨近於一個較低的狀態，並最終達到某種平衡。模擬退火演算法是基於金屬退火的機理而建立的一種全局最優化方法，它能夠以隨機搜索技術從概率的意義上找出目標函數的全局最小點。模擬退火演算法的主要缺點是解的質量與求解時間之間存在矛盾，該演算法對於多應力期模型和大量水文地質參數的反演，收斂緩慢，得不到滿意的結果。