自然數的歷史

1. 自然數都有哪些

自然數有無數個。

如果想要計算自然數是不可能的，因為它數不盡，但是數字是可以數盡的，數字只有十個即0,1,2,3,4，5,6,7,8，9，俗稱阿拉伯數字。由它們可以組合任合數。數有無限，但數字只有10個。用以計量事物的件數或表示事物次序的數 。 即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數 。

表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始(包括0)， 一個接一個，組成一個無窮的集體。

(1)自然數的歷史擴展閱讀：

整數包括自然數，所以自然數一定是整數，且一定是非負整數。

表示物體個數的數叫自然數，自然數一個接一個，組成一個無窮集體。自然數集有加法和乘法運算，兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數，也可以作減法或除法，但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中並不是總能成立的。

非負整數就是說:不是負數的整數。而整數又包括正整數,負整數和0。排除掉負整數(負整數屬於負數)就只剩正整數和0了。因而也就不包括負分數了。

小於0的分數即為負分數。

或是可以化成分數的負有限小數和負無限循環小數。

人類最早用來計數的工具是手指和腳趾，但它們只能表示20以內的數字。當數目很多時，大多數的原始人就用小石子和豆粒來記數。漸漸地人們不滿足粒為單位的記數，又發明了打繩結、刻畫記數的方法，在獸皮、獸骨、樹木、石頭上刻畫記數。

中國古代是用木、竹或骨頭製成的小棍來記數，稱為算籌。這些記數方法和記數符號慢慢轉變成了最早的數字元號（數碼）。如今，世界各國都使用阿拉伯數字為標准數字。

數字，是一種既陌生、又熟悉的名詞。它由0~9十個字母組成。數字不單單包括計數，還有豐富的哲學內涵。

1：可以看作是數字「1」，一根棍子，一個拐杖，一把豎立的槍，一支蠟燭，一維空間……

2：可以看作是數字「2」，一隻木馬，一個下跪著的人，一個陡坡，一個滑梯，一隻鵝……

3：可以看作是數字「3」，兩只手指，乳房，斗雞眼，樹杈，倒著的w……

4：可以看作是數字「4」，一個蹲著的人，小帆船，小紅旗，小刀……

5：可以看作是數字「5」，大肚子，小屁股，音符……

6：可以看作是數字「6」，小蝌蚪，一個頭和一隻手臂露在外面的人……

7：可以看作是數字「7」，拐杖，小桌子，板凳，三岔路口，「丁」形物，鐮刀……

8：可以看作是數字「8」，數學符號「∞」，花生米，套環，雪人……

9：可以看作是數字「9」，一個靠著坐的人，小嫩芽……

0：可以看作是數字「0」，胖乎乎的人，圓形「○」，鞋底，腳丫，二維空間，瘦子的臉，雞蛋……

數字在復數范圍內可以分實數和虛數,實數又可以劃分有理數和無理數或分為整數和小數,任何有理數都可以化成分數形式。

2. 自然數的發展史概括

--《近現代數學發展概論》張光遠重慶出版社1991.12版《現代化知識文庫--二十世紀數學史話》知識出版社1984.2上海注一：這是《二十世紀數學史話》的說法。winion整理，如要轉載，請註明轉載自國際數學界的最高獎?菲爾茲獎和國際數學家大會諾貝爾獎金中為什麼沒有設數學獎？對此人們一直有著各種猜測與議論。每年一度的諾貝爾物理、化學、生理學和醫學獎，表彰了這幾個學科中的重大成就，獎掖了科學精英，可謂舉世矚目。不設數學獎，對於這個重要的基礎學科，豈不是失去了一個在世界范圍內評價重大成就和傑出人才的機會？其實，數學領域中也有一種世界性的獎勵，這就是每四年頒發一次的菲爾茲獎。在各國數學家的眼裡，菲爾茲獎所帶來的榮譽可與諾貝爾獎金媲美。菲爾茲獎是由國際數學聯盟（簡稱IMU）主持評定的，並且只在每四年召開一次的國際數學家大會（簡稱ICM）上頒發。菲爾茲獎的權威性，部分地即來自於此。所以，這里先簡單介紹一下「聯盟」與「大會」。十九世紀以來，數學取得了巨大的進展。新思想、新概念、新方法、新結果層出不窮。面對琳琅滿目的新文獻，連第一流的數學家也深感有國際交流的必要。他們迫切希望直接溝通，以便盡快把握發展大勢。正是在這樣的情況下，第一次國際數學家大會在蘇黎世召開了。緊接著，一九00年又在巴黎召開了第二次會議，在兩個世紀的交接點上，德國數學家希爾伯特提出了承前啟後的二十三個數學問題，使得這次大會成為名副其實的迎接新世紀的會議。自一九00年以後，大會一般每四年召開一次。只是因為世界大戰的影響，在一九一六年和一九四0～一九五0年間中斷舉行。第二次世界大戰以後的第一次大會是一九五0年在美國舉行的。在這次會議前夕，國際數學聯盟成立了。這個聯盟聯絡了全世界幾乎所有的主要數學家，她的主要任務是促進數學事業的發展和國際交流，組織進行四年一次的國際數學家大會及其他專業性國際會議，頒發菲爾茲獎。自此以後，大會的召開比較正常。從一八九七年算起，總共舉行了十九次大會，其中有九次是在一九五0～一九八三年間舉行的。聯盟的日常事務由任期四年的執行委員會領導進行，近年來，這個委員會設主席一人，副主席二人，秘書長一人，一般委員五人，都是由在國際數壇上有影響的著名數學家擔任。每次大會的議程，由執委會提名一個九人咨詢委員會來編定。而菲爾茲獎的獲獎人，則由執委會提名一個八人評定委員會來遴選。評委會的主席也就是執委會的主席，可見對這個獎的重視。這個評委會首先由每人提名，集中提出近四十個值得認真考慮的候選人，然後進行充分的討論並廣泛聽取各國數學家的意見，最後在評定委員會內部投票決定本屆菲爾茲獎的得獎人。現在，國際數學家大會已是全世界數學家最重要的學術交流盛會了。一九五0年以來，每次參加者都在兩千人以上，最近兩次大會的參加者更在三千人以上。這么多的參加者再加上這四年來無數的新成果，用什麼方法才能很好地交流呢？近幾次大會採取了分三個層次講演的辦法。以一九七八年為例，在各專業小組中自行申請作十分鍾講演的約有七百人，然後由咨詢委員會確定在各專業組中作四十五分鍾邀請講演的名單約二百個，以及向全會作一小時綜述報告的人選十七位。被指定作一小時報告是一種殊榮，報告者是當今最活躍的一些數學家，其中有不少是過去或未來的菲爾茲獎獲得者。菲爾茲獎的宣布與授予，是開幕式的主要內容。當執委會主席（即評委會主席）宣布本屆得主名單之後，全場掌聲雷動。接著由東道國的重要人士（當地市長、所在國科學院院長、甚至國王、總統），或評委會主席授予一塊金質獎章，外加一干五百美元的獎金。最後由一些權威的數學家來介紹得獎人的傑出工作，並以此結束開幕式。菲爾茲獎是以已故的加拿大數學家約翰?查爾斯?菲爾茲命名的。一八六三年五月十四日，菲爾茲生子加拿大渥太華。他十一歲時父親逝世，十八歲時又失去了慈母，家境不算太好。菲爾茲十七歲時進入多倫多大學專攻數學。一八八七年，菲爾茲二十四歲，就在美國約翰．霍普金斯大學獲得了博士學位。又過了兩年，他在美國阿勒格尼大學當上了教授。當時，世界數學的中心是在歐洲。北美的數學家差不多都要到歐洲學習、工作一段時間。一八九二年，菲爾茲遠渡重洋，游學巴黎、柏林整整十年。在歐洲，他與福雪斯、弗勞伯紐斯等著名數學家有密切的交往。這一段經歷，大大地開闊了菲爾茲的眼界。作為一個數學家，菲爾茲的工作興趣集中在代數函數方面，成就不算突出，但作為一名數學事業的組織、管理者，菲爾茲卻是功績卓著的。菲爾茲很早就意識到研究生教育的重要，他是在加拿大推進研究生教育的第一人。現在人們都知道，一個國家的研究生培養情況如何，是衡量這個國家科學水平的一個可靠指數。而在當時，能有這樣的認識實屬難能可貴。菲爾茲對於數學的國際交流的重要性，對於促進北美州數學的發展，都有一些卓越的見解。為了使北美的數學迅速趕上歐洲，菲爾茲竭盡全力主持籌備了一九二四年的多倫多國際數學家大會（這是在歐洲之外召開的第一次大會）。這次大會使他精疲力盡，健康狀況再也沒有好轉，但這次會議對於北美的數學水平的成長產生了深遠的影響。一九二四年大會沒有邀請德國等第一次世界大戰的戰敗國的數學家。在此之前的一九二0年大會，因為是在法國的斯特拉斯堡（戰前屬德國）舉行，德國拒絕參加（一九二八年的波倫亞大會只是由於希爾伯特堅持，德國才參加了。）。這些事情很可能觸發了菲爾茲發起一項國際性獎金的念頭，因為菲爾茲強烈地主張數學發展應該是國際性的。當菲爾茲知道了一九二四年大會的經費有結余時，他就建議以此作為基金設立一項這樣的獎。菲爾茲奔走歐美謀求支持，並想在?九三二年蘇黎世大會親自提出正式建議，結果未及開幕他就逝世了。是多倫多大學數學系的悉涅，把這個建議和一大筆錢（其中包括一九二四年大會的結余和菲爾茲的遺產）提交蘇黎世大會，大會立即接受了這一建議。按照菲爾茲的意見，這項獎金應該就叫國際獎金，而不應該以任何國家機構或個人的名字來命名。但是國際數學家大會還是決定命名為菲爾茲獎。數學家們希望用這一方式來表示對菲爾茲的紀念和贊許，他不是以自已的研究工作，而是以遠見、組織才能和勤懇的工作促進了本世紀的數學事業。第一次菲爾茲獎頒發於一九三六年。不久，國際形勢急劇惡化。原定一九四0年在美國召開的大會已成泡影。第二次的菲爾茲獎是在戰後的第一次大會，即一九五0年大會上頒發的。以後，每次大會都順利地進行了這一議程。?般是每屆兩名獲獎者。但一九六六年、一九七0年、一九七八年得獎人是四名，據說是因為有一位不願透露姓名的捐款人，使獎金可以臨時增加到四份，一九八二年華沙會議因故而延期至一九八三年八月舉行，獲獎者為三名。總起來，獲得菲爾茲獎的數學家己有二十七名。在一九三六年、?九五0年、一九五四年這三次大會上，都是由一位數學家來介紹所有得獎人的工作的。一九三六年卡拉凱渥鐸利還講了一點獲獎者的生平。一九五0年評委會主席玻爾就只用清晰而非專門的語言簡述工作。一九五四年，由本世紀著名的數學家外爾介紹，他在結束語中盛贊兩位得獎者「所達到的高度是自己未曾夢想到的」，「自已從未見過這樣的明星在數學天空中燦爛地升起，」他說：「數學界為你們二位所做的工作感到驕傲。它表明數學這棵長滿節瘤的老樹仍然充滿著汁液和生機。你們是怎樣開始的，就怎樣繼續下去吧！」從一九五八年起，改成每位獲獎者分別由一位數學家介紹。介紹的內容比較地局限於工作，對於獲獎者個人的情況很少涉及。這個做法，一直延續到最近一次大會。菲爾茲獎只是一枚金質獎章，與諾貝爾獎金的十萬美元相比真是微不足道。為什麼在人們心目中，菲爾茲獎的地位竟然與諾貝爾獎金相當？原因看來很多。菲爾茲獎是由數學界的國際學術團體－－國際數學聯盟，從全世界的第一流數學家中遴選的。就權威性與國際性而言，任何其他的獎勵都無法與之相比。菲爾茲獎四年才發一次，每次至多四名，因而獲獎機會比諾貝爾獎要少得多。但是主要的原因應該是：迄今為止的獲獎者用他們的傑出工作，證明了菲爾茲獎不愧為最重要的國際數學獎。事情就是這樣：從表面上看，一項獎賞為獲獎人帶來了巨大榮譽；而事實上正相反，正是得獎工作的水準奠定了這項獎勵的學術地位的基礎。菲爾茲獎首先是一項工作獎（這一點與諾貝爾獎金相同），即授予的原因只能是「已經做出的成就」，而不能是服務優秀、活動積極等其他原因。但是菲爾茲獎只授予四十歲以下的數學家（起先是一種默契，後來就成為不成文的規定），因此也帶有一點鼓勵性。問題在於，如果放在整個數學家的范圍里，菲爾茲獎的得獎工作地位如何？我們只舉一個小小的例子。一九七八年，當代著名的老一輩數學家，布爾巴基學派創始人之一丟東涅發表了一篇題為《論純數學的當前趨勢》的論文，對於近二十年來純數學各分支的前沿作了全面概述。在文章中，他列舉了十三個目前處於主流的數學分支。其中十二個分支中的部分重要工作是由菲爾茲獎獲得者作出的。這再清楚不過地說明了菲爾茲獎獲獎成就的地位。人們不能不承認，數學對於現實生活的影晌正在與日俱增。許多學科都在悄悄地或先或後地經歷著一場數學化的進程。現在，已經沒有哪個領域能夠抵禦得住數學方法的滲透。數學本身也在一日千里地發展著。全世界成千上萬的數學工作者正在幾十個分支成百個專門方向上孜孜研究著。他們每年提出大約二十萬條新定理！重要論文數，如以《數學評論》的摘要為准，每八至十年翻一番。文獻數量的爆炸再加上方法概念的迅速更新，使得工作在不同方向上的數學家連交談也有點困難，更不用說非數學專業的人了。這樣就產生了一個尖銳的矛盾。一方面，公眾非常需要數學，他們渴望理解數學！另?方面，現代數學過於深刻、龐大、變得越來越不容易接近。因此，對於數學，特別是現代數學加以普及，使得數學和數學家的工作能對現實生活產生應有的積極影響，這已成為人們日益重視的課題。二十一世紀的曙光即將普照全球，要概述一下二十世紀的數學發展決非易事。就純粹數學而言，我們覺得有兩個主題可以起到提綱挈領的作用：一個是希爾伯特二十三問題的提出、解決現狀與發展，另一個就是菲爾茲獎的獲獎者及其工作。作為一種表彰純數學成就的獎勵，菲爾茲獎當然不能體現現代數學的全部內容。就這個獎本身而言也有種種缺點。但是，無論從哪一方面講，菲爾茲獎的獲得者都可以作為當代數學家的代表，他們的工作所屬的領域大體上覆蓋了純粹數學主流分支的前沿。這樣，菲爾茲獎就成了一個窺視現代數學面貌的很好的「窗口」。

3. 人類是怎樣發現和記載自然數的

數的誕生
數學——自然科學之父，起源於用來計數的自然數的偉大發明。
若干年以前，人類的祖先為了生存，往往幾十人在一起，過著群居的生活。他們白天共同勞動，搜捕野獸、飛禽或採集果薯食物；晚上住在洞穴里，共同享用勞動所得。在長期的共同勞動和生活中，他們之間逐漸到了有些什麼非說不可的地步，於是產生了語言。他們能用簡單的語言夾雜手勢，來表達感情和交流思想。隨著勞動內容的發展，他們的語言也不斷發展，終於超過了一切其他動物的語言。其中的主要標志之一，就是語言包含了算術的色彩
人類先是產生了「數」的朦朧概念。他們狩獵而歸，獵物或有或無，於是有了「有」與「無」兩個概念。連續幾天「無」獸可捕，就沒有肉吃了，「有」、「無」的概念便逐漸加深。
後來，群居發展為部落。部落由一些成員很少的家庭組成。所謂「有」，就分為「一」、「二」、「三」、「多」等四種（有的部落甚至連「三」也沒有）。任何大於「三」的數量，他們都理解為「多」或者「一堆」、「一群」。有些酋長雖是長者，卻說不出他捕獲過多少種野獸，看見過多少種樹，如果問巫醫，巫醫就會編造一些詞彙來回答「多少種」的問題，並煞有其事地吟誦出來。然而，不管怎樣，他們已經可以用雙手說清這樣的話（用一個指頭指鹿，三個指頭指箭）：「要換我一頭鹿．你得給我三枝箭。」這是他們當時沒有的算術知識。
大約在1萬年以前，冰河退卻了。一些從事游牧的石器時代的狩獵者在中東的山區內，開始了一種新的生活方式——農耕生活。他們碰到了怎樣的記錄日期、季節，怎樣計算收藏穀物數、種子數等問題。特別是在尼羅河谷、底格里斯河與幼發拉底河流域發展起更復雜的農業社會時，他們還碰到交納租稅的問題。這就要求數有名稱。而且計數必須更准確些，只有「一」、「二」、「三」、「多」，已遠遠不夠用了。
底格里斯河與幼發拉底河之間及兩河周圍，叫做美索不達米亞，那兒產生過一種文化，與埃及文化一樣，也是世界上最古老的文化之一。美索不達米亞人和埃及人雖然相距很遠，但卻以同樣的方式建立了最早的書寫自然數的系統——在樹木或者石頭上刻痕劃印來記錄流逝的日子。盡管數的形狀不同，但又有共同之處，他們都是用單劃表示「一」。
後來（特別是以村寨定居後），他們逐漸以符號代替刻痕，即用1個符號表示1件東西，2個符號表示2件東西，依此類推，這種記數方法延續了很久。大約在5000年以前，埃及的祭司已在一種用蘆葦製成的草紙上書寫數的符號，而美索不達米亞的祭司則是寫在松軟的泥板上。他們除了仍用單劃表示「－」以外，還用其它符號表示「＋」或者更大的自然數；他們重復地使用這些單劃和符號，以表示所需要的數字。
公元前1500年，南美洲秘魯印加族（印第安人的一部分）習慣於「結繩記數」——每收進一捆莊稼，就在繩子上打個結，用結的多少來記錄收成。「結」與痕有一樣的作用，也是用來表示自然數的。根據我國古書《易經》的記載，上古時期的中國人也是「結繩而治」，就是用在繩上打結的辦法來記事表數。後來又改為「書契」，即用刀在竹片或木頭上刻痕記數．用一劃代表「一」。直到今天，我們中國人還常用「正」字來記數．每一劃代表「一」。當然，這個「正」字還包含著「逢五進一」的意思。

人類是動物進化的產物，最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實踐中，由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。"結繩記事"也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國古書《易經》中有"結繩而治"的記載。傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的符號。
數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻大小相同。
古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鍾上還常常使用。
實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。它們按照下列規律組合起來，就能表示任何數：
1．重復次數：一個羅馬數字元號重復幾次，就表示這個數的幾倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。
2．右加左減：一個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字加小數字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字減去小數字的數目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。
3．上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數字的一千倍。如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。
我國古代也很重視記數符號，最古老的甲骨文和鍾鼎中都有記數的符號，不過難寫難認，後人沒有沿用。到春秋戰國時期，生產迅速發展，適應這一需要，我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法--籌算。籌算用的算籌是竹製的小棍，也有骨制的。按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數的符號了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字。
從算籌數碼中沒有"10"這個數可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴格遵循十位進制。9位以上的數就要進一位。同一個數字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計演算法在當時是很先進的。因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末。但籌算數碼中開始沒有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示為"┴ ╥ "。數字中沒有"零"，是很容易發生錯誤的。所以後來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與"零"的出現有關。不過多數人認為，"0"這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人。他們最早用黑點（·）表示零，後來逐漸變成了"0"。
說起"0"的出現，應該指出，我國古代文字中，"零"字出現很早。不過那時它不表示"空無所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零頭"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿拉數字的引進。"105"恰恰讀作"一百零五"，"零"字與"0"恰好對應，"零"也就具有了"0"的含義。
如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有"0"。其實在公元5世紀時，"0"已經傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用"0"。有一位羅馬學者在筆記中記載了關於使用"0"的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。
但"0"的出現，誰也阻擋不住。現在，"0"已經成為含義最豐富的數字元號。"0"可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫0℃，並不是說沒有氣溫；"0"是正負數之間唯一的中性數；任何數（0除外）的0次冪等於1；0！=1（零的階乘等於1）。
除了十進制以外，在數學萌芽的早期，還出現過五進制、二進制、三進制、七進制、八進制、十進制、十六進制、二十進制、六十進制等多種數字進製法。在長期實際生活的應用中，十進制最終佔了上風。
現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯數字。實際上它們是古代印度人最早使用的。後來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去，又把這一簡便易寫的十進制位值記數法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯數字。
數的概念、數碼的寫法和十進制的形成都是人類長期實踐活動的結果。
隨著生產、生活的需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？於是分數就產生了。中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零，通稱為算術數。自然數也稱為正整數。
隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和後退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產生了負數。正整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。有了這些數字表示法，人們計算起來感到方便多了。
但是，在數字的發展過程中，一件不愉快的事發生了。讓我們回到大經貿部2500年前的希臘，那裡有一個畢達哥拉斯學派，是一個研究數學、科學和哲學的團體。他們認為"數"是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會。因此世間一切事物都可歸結為數或數的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數是指整數。分數的出現，使"數"不那樣完整了。但分數都可以寫成兩個整數之比，所以他們的信仰沒有動搖。但是學派中一個叫希帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時，發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它。如果設這個數為X，既然，推導的結果即x2=2。他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為x ，根據勾股定理x2=12+12=2，可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個數，這個數肯定是存在的。可它是多少？又該怎樣表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最後認定這是一個從未見過的新數。這個新數的出現使畢達哥拉斯學派感到震驚，動搖了他們哲學思想的核心。為了保持支撐世界的數學大廈不要坍塌，他們規定對新數的發現要嚴守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個秘密泄露了出去。據說他後來被扔進大海餵了鯊魚。然而真理是藏不住的。人們後來又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率 就是最重要的一個。人們把它們寫成 π、等形式，稱它們為無理數。
有理數和無理數一起統稱為實數。在實數范圍內對各種數的研究使數學理論達到了相當高深和豐富的程度。這時人類的歷史已進入19世紀。許多人認為數學成就已經登峰造極，數字的形式也不會有什麼新的發現了。但在解方程的時候常常需要開平方如果被開方數負數，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。於是數學家們就規定用符號"i "表示"-1"的平方根，即i＝，虛數就這樣誕生了。"i "成了虛數的單位。後人將實數和虛數結合起來，寫成 a＋bi的形式（a、b均為實數），這就是復數。在很長一段時間里，人們在實際生活中找不到用虛數和復數表示的量，所以虛數總讓人感到虛無縹緲。隨著科學的發展，虛數現在在水力學、地圖學和航空學上已經有了廣泛的應用，在掌握和會使用虛數的科學家眼中，虛數一點也不"虛"了。
數的概念發展到虛和復數以後，在很長一段時間內，連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了，數學家族的成員已經都到齊了。可是1843年10月16日，英國數學家哈密爾頓又提出了"四元數"的概念。所謂四元數，就是一種形如的數。它是由一個標量 （實數）和一個向量（其中x 、y 、z 為實數）組成的。四元數的數論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。與此同時，人們還開展了對"多元數"理論的研究。多元數已超出了復數的范疇，人們稱其為超復數。
由於科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣、群、環、域等概念不斷產生，把數學研究推向新的高峰。這些概念也都應列入數字計算的范疇，但若歸入超復數中不太合適，所以，人們將復數和超復數稱為狹義數，把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數。盡管人們對數的歸類法還有某些分歧，但在承認數的概念還會不斷發展這一點上意見是一致的。到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。

4. 自然數e是何時發明的最初是用來做什麼

您好！以下內容詳見https://ke..com/item/自然常數/1298918?fr=aladdin&fromid=4734540&fromtitle=e
e是一個無限不循環小數，它的約值為 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274
e，作為數學常數，是自然對數函數的底數。有時稱它為歐拉數，以瑞士數學家歐拉命名；也有個較鮮見的名字納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾 引進對數。它就像圓周率π和虛數單位i，e是數學中最重要的常數之一。
e的歷史可以追溯到很久很久以前。第一次提到常數e，是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德製作。第一次把e看為常數的是雅各·伯努利。
已知的第一次用到常數e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用e來表示這常數；而e第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》。雖然以後也有研究者用字母c表示，但e較常用，終於成為標准。
用e表示的確實原因不明，但可能因為e是「指數」一字的首字母。另一看法則稱a，b，c和d有其他經常用途，而e是第一個可用字母。不過，歐拉選這個字母的原因，不太可能是因為這是他自己名字Euler的首字母，因為他是個很謙虛的人，總是恰當地肯定他人的工作。
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5. 發展史是什麼自然數的發展史又是什麼啊

發展史就是指一個事物的發展的全過程。
自然數的發展史：
自然數由數數而起。自然數最初的表示法是用一個符號代表每個物體，
古巴比倫數字
比如||||可以用來代表四個蘋果、或者四塊石頭、或者四頭牛。這種表示方法在古巴比倫（約公元前2000年 ）的記數法中有所體現。
其後記數系統的創立，使得人們能以更少的符號去表示大數。巴比倫人便是使用六十進制的，比如數字75，他們便會以「1，15」表示（當然是用他們的符號）。但如果觀察一下他們所使用的1至59的數，就會發現當中也有十進制的影子。古埃及人也建立了十進制的記數系統，包括個位、十位…直至一百萬。
之後進一步的發展是把0視為一個數的想法。由考古成果，我們已知約在公元前700年，巴比倫人就已經使用類近「0」的數字作為佔位符，但當0是最後一個數位時，他們會省去不記。
印度學者婆羅摩笈多於公元628年提出零的觀念，一般認為是首個接近現代意義上的0。[6] 印度數字後來經阿拉伯人傳至歐洲。歐洲人起初仍對零作為數字感到抗拒，認為零不是一個「自然」數。認為自然數不包含零的其中一個理由是因為人們在開始學習數字的時候是由「一、二、三...」開始，而不是由「零、一、二、三...」開始, 因為這樣是很不自然的。[7]
在中國古代也有0這個概念，但並沒有0這個阿拉伯數字的字樣，而是以空位表示。中國古代使用算籌進行計算，在算盤上，以空位表示0。公元1世紀的《九章算術》說：「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」（這段話的大意是「減法：遇到同符號數字應相減其數值，遇到異符號數字應相加其數值，零減正數的差是負數，零減負數的差是正數。」）以上文字里的「無入」通常被數學史家認為是零的概念。雖然如此，但是當時並沒有使用符號來表示零。

6. 自然數是人類歷史上最早出現的數,自然數在計數和測量

計數和測量，標號和排序

7. 「0」從什麼時候開始變成自然數了

你並不丟臉。這是一個有爭議的問題。中國傳統的教課書中，自然數不包括 0，自從美國有人把 0 包含中自然數中後，大家就沒了主見。

從歷史上看，國內外數學界對於0是不是自然數歷來有兩種觀點：一種認為0是自然數，另一種認為0不是自然數。建國以來，我國的中小學教材一直規定自然數不包括0。目前，國外的數學界大部分都規定0是自然數。為了方便於國際交流，1993年頒布的《中華人民共和國國家標准》（GB 3100-3102-93）《量和單位》（11-2.9）第311頁，規定自然數包括0。所以在近幾年進行的中小學數學教材修訂中，教材研究編寫人員根據上述國家標准進行了修改。即一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。
表示物體個數的數0、1、2、3、4、5、6、……叫自然數。

8. 自然數的起源簡介

自然數是在人類的生產和生活實踐中逐漸產生的。人類認識自然數的過程是相當長的。在遠古時代，人類在捕魚、狩獵和採集果實的勞動中產生了計數的需要。

起初人們用手指、繩結、刻痕、石子或木棒等實物來計數。例如：表示捕獲了3隻羊，就伸出3個手指；用5個小石子表示捕撈了5條魚；一些人外出捕獵，出去1天，家裡的人就在繩子上打1個結，用繩結的個數來表示外出的天數。

這樣經過較長時間，隨著生產和交換的不斷增多以及語言的發展，漸漸地把數從具體事物中抽象出來，先有數目1，以後逐次加1，得到2、3、4……，這樣逐漸產生和形成了自然數。

因此，可以把自然數定義為，在數物體的時候，用來表示物體個數的1、2、3、4、5、6……叫做自然數。自然數的單位是「1」，任何自然數都是由若干個「1」組成的。自然數有無限多個，1是最小的自然數，沒有最大的自然數。

自然數用以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數。表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮的集體。自然數有有序性，無限性。分為偶數和奇數，合數和質數等。

(8)自然數的歷史擴展閱讀：

自然數是一切等價有限集合共同特徵的標記。

註：整數包括自然數，所以自然數一定是整數，且一定是非負整數。

但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中並不總是成立的。用以計量事物的件數或表示事物次序的數 。 即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數 。表示物體個數的數叫自然數，自然數一個接一個，組成一個無窮集體。

自然數集有加法和乘法運算，兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數，也可以作減法或除法，但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中並不是總能成立的。

自然數是人們認識的所有數中最基本的一類，為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了自然數的兩種等價的理論：自然數的序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性質得到嚴格的論述。

（序數理論是義大利數學家G.皮亞諾提出來的。他總結了自然數的性質，用公理法給出自然數的如下定義）

自然數集N是指滿足以下條件的集合：

①N中有一個元素，記作1。

②N中每一個元素都能在 N 中找到一個元素作為它的後繼者。

③1是0的後繼者。

④0不是任何元素的後繼者。

⑤不同元素有不同的後繼者。

⑥（歸納公理）N的任一子集M，如果1∈M，並且只要x在M中就能推出x的後繼者也在M中，那麼M=N。

基數理論則把自然數定義為有限集的基數，這種理論提出，兩個可以在元素之間建立一一對應關系的有限集具有共同的數量特徵，這一特徵叫做基數 。這樣 ，所有單元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基數 ， 記作1 。

類似，凡能與兩個手指頭建立一一對應的集合，它們的基數相同，記作2，等等 。自然數的加法 、乘法運算可以在序數或基數理論中給出定義，並且兩種理論下的運算是一致的。

自然數在日常生活中起了很大的作用，人們廣泛使用自然數。自然數是人類歷史上最早出現的數，自然數在計數和測量中有著廣泛的應用。人們還常常用自然數來給事物標號或排序，如城市的公共汽車路線，門牌號碼，郵政編碼等。

自然數是整數（自然數包括正整數和零），但整數不全是自然數，例如：-1 -2 -3......是整數 而不是自然數。自然數是無限的。

全體非負整數組成的集合稱為非負整數集，即自然數集。

在數物體的時候，數出的1.2.3.4.5.6.7.8.9……叫自然數。自然數有數量、次序兩層含義，分為基數、序數。

基本單位：計數單位：個、十、百、千、萬、十萬......

總之，自然數就是指大於等於0的整數。當然，負數、小數、分數等就不算在其內了。

9. 自然數e的由來

自然對數
當x趨近於正無窮或負無窮時，[1+(1/x)]^x的極限就等於e，實際上e就是通過這個極限而發現的。它是個無限不循環小數。其值約等於2.718281828...

它用e表示

以e為底數的對數通常用於㏑

而且e還是一個超越數

e在科學技術中用得非常多，一般不使用以10為底數的對數。以e為底數，許多式子都能得到簡化，用它是最「自然」的，所以叫「自然對數」。

渦形或螺線型是自然事物極為普遍的存在形式，比如：一縷裊裊升上藍天的炊煙，一朵碧湖中輕輕盪開的漣漪，數只緩緩攀援在籬笆上的蝸牛和無數在恬靜的夜空攜擁著旋舞的繁星……

螺線特別是對數螺線的美學意義可以用指數的形式來表達：

φkρ=αe

其中，α和k為常數，φ是極角，ρ是極徑，e是自然對數的底。為了討論方便，我們把e或由e經過一定變換和復合的形式定義為「自然律」。因此，「自然律」的核心是e，其值為2.71828……，是一個無限循環數。

、「自然律」之美

「自然律」是e 及由e經過一定變換和復合的形式。e是「自然律」的精髓，在數學上它是函數：

(1+1/x)^x

當X趨近無窮時的極限。

人們在研究一些實際問題，如物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變時，都要研究

(1+1/x)^x

X的X次方，當X趨近無窮時的極限。正是這種從無限變化中獲得的有限，從兩個相反方向發展（當X趨向正無窮大的時，上式的極限等於e=2.71828……，當X趨向負無窮大時候，上式的結果也等於e=2.71828……）得來的共同形式，充分體現了宇宙的形成、發展及衰亡的最本質的東西。

現代宇宙學表明，宇宙起源於「大爆炸」，而且目前還在膨脹，這種描述與十九世紀後半葉的兩個偉大發現之一的熵定律，即熱力學第二定律相吻合。熵定律指出，物質的演化總是朝著消滅信息、瓦解秩序的方向，逐漸由復雜到簡單、由高級到低級不斷退化的過程。退化的極限就是無序的平衡，即熵最大的狀態，一種無為的死寂狀態。這過程看起來像什麼？只要我們看看天體照相中的旋渦星系的照片即不難理解。如果我們一定要找到亞里士多德所說的那種動力因，那麼，可以把宇宙看成是由各個預先上緊的發條組織，或者乾脆把整個宇宙看成是一個巨大的發條，歷史不過是這種發條不斷爭取自由而放出能量的過程。

生命體的進化卻與之有相反的特點，它與熱力學第二定律描述的熵趨於極大不同，它使生命物質能避免趨向與環境衰退。任何生命都是耗散結構系統，它之所以能免於趨近最大的熵的死亡狀態，就是因為生命體能通過吃、喝、呼吸等新陳代謝的過程從環境中不斷吸取負熵。新陳代謝中本質的東西，乃是使有機體成功的消除了當它自身活著的時候不得不產生的全部熵。

「自然律」一方面體現了自然系統朝著一片混亂方向不斷瓦解的崩潰過程（如元素的衰變），另一方面又顯示了生命系統只有通過一種有序化過程才能維持自身穩定和促進自身的發展（如細胞繁殖）的本質。正是具有這種把有序和無序、生機與死寂寓於同一形式的特點，「自然律」才在美學上有重要價值。

如果荒僻不毛、浩瀚無際的大漠是「自然律」無序死寂的熵增狀態，那麼廣闊無垠、生機盎然的草原是「自然律」有序而欣欣向榮的動態穩定結構。因此，大漠使人感到肅穆、蒼茫，令人沉思，讓人回想起生命歷程的種種困頓和坎坷；而草原則使人興奮、雀躍，讓人感到生命的歡樂和幸福。

e=2.71828……是「自然律」的一種量的表達。「自然律」的形象表達是螺線。螺線的數學表達式通常有下面五種：（1）對數螺線；（2）阿基米德螺線；（3）連鎖螺線；（4）雙曲螺線；（5）迴旋螺線。對數螺線在自然界中最為普遍存在，其它螺線也與對數螺線有一定的關系，不過目前我們仍未找到螺線的通式。對數螺線是1638年經笛卡爾引進的，後來瑞士數學家雅各·伯努利曾詳細研究過它，發現對數螺線的漸屈線和漸伸線仍是對數螺線，極點在對數螺線各點的切線仍是對數螺線，等等。伯努利對這些有趣的性質驚嘆不止，竟留下遺囑要將對數螺線畫在自己的墓碑上。

英國著名畫家和藝術理論家荷迦茲深深感到：旋渦形或螺線形逐漸縮小到它們的中心，都是美的形狀。事實上，我們也很容易在古今的藝術大師的作品中找到螺線。為什麼我們的感覺、我們的「精神的」眼睛經常能夠本能地和直觀地從這樣一種螺線的形式中得到滿足呢？這難道不意味著我們的精神，我們的「內在」世界同外在世界之間有一種比歷史更原始的同構對應關系嗎？

我們知道，作為生命現象的基礎物質蛋白質，在生命物體內參與著生命過程的整個工作，它的功能所以這樣復雜高效和奧秘無窮，是同其結構緊密相關的。化學家們發現蛋白質的多鈦鏈主要是螺旋狀的，決定遺傳的物質——核酸結構也是螺螺狀的。

古希臘人有一種稱為風鳴琴的樂器，當它的琴弦在風中振動時，能產生優美悅耳的音調。這種音調就是所謂的「渦流尾跡效應」。讓人深思的是，人類經過漫長歲月進化而成的聽覺器官的內耳結構也具渦旋狀。這是為便於欣賞古希臘人的風鳴琴嗎？還有我們的指紋、發旋等等，這種審美主體的生理結構與外在世界的同構對應，也就是「內在」與「外在」和諧的自然基礎。

有人說數學美是「一」的光輝，它具有盡可能多的變換群作用下的不變性，也即是擁有自然普通規律的表現，是「多」與「一」的統一，那麼「自然律」也同樣閃爍著「一」的光輝。誰能說清e=2.71828……給數學家帶來多少方便和成功？人們贊揚直線的剛勁、明朗和坦率，欣賞曲線的優美、變化與含蓄，殊不知任何直線和曲線都可以從螺線中取出足夠的部分來組成。有人說美是主體和客體的同一，是內在精神世界同外在物質世界的統一，那麼「自然律」也同樣有這種統一。人類的認識是按否定之否定規律發展的，社會、自然的歷史也遵循著這種辯證發展規律，是什麼給予這種形式以生動形象的表達呢？螺線！

有人說美在於事物的節奏，「自然律」也具有這種節奏；有人說美是動態的平衡、變化中的永恆，那麼「自然律」也同樣是動態的平衡、變化中的永恆；有人說美在於事物的力動結構，那麼「自然律」也同樣具有這種結構——如表的游絲、機械中的彈簧等等。

「自然律」是形式因與動力因的統一，是事物的形象顯現，也是具象和抽象的共同表達。有限的生命植根於無限的自然之中，生命的脈搏無不按照宇宙的旋律自覺地調整著運動和節奏……有機的和無機的，內在的和外在的，社會的和自然的，一切都合而為一。這就是「自然律」揭示的全部美學奧秘嗎？不！「自然律」永遠具有不能窮盡的美學內涵，因為它象徵著廣袤深邃的大自然。正因為如此，它才吸引並且值的人們進行不懈的探索，從而顯示人類不斷進化的本質力量。（原載《科學之春》雜志1984年第4期，原題為：《自然律——美學家和藝術家的瑰寶》）