數學排列題目

1. 一道關於數學排列的題目

分以下情況：
1)
兩個人都在後排
A12
(2)
-
2A11(1)
//把所有的情況去掉兩個人相鄰的情況
2)
兩個人都在前排
i:
都在左邊的4個，
A4(2)
-
2A3(1)
ii：都在右邊的
4個，
A4(2)-
2A3(1)
iii:
左右各一個
：
2*A4(1)A4(1)
3)
一個前排，一個後排
2A8(1)A12(1)
然後把所有的情況求和

2. 數學排列題目解答

開場節目和壓軸節目已被指定,而三個歌曲聯唱必須排在一起,那麼應用捆綁法將專3個歌曲捆綁成一個整體屬
剩下5個節目,因為兩個相聲要分開,先不考慮排,就剩下三個節目
這三個節目和三個歌曲捆綁成的整體先進行排列,為P44(由於無法打出來,說明一下一個4在P的下面,還有個4在P的上面,這是
排列組合
的符號)
三個歌曲聯唱又可以進行排列為P33(一個3在P的下面,還有個3在上面)
另外兩個相聲要求分開,總共四個節目有5個空,將兩個相聲插入這5個空中,就滿足分開了,這樣排列為C52(一個5在C的下面,還有個2在C的上面)
最後安排的方法數為:P44*P33*C52=24*6*10=1440種

3. 誰能給我一些關於數學排列組合的題目，有用即可

例1、五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有 ( ） A．120種 B．96種 C．78種 D．72種
分析：由題意可先安排甲，並按其分類討論：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A44
=24種排
法；2）若甲在第二，三，四位上，則有3*3*3*2*1=54種排法，由分類計數原理，排法共有24+54=78種，選C。
解排列與組合並存的問題時，一般採用先選（組合）後排（排列）的方法解答。 二、特殊元素與特殊位置優待法
對於有附加條件的排列組合問題，一般採用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其它元素和位置。 例2、從6名志願者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志願者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（ ）
（A） 280種 （B）240種 （C）180種 （D）96種
分析：由於甲、乙兩名志願者都不能從事翻譯工作，所以翻譯工作就是「特殊」位置，因此翻譯工作
從剩下的四名志願者中任選一人有14C種不同的選法，再從其餘的5人中任選3人從事導游、導購、保潔三項不同的工作有35A種不同的選法，所以不同的選派方案共有1
4C35A=240種，選B。

三、插空法、捆綁法
對於某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。
例3、7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？
分析： 先將其餘四人排好有A44=24種排法，再在這些人之間及兩端的5個「空」中選三個位置讓甲

2
乙丙插入，則有
C3
5=10
種方法，這樣共有24*10=240種不同排法。
對於局部「小整體」的排列問題，可先將局部元素捆綁在一起看作一個元，與其餘元素一同排列，然後在進行局部排列。
例4、計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，並且水彩畫不放在兩端，那麼不同的陳列方式有（ ）
（A） 5544AA （B）554433AAA （C）554413AAA （D）
554422AAA 分析：先把三種不同的畫捆在一起，各看成整體，但水彩畫不放在兩端，則整體有2
2A種不同的排法，
然後對4幅油畫和5幅國畫內部進行全排，有5544AA種不同的排法，所以不同的陳列方式有5
54422AAA種，
選D。
一、選擇題
1.（2010廣東卷理）2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志願者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其餘三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有
A. 36種 B. 12種 C. 18種 D. 48種
【解析】分兩類：若小張或小趙入選，則有選法243
31212ACC；若小張、小趙都入選，則有選法122322AA，共有選法36種，選A.
2.（2010北京卷文）用數字1，2，3，4，5組成的無重復數字的四位偶數的個數為 （ ）
A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C
.w
【解析】本題主要考查排列組合知識以及分步計數原理知識. 屬於基礎知識、基本運算的考查.
2和4排在末位時，共有1
22A種排法，
其餘三位數從餘下的四個數中任取三個有3
443224A種排法，
於是由分步計數原理，符合題意的偶數共有22448（個）.故選C. 3．（2010北京卷理）用0到9這10個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為（ ） A．324 B．328 C．360 D．648 【答案】B
【解析】本題主要考查排列組合知識以及分類計數原理和分步計數原理知識. 屬於基礎知
識、基本運算的考查

4. （數學）關於組合與排列的題目

含有5個元素的子集：9*8*7*6*5/5! = 126
含有5個元素且0個偶數元素的子集：版一個，就權是{1,3,5,7,9}
含有5個元素且1個偶數元素的子集：有4種選擇偶數的方式，5*4*3*2/4! = 5種選擇四個奇數的方式，所以總共有4*5 = 20個。

所以含有5個且至少有兩個偶數元素的子集有 126 - 1 - 20 = 105個。

5. 數學 排列的題目

(1)百位有7種選擇，十位有6種選擇，個位有5種
7*6*5=210
（2)由三位偶數，可知個位必須是偶數（2，4,6）有3種選擇
百位有6種選擇，十位有5種選擇
6*5*3=90
（3）能被5整除的三位，可知個位必須是5
百位有6種選擇，十位有5種選擇
6*5*1=30
(4)百位數字是2的三位奇數,可知個位必須是奇數（1,3,5,7）有4種選擇
百位有1種選擇，十位有5種選擇
1*5*4=20
（5）百位數字是2的三位偶數，可知個位必須是偶數（4,6）有2種選擇
百位有1種選擇，十位有5種選擇
1*5*2=10

希望你能看懂，希望你能明白，望採納，贊同

6. 數學排列組合題目

7. 數學排列和組合練習題目

第一題，用1，3，5做末位，有3種方法，然後首位有4種選擇，答案3*4*4*3*2=288個；第二題，分兩類，即0做末位，結果是4*3=12個，若2或4作末位，有2*3*3=18個，所以答案是12+18=30個。

8. 數學排列組合的題目

這個是我之前做的，應該有用吧。
．有3名男生，4名女生，在下列不同的要求下，求不同的排法種數。
（1）全部排成一排；

（2）全部排成一排，其中甲只排在中間或兩頭；

（3）全部排成一排，甲、乙必須在兩頭；

（4）全部排成一排，甲不在最左邊，乙不在最右邊；

（5）全部排成一排，男女生各排在一起；

（6）全部排成一排，男生必須排在一起；

（7）全部排成一排，男女生各不相鄰；

（8）全部排成一排，男生不排在一起；

（9）全部排成一排，其中甲乙丙丁四位同學自左向右順序不變；

（10）全部排成一排，其中甲乙兩人中間必須有三個人。

(11)其中甲乙不能相鄰，丙丁也不能相鄰。
厄，題目太多了。。
1.A77.即（7*6*5*4*3*2*1，下同）

2.甲固定一個位置，相當於把六個人排列，同時甲的位置有三種情況。答案為 3*A66

3.甲乙必須在兩頭，共有兩種情況，然後其餘5個人排列。有2*A55種

4.全部排列。共有A77種情況。減去甲、乙不在最左邊的情況，在加上重疊的情況，答案為A77-2*A66+A55

5.男女各排在一起。則有兩種情況。然後，男生3人排列，女生4人排列，共有2*A33*A44

6.男生必須排在一起。則先把男生排列，有A33種情況。然後3男生看成一個，加到女生的排列。相當於5個人排列。有A55種情況，答案為A33*A55

7.男女生個不相鄰，則先把男生3人排列。有A33種情況，再把女生插到4個空位中，有A44種情況。答案為A33*A44

8.男生不排在一起，則先把女生排列。有A44種情況。然後，把3個男生插到5個空位中，有A35種情況。答案為A44*A35

9.甲乙丙丁四人位置固定，則相當於把其他3人插到5個空位當中。答案為 A35

10.先把甲乙位置情況確定，因為兩人中間必須有3人，則共有2*3種情況。然後，把其餘5個人排列。有A55種情況，所以答案為3*2*A55

11.全部排列共有A77種情況。減去（甲乙相鄰可能為 2*A66,丙丁同樣有2*A66。）再加上重疊的情況（即甲乙丙丁位置確定時的情況，為2*2*2*A33）.答案為 A77-4*A66+6*A33

9. 高2數學 排列題目

A6,2
6選2做排列，你都知道是排列了，還不敢做？因為兩個數一個做分子一個做分母，會有兩個，所以是有順序的，用排列。

10. 數學排列的經典例題

通項都告你了：
h(n)=c(2n,n)/(n+1)
Catalan數h(n)與h(n-1)之間的關系你寫不出來？？？
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) 是用生成函數解決的……

生成函數（也有叫做「母函數」的，但是我覺得母函數不太好聽）是說，構造這么一個多項式函數g(x)，使得x的n次方系數為f(n)。
生成函數最絕妙的是，某些生成函數可以化簡為一個很簡單的函數。也就是說，不一定每個生成函數都是用一長串多項式來表示的。比如，這個函數f(n)=1 （n當然是屬於自然數的），它的生成函數就應該是g(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...（每一項都是一，即使n=0時也有x^0系數為1，所以有常數項）。再仔細一看，這就是一個有無窮多項的等比數列求和嘛。如果-1<x<1，那麼g(x)就等於1/(1-x)了。在研究生成函數時，我們都假設級數收斂，因為生成函數的x沒有實際意義，我們可以任意取值。於是，我們就說，f(n)=1的生成函數是g(x)=1/(1-x)。

我們舉一個例子說明，一些具有實際意義的組合問題也可以用像這樣簡單的一個函數全部表示出來。
考慮這個問題：從二班選n個MM出來有多少種選法。學過簡單的排列與組合的同學都知道，答案就是C(4,n)。也就是說。從n=0開始，問題的答案分別是1,4,6,4,1,0,0,0,...（從4個MM中選出4個以上的人來方案數當然為0嘍）。那麼它的生成函數g(x)就應該是g(x)=1+4x+6x^2+4x^3+x^4。這不就是……二項式展開嗎？於是，g(x)=(1+x)^4。
你或許應該知道，(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k；但你或許不知道，即使k為負數和小數的時候，也有類似的結論：(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k+C(k,k+1)x^(k+1)+C(k,k+2)x^(k+2)+...（一直加到無窮；式子看著很別扭，自己寫到草稿紙上吧，畢竟這里輸入數學式子很麻煩）。其中，廣義的組合數C(k,i)就等於k(k-1)(k-2)(k-i+1)/i!，比如C(4,6)=4*3*2*1*0*(-1)/6!=0，再比如C(-1.4,2)=(-1.4)*(-2.4)/2!=1.68。後面這個就叫做牛頓二項式定理。當k為整數時，所有i>k時的C(k,i)中分子都要「越過」0這一項，因此後面C(k,k+1),C(k,k+2)之類的都為0了，與我們的經典二項式定理結論相同；不同的是，牛頓二項式定理中的指數k可以是任意實數。

我們再舉一個例子說明一些更復雜的生成函數。n=x1+x2+x3+...+xk有多少個非負整數解？這道題是學排列與組合的經典例題了。把每組解的每個數都加1，就變成n+k=x1+x2+x3+...+xk的正整數解的個數了。教材上或許會出現這么一個難聽的名字叫「隔板法」：把n+k個東西排成一排，在n+k-1個空格中插入k-1個「隔板」。答案我們總是知道的，就是C(n+k-1,k-1)。它就等於C(n+k-1,n)。它關於n的生成函數是g(x)=1/(1-x)^k。這個生成函數是怎麼來的呢？其實，它就是(1-x)的-k次方。把(1-x)^(-k)按照剛才的牛頓二項式展開，我們就得到了x^n的系數恰好是C(n+k-1,n)，因為C(-k,n)*(-x)^n=[(-1)^n*C(n+k-1,n)]*[(-1)^n*x^n]=C(n+k-1,n)x^n。這里看暈了不要緊，後文有另一種方法可以推導出一模一樣的公式。事實上，我們有一個純組合數學的更簡單的解釋方法。因為我們剛才的幾何級數1+x+x^2+x^3+x^4+...=1/(1-x)，那麼(1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k就等於1/(1-x)^k。仔細想想k個(1+x+x^2+x^3+x^4+...)相乘是什麼意思。(1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k的展開式中，n次項的系數就是我們的答案，因為它的這個系數是由原式完全展開後k個指數加起來恰好等於n的項合並起來得到的。

現在我們引用《組合數學》上暴經典的一個例題。很多書上都會有這類題。
我們要從蘋果、香蕉、橘子和梨中拿一些水果出來，要求蘋果只能拿偶數個，香蕉的個數要是5的倍數，橘子最多拿4個，梨要麼不拿，要麼只能拿一個。問按這樣的要求拿n個水果的方案數。
結合剛才的k個(1+x+x^2+x^3+x^4+...)相乘，我們也可以算出這個問題的生成函數。

引用內容
g(x)=(1+x^2+x^4+...)(1+x^5+x^10+..)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x)
=[1/(1-x^2)]*[1/(1-x^5)]*[(1-x^5)/(1-x)]*(1+x) （前兩個分別是公比為2和5的幾何級數，
第三個嘛，(1+x+x^2+x^3+x^4)*(1-x)不就是1-x^5了嗎）
=1/(1-x)^2 （約分，把一大半都約掉了）
=(1-x)^(-2)=C(1,0)+C(2,1)x+C(3,2)x^2+C(4,3)x^3... （參見剛才對1/(1-x)^k的展開）
=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....

於是，拿n個水果有n+1種方法。我們利用生成函數，完全使用代數手段得到了答案！
如果你對1/(1-x)^k的展開還不熟悉，我們這里再介紹一個更加簡單和精妙的手段來解釋1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....。
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...是前面說過的。我們對這個式子等號兩邊同時求導數。於是，1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....。一步就得到了我們所需要的東西！不斷地再求導數，我們同樣可以得到剛才用復雜的牛頓二項式定理得到的那個結論（自己試試吧）。生成函數還有很多其它的處理手段，比如等式兩邊同時乘以、除以常數（相當於等式右邊每一項乘以、除以常數），等式兩邊同時乘以、除以一個x（相當於等式右邊的系數「移一位」），以及求微分積分等。神奇的生成函數啊。
我們用兩種方法得到了這樣一個公式：1/(1-x)^n=1+C(n,1)x^1+C(n+1,2)x^2+C(n+2,3)x^3+...+C(n+k-1,k)x^k+...。這個公式非常有用，是把一個生成函數還原為數列的武器。而且還是核武器。

接下來我們要演示如何使用生成函數求出Fibonacci數列的通項公式。
Fibonacci數列是這樣一個遞推數列：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。現在我們需要求出它的生成函數g(x)。g(x)應該是一個這樣的函數：
g(x)=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+...
等式兩邊同時乘以x，我們得到：
x*g(x)=x^2+x^3+2x^4+3x^5+5x^6+8x^7+...
就像我們前面說過的一樣，這相當於等式右邊的所有系數向右移動了一位。
現在我們把前面的式子和後面的式子相加，我們得到：
g(x)+x*g(x)=x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+...
把這最後一個式子和第一個式子好好對比一下。如果第一個式子的系數往左邊移動一位，然後把多餘的「1」去掉，就變成了最後一個式子了。由於遞推函數的性質，我們神奇地得到了：g(x)+x*g(x)=g(x)/x-1。也就是說，g(x)*x^2+g(x)*x-g(x)=-x。把左邊的g(x)提出來，我們有：g(x)(x^2+x-1)=-x。於是，我們得到了g(x)=x/(1-x-x^2)。
現在的任務是要把x/(1-x-x^2)還原成通項公式。這不是我們剛才的1/(1-x)^n的形式，我們要把它變成這種形式。我們發現，1-x-x^2=[1-(1-√5)x/2]*[1-(1+√5)x/2] （(1-√5)/2和(1+√5)/2是怎麼算出來的？顯然它們應該是x^2-x-1=0的兩個根）。那麼x/(1-x-x^2)一定能表示成?/[1-(1-√5)x/2]+?/[1-(1+√5)x/2]的形式（再次抱歉，輸入數學公式很麻煩，將就看吧）。這是一定可以的，因為適當的?的取值可以讓兩個分式通分以後分子加起來恰好為一個x。?取值應該是多少呢？假設前面一個?是c1，後面那個是c2，那麼通分以後分子為c1*[1-(1+√5)x/2]+c2*[1-(1-√5)x/2]，它恰好等於x。我們得到這樣兩個式子：常數項c1+c2=0，以及一次項-c1*(1+√5)/2-c2*(1-√5)/2=1。這兩個式子足夠我們解出c1和c2的准確值。你就不用解了，我用的Mathematica 5.0。解出來c1=-1/√5，c2=1/√5。你不信的話你去解吧。現在，我們把x/(1-x-x^2)變成了-(1/√5)/[1-(1-√5)x/2] + (1/√5)/[1-(1+√5)x/2]。我們已經知道了1/[1-(1-√5)x/2]的背後是以(1-√5)/2為公比的等比數列，1/[1-(1+√5)x/2]所表示的數列公比為(1+√5)/2。那麼，各乘以一個常數，再相加，我們就得到了Fibonacci數列的通項公式：f(n)=-(1/√5)*[(1-√5)/2]^n + (1/√5)*[(1+√5)/2]^n。或許你會問，這么復雜的式子啊，還有根號，Fibonacci數列不都是整數嗎？神奇的是，這個充滿根號的式子對於任何一個自然數n得到的都是整數。熟悉用特徵方程解線性遞推方程的同學應該知道，以上過程實質上和找特徵根求解沒有區別。事實上，用上面所說的方法，我們可以求出任何一個線性齊次遞推方程的通項公式。什麼叫做線性齊次遞推呢？就是這樣的遞推方程：f(n)等於多少個f(n-1)加上多少個f(n-2)加上多少個f(n-3)等等。Fibonacci數列的遞推關系就是線性齊次遞推關系。

我們最後看一個例子。我們介紹硬幣兌換問題：我有1分、2分和5分面值的硬幣。請問湊出n分錢有多少種方法。想一下剛才的水果，我們不難得到這個問題的生成函數：g(x)=(1+x+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+...)(1+x^5+x^10+..)=1/[(1-x)(1-x^2)(1-x^5)]。現在，我們需要把它變成通項公式。我們的步驟同剛才的步驟完全相同。我們把(1-x)(1-x^2)(1-x^5)展開，得到1-x-x^2+x^3-x^5+x^6+x^7-x^8。我們求出-1+x+x^2-x^3+x^5-x^6-x^7+x^8=0的解，得到了以下8個解：-1,1,1,1,-(-1)^(1/5),(-1)^(2/5),-(-1)^(3/5),(-1)^(4/5)。這個不是我解出來的，我還是用的Mathematica 5.0。不是我不想解，而是我根本不會解這個8次方程。這也是為什麼信息學會涉及這些東西的原因：次數稍微一高，只好交給計算機解決了。於是，(1-x)(1-x^2)(1-x^5)=(1+x)(1-x)^3(1+(-1)^(1/5) x)()()() （省略不寫了）。注意那個(1-x)^3。由於等根的出現，我們不得不把(1-x)^3所包含的(1-x)和(1-x)^2因子寫進一會兒的分母里，不然會導致解不出合適的c來。你可以看到很多虛數。不過沒關系，這些虛數同樣參與運算，就像剛才的根式一樣不會影響到最後結果的有理性。然後，我們像剛才一樣求出常數滿足1/(1-x)(1-x^2)(1-x^5)=c1/()+c2/(1-x)+c3/(1-x)^2+c4/(1-x)^3...+c8/()。這個解太復雜了，我用Mathematica解了幾分鍾，列印出了起碼幾十KB的式子。雖然復雜，但我確實是得到了通項公式。你有興趣的話可以嘗試用Mathematica解決一下1/[(1-x)(1-x^3)] （只有1分和3分的硬幣）。解c的值時可以用SolveAlways[]函數。你可以親眼見到，一個四五行的充滿虛數的式子最後總是得到正確的整數答案。

生成函數還有很多東西，推導Catalan數列啊，指數生成函數啊，之類的。我有空再說吧，已經5000多個字了。

huyichen一直在問那道題。很顯然，那道題目和上面的兌換硬幣有些聯系。事實上，很多與它類似的題目都和生成函數有關。但那個題卻沒有什麼可以利用生成函數的地方（或許我沒想到吧）。或許每個max的值有什麼方法用生成函數解出來，但整個題目是不大可能用生成函數解決的。
近來有個帖子問一道「DP天牛」題目的。那個題目也是這樣，很多與它類似的題目都和DP有關，但那道題卻不大可能動規。我總覺得它可以歸約到裝箱問題（考慮體積關系，最少要幾個箱子才能把物品放完），而後者貌似屬於NPC。或許我錯了吧，現在沒事就在研究理論的東西，很久沒有想過OI題了，這方面的能力已經開始退化了。