初中數學聯賽試題

1. 初中數學競賽題

首先可以這樣考慮，a^5=b^4，可知a必為一個4次方的數，b為5次方的數專，
c³=d²，屬c為2次方的數，d為3次方的數，
設a=m^4，b=m^5，c=n²，d=n³，
a-c=17，即（m²+n）（m²-n）=17，
∵17是質數．m²+n，m²-n是自然數，m²+n＞m²-n，
∴m²+n=17，m²-n=1，
∴m=3，n=8，
觀察後可得：a=81，c=64，
∴d-b=n³-m^5=8³-3^5=512-243=269．

2. 求全國初中數學聯賽試題

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2001年全國初中數學聯賽第一試
一、選擇題（每小題7分，共42分）
1、a，b，c為有理數，且等式 a + b√2 + c√3 = √(5 + 2√6) 成立，則 2a + 999b + 1001c 的值是（ ）
（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）不能確定
2、若ab≠1，且有 5a2 + 2001a + 9 = 0及 9b2 + 2001b + 5 = 0，則 a/b 的值是（ ）
（A）9/5 （B）5/9 （C）-2001/5 （D）-2001/9
3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，則AC的長為（ ）
（A）2 + √3 （B）2 - √3 （C）3/10 （D）√3 - √2
4、在△ABC中，D是邊AC上的一點，下面四種情況中，△ABD∽△ACB不一定成立的情況是（ ）
（A）AD·BC = AB·BD （B）AB2 = AD·AC （C）∠ABD = ∠ACB （D）AB·BC = AC·BD
5、①在實數范圍內，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根為 x = -b/2a ± √(b2-4ac)/2a；②在△ABC中，若 AC2 + BC2 ＞ AB2，則△ABC是銳角三角形；③在△ABC和△A'B'C'中，a，b，c分別為△ABC的三邊，分別為的三邊，若a＞a'，b＞b'，c＞c'，則△ABC的面積S大於△A'B'C'的面積S'。以上三個命題中，假命題的個數是（ ）
（A）0（B）1（C）2（D）3
6、某商場對顧客實行優惠，規定：①如一次購物不超過200元，則不予折扣；②如一次購物超過200元但不超過500元的，按標價給予九折優惠；③如一次購物超過500元的，其中500元按第②條給予優惠，超過500元的部分則給予八折優惠。某人兩次去購物，分別付款168元和423元；如果他只去一次購物同樣的商品，則應付款是（ ）
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8
二、填空題（每小題7分，共28分）
1、已知點P在直角坐標系中的坐標為（0，1），O為坐標原點，∠QPO=1500，且P到Q的距離為2，則Q的坐標為______。
2、已知半徑分別為1和2的兩個圓外切於點P，則點P到兩圓外公切線的距離為 ______ 。
3、已知x,y是正整數，並且xy+x+y=23 則x2+y2= ______ 。（非原題）
4、一個正整數，若分別加上100和168，則可得到兩個完全平方數，這個正整數為 _______ 。

2008年全國初中數學聯賽
2008年4月13日上午8：30—9：30
一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）
1、設a 2 + 1 = 3 a，b 2 + 1 = 3 b，且a ≠ b，則代數式 + 的值為（ ）
（A）5 （B）7 （C）9 （D）11
2、如圖，設AD，BE，CF為△ABC的三條高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，則線段BE的長為（ ）
（A） （B）4 （C） （D）
3、從分別寫有數字1，2，3，4，5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數字作為十位數字，第二張卡片上的數字作為個位數字，組成一個兩位數，則所組成的數是3的倍數的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、在△ABC中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM和CN分別是這兩個角的外角平分線，且點M，N分別在直線AC和直線AB上，則（ ）
（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小關系不確定
5、現有價格相同的5種不同商品，從今天開始每天分別降價10％或20％，若干天後，這5種商品的價格互不相同，設最高價格和最低價格的比值為r，則r的最小值為（ ）
（A）( ) 3 （B）( ) 4 （C）( ) 5 （D）
6、已知實數x，y滿足( x – ) ( y – ) = 2008，
則3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值為（ ）
（A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1
二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）
1、設a = ，則 = 。
2、如圖，正方形ABCD的邊長為1，M，N為BD所在直線上的兩點，且AM = ，∠MAN = 135°，則四邊形AMCN的面積為 。
3、已知二次函數y = x 2 + a x + b的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標分別為m，n，且| m | + | n | ≤ 1。設滿足上述要求的b的最大值和最小值分別為p，q，則| p | + | q | = 。
4、依次將正整數1，2，3，…的平方數排成一串：149162536496481100121144…，排在第1個位置的數字是1，排在第5個位置的數字是6，排在第10個位置的數字是4，排在第2008個位置的數字是 。
答案： B、D、C、B、B、D；– 2、 、 、1。

2003年全國初中數學聯賽
一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）
1. 2√(3-2√2) + √(17-12√2) 等於
A.5-4√2 B.4√2-1 C.5 D.1
2.在凸10邊形的所有內角中，銳角的個數最多是
A.0 B.1 C.3 D.5
3.若函數 y = kx (k＞0) 與函數 y = 1/x 的圖象相交於A，C兩點，AB垂直x軸於B，則△ABC的面積為
A.1 B.2 C.k D.k2
4.滿足等式 x√y + y√x - √(2003x) - √(2003y) + √(2003xy) = 2003 的正整數對的個數是
A.1 B.2 C.3 D.4
5.設△ABC的面積為1，D是邊AB上一點，且 AD/AB = 1/3．若在邊AC上取一點E，使四邊形DECB的面積為 3/4，則 CE/EA 的值為
A. 1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5
6.如圖，在平行四邊形ABCD中，過A，B，C三點的圓交AD於E，且與CD相切．若AB=4，BE=5，則DE的長為
A.3 B.4 C.15/4 D.16/5
二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）
1.拋物線 y = ax2 +bx +c 與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C．若△ABC是直角三角形，則ac=__________．
2.設 m 是整數，且方程 3x2 + mx - 2 = 0 的兩根都大於 -9/5 而小於 3/7，則 m = ____________．
3.如圖 AA'，BB'，分別是∠EAB，∠DBC的平分線．若 AA' = BB' = AB，則∠BAC的度數為_____________．
4.已知正整數a，b之差為120，它們的最小公倍數是其最大公約數的105倍，那麼a，b中較大的數是_________．
2007年全國初中數學聯賽
第一試
一、選擇題(每小題7分，共42分)
1．已知 滿足 則 的值為( )．
(A)1 (B) (C) (D)
2．當 分別取值 2，…，2006，2007時，計算代數式 的值，將所得的結果相加，其和等於( )．
(A)-1 (B)l (C)0 (D)2007
3．設 是 的三邊長，二次函數 在 時取最小值 ．則△ABC是( )．
(A)等腰三角形 (B)銳角三角形
(C)鈍角三角形 (D)直角三角形
4．已知銳角△ABC的頂點A到垂心H的距離等於它的外接圓的半徑．則∠A的度數是( )．
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
5．設K是△ABC內任意一點，△KAB、△KBC、△KCA的重心分別為D、E、F．則S△DEF：S△ABC的值為( )．
(A) (B) (C) (D)
6．袋中裝有5個紅球、6個黑球、7個白球．現從袋中摸出15個球，摸出的球中恰好有3個紅球的概率是( )．
(A) (B) (C) (D)

二、填空題(每小題7分，共28分)
1．設 ， 是 的小數部分， 是 的小數部分．則 .
2．對於一切不小於2的自然數 ，關於 的一元二次方程 的兩個根記作 ．則
= .
3．已知直角梯形ABCD的四條邊長分別為AB=2，BC=CD=10，AD=6，過B、D兩點作圓，與BA的延長線交於點E，與CB的延長線交於點F．則BE-BF的值為 。
4．若 和 均為四位數，且均為完全平方數，則整數 的值為 。
第二試
A卷
一、(20分)設 為正整數，且 如果對一切實數 ，二次函數
的圖像與 軸的兩個交點間的距離不小於 ，求 的值．

二、(25分)如圖l，四邊形ABCD是梯形，點E是上底邊AD上一點，CE的延長線與BA的延長線交於點F．過點E作BA的平行線交CD的延長線於點M，BM與AD交於點N．證明：∠AFN=∠DME．

三、(25分)已知 是正整數．如果關於 的方程 的根都是整數，求 的值及方程的整數根．
B卷
一、(20分)設 為正整數，且 二次函數 的圖像與 軸的兩個交點間的距離為 ，二次函數 的圖像與 軸的兩個交點間的距離為 ．如果 對一切實數 恆成立，求 的值。
二、(25分)同A卷第二題．
三、(25分)設 是正整數，二次函數 反比例函數 ．如果兩個函數的圖像的交點都是整點(橫、縱坐標都是整數的點)，求 的值．
C卷
一、(20分)同B卷第一題．
二、(25分)同A卷第二題．
三、(25分)設 是正整數．如果二次函數 和反比例函數 的圖像有公共整點(橫、縱坐標都是整數的點)，求 的值和對應的公共整點．
2006年全國初中數學聯賽
第一試
一、選擇題(每小題7分，共42分)
1．已知四邊形ABCD為任意凸四邊形，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點用S、p分別表示四邊形ABCD的面積和周長；S1、p1，分別表示四邊形EFGH的面積和周長．設 ．則下面關於 的說法中，正確的是( )．
(A) 均為常值 (B) 為常值， 不為常值
(C) 不為常值， 為常值 (D) 均不為常值
2．已知 為實數，且 是關於 的方程 的兩根．則 的值為( )．
(A) (B) (C) (D)1
3．關於 的方程 僅有兩個不同的實根．則實數 的取值范圍是( )．
(A)a＞0 (B)a≥4 (C)2＜a＜4 (D)0＜a＜4
4．設 則實數 的大小關系是( )．
(A) (B) (C) (D)
5． 為有理數，且滿足等式 ,則 的值為( )．
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
6．將滿足條件「至少出現一個數字0且是4的倍數的正整數」從小到大排成一列數：20，40，60，80，100，104，…．則這列數中的第158個數為( )．
(A)2000 (B)2004 (C)2008 (D)2012
二、填空題(每小題7分，共28分)
1．函數 的圖像與 軸交點的橫坐標之和等於 ．
2．在等腰 中，AC=BC=1，M是BC的中點，CE⊥AM於點E，交AB於點F，則S△MBF= 。
3．使 取最小值的實數 的值為 ．
4．在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點坐標分別為O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC內部(邊界及頂點除外)一格點P滿足 。
就稱格點P為「好點」．則正方形OABC內部好點的個數為 ．
註：所謂格點，是指在平面直角坐標系中橫、縱坐標均為整數的點．
第二試
A卷
一、(20分)已知關於 的一元二次方程 無相異兩實根．則滿足條件的有序正整數組 有多少組?
二、(25分)如圖l，D為等腰△ABC底邊BC的中點，E、F分別為AC及其延長線上的點．已知∠EDF=90°．ED=DF=1，AD=5．求線段BC的長．

三、(25分)如圖2，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分別與BC、DC的延長線交於點E、F，點O、O1分別為△CEF、△ABE的外心．求證：
(1)O、E、O1三點共線；
(2)
B卷
一、(20分)同A卷第一題．
二、(25分)同A卷第二題．
三、(25分)如圖2，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分別與BC、DC的延長線交於點E、F，點O、O1分別為△CEF、△ABE的外心．
(1)求證：O、E、01三點共線；
(2)若 求 的度數．
C卷
一、(20分)同A卷第二題．
二、(25分)同B卷第三題．
三、(25分)設 為正整數，且 ．在平面直角坐標系中，點 和點 的連線段通過 個格點 ．證明：
(1)若 為質數，則在原點O(0，0)與點 的連線段 上除端點外無其他格點；
(2)若在原點O(0，0)與點 的連線段 上除端點外無其他格點，則p為質數．

3. 全國初中數學聯賽的競賽題型

全國初中數學聯賽每年4月舉行，分為一試和二試。成績公布的時間各省市不盡相同，北京市公布時間大約在五月底至六月。
第一試著重基礎知識和基本技能，題型為選擇題6題、填空題4題，共70分。第二試著重分析問題和解決問題的能力，題型為三道解答題，內容分為代數題、幾何題、幾何代數綜合題或雜題，共70分，兩試合計共140分。

4. 全國初中數學聯賽 題目及答案

． 已知方程 x2 - 6x - 4n2 - 32n = 0 的根都是整數，求整數n的值。

二． 梯形ABCD中，AD‖BC, 以兩腰AB,CD為一邊分別向兩邊作正方形ABGE和DCHF。
（A卷）設線段AD的垂直平分線l交線段EF於點M，EP⊥l於P，FQ⊥l於Q。求證：EP=FQ
（B卷）設線段AD的垂直平分線l交線段EF於點M。求證：M為EF的中點。
（C卷）連接EF，設線段EF的中點為M。求證：MA=MD。

三． 已知點A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)為拋物線y＝x2上位於三角形ABC內（包括邊界）的一動點，BP所在的直線交AC於E， CP所在的直線交AB於F。將BF/CE表示為自變數t的函數。

1.拋物線 y = ax2 +bx +c 與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C．若△ABC是直角三角形，則ac=__________．
2.設 m 是整數，且方程 3x2 + mx - 2 = 0 的兩根都大於 -9/5 而小於 3/7，則 m = ____________．
3.如圖 AA'，BB'，分別是∠EAB，∠DBC的平分線．若 AA' = BB' = AB，則∠BAC的度數為_____________．
4.已知正整數a，b之差為120，它們的最小公倍數是其最大公約數的105倍，那麼a，b中較大的數是_________．

5. 初中數學競賽試題

1、共180個
三位數共有900個，從100到999，將這900個數從小到大排列，每十個為一組，分成90組，對於任意一組，設第一個數的三位數字之和為a，則後面的一次是a＋1，a＋2，......a＋9，這是10個連續的自然數，而10個連續的自然數中有且只有2個能被5整除，所以這10個數中必有且只有2個滿足條件，所以滿足條件的數共有2×90＝180個。
例如：310,311,312，......319,這組10個數的數字之和分別是4,5,6，......13，當中能被5整除的只有5和10兩個，即311和316.
2、先看看以下規律
11²=121，它的各位數字之和是1＋2＋1=4
111²=12321，它的各位數字之和是1＋2＋3＋2＋1=9
1111²=1234321，它的各位數字之和是1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16
所以11....11(1989個1）的平方的各位數字之和是1＋2＋3＋4＋......＋1989＋1988＋......＋3＋2＋1=【（1＋1988）×1988÷2】×2＋1989=1989×1988＋1989＝1989×1989=1989²

6. 全國初中數學聯賽試題

2001年全國初中數學聯賽第一試
一、選擇題（每小題分，共42分）
1、a，b，c為有理數，且等式 a + b√2 + c√3 = √(5 + 2√6) 成立，則 2a + 999b + 1001c 的值是（ ）
（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）不能確定
2、若ab≠1，且有 5a2 + 2001a + 9 = 0及 9b2 + 2001b + 5 = 0，則 a/b 的值是（ ）
（A）9/5 （B）5/9 （C）-2001/5 （D）-2001/9
3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，則AC的長為（ ）
（A）2 + √3 （B）2 - √3 （C）3/10 （D）√3 - √2
4、在△ABC中，D是邊AC上的一點，下面四種情況中，△ABD∽△ACB不一定成立的情況是（ ）
（A）AD·BC = AB·BD （B）AB2 = AD·AC （C）∠ABD = ∠ACB （D）AB·BC = AC·BD
5、①在實數范圍內，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根為 x = -b/2a ± √(b2-4ac)/2a；②在△ABC中，若 AC2 + BC2 ＞ AB2，則△ABC是銳角三角形；③在△ABC和△A'B'C'中，a，b，c分別為△ABC的三邊，分別為的三邊，若a＞a'，b＞b'，c＞c'，則△ABC的面積S大於△A'B'C'的面積S'。以上三個命題中，假命題的個數是（ ）
（A）0（B）1（C）2（D）3
6、某商場對顧客實行優惠，規定：①如一次購物不超過200元，則不予折扣；②如一次購物超過200元但不超過500元的，按標價給予九折優惠；③如一次購物超過500元的，其中500元按第②條給予優惠，超過500元的部分則給予八折優惠。某人兩次去購物，分別付款168元和423元；如果他只去一次購物同樣的商品，則應付款是（ ）
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8
二、填空題（每小題7分，共28分）
1、已知點P在直角坐標系中的坐標為（0，1），O為坐標原點，∠QPO=1500，且P到Q的距離為2，則Q的坐標為______。
2、已知半徑分別為1和2的兩個圓外切於點P，則點P到兩圓外公切線的距離為 ______ 。
3、已知x,y是正整數，並且xy+x+y=23 則x2+y2= ______ 。（非原題）
4、一個正整數，若分別加上100和168，則可得到兩個完全平方數，這個正整數為 _______ 。

2008年全國初中數學聯賽
2008年4月13日上午8：30—9：30
一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）
1、設a 2 + 1 = 3 a，b 2 + 1 = 3 b，且a ≠ b，則代數式 + 的值為（ ）
（A）5 （B）7 （C）9 （D）11
2、如圖，設AD，BE，CF為△ABC的三條高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，則線段BE的長為（ ）
（A） （B）4 （C） （D）
3、從分別寫有數字1，2，3，4，5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數字作為十位數字，第二張卡片上的數字作為個位數字，組成一個兩位數，則所組成的數是3的倍數的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、在△ABC中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM和CN分別是這兩個角的外角平分線，且點M，N分別在直線AC和直線AB上，則（ ）
（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小關系不確定
5、現有價格相同的5種不同商品，從今天開始每天分別降價10％或20％，若干天後，這5種商品的價格互不相同，設最高價格和最低價格的比值為r，則r的最小值為（ ）
（A）( ) 3 （B）( ) 4 （C）( ) 5 （D）
6、已知實數x，y滿足( x – ) ( y – ) = 2008，
則3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值為（ ）
（A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1
二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）
1、設a = ，則 = 。
2、如圖，正方形ABCD的邊長為1，M，N為BD所在直線上的兩點，且AM = ，∠MAN = 135°，則四邊形AMCN的面積為 。
3、已知二次函數y = x 2 + a x + b的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標分別為m，n，且| m | + | n | ≤ 1。設滿足上述要求的b的最大值和最小值分別為p，q，則| p | + | q | = 。
4、依次將正整數1，2，3，…的平方數排成一串：149162536496481100121144…，排在第1個位置的數字是1，排在第5個位置的數字是6，排在第10個位置的數字是4，排在第2008個位置的數字是 。
答案： B、D、C、B、B、D；– 2、 、 、1。

2003年全國初中數學聯賽
一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）
1. 2√(3-2√2) + √(17-12√2) 等於
A.5-4√2 B.4√2-1 C.5 D.1
2.在凸10邊形的所有內角中，銳角的個數最多是
A.0 B.1 C.3 D.5
3.若函數 y = kx (k＞0) 與函數 y = 1/x 的圖象相交於A，C兩點，AB垂直x軸於B，則△ABC的面積為
A.1 B.2 C.k D.k2
4.滿足等式 x√y + y√x - √(2003x) - √(2003y) + √(2003xy) = 2003 的正整數對的個數是
A.1 B.2 C.3 D.4
5.設△ABC的面積為1，D是邊AB上一點，且 AD/AB = 1/3．若在邊AC上取一點E，使四邊形DECB的面積為 3/4，則 CE/EA 的值為
A. 1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5
6.如圖，在平行四邊形ABCD中，過A，B，C三點的圓交AD於E，且與CD相切．若AB=4，BE=5，則DE的長為
A.3 B.4 C.15/4 D.16/5
二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）
1.拋物線 y = ax2 +bx +c 與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C．若△ABC是直角三角形，則ac=__________．
2.設 m 是整數，且方程 3x2 + mx - 2 = 0 的兩根都大於 -9/5 而小於 3/7，則 m = ____________．
3.如圖 AA'，BB'，分別是∠EAB，∠DBC的平分線．若 AA' = BB' = AB，則∠BAC的度數為_____________．
4.已知正整數a，b之差為120，它們的最小公倍數是其最大公約數的105倍，那麼a，b中較大的數是_________．
2007年全國初中數學聯賽
第一試
一、選擇題(每小題7分，共42分)
1．已知 滿足 則 的值為( )．
(A)1 (B) (C) (D)
2．當 分別取值 2，…，2006，2007時，計算代數式 的值，將所得的結果相加，其和等於( )．
(A)-1 (B)l (C)0 (D)2007
3．設 是 的三邊長，二次函數 在 時取最小值 ．則△ABC是( )．
(A)等腰三角形 (B)銳角三角形
(C)鈍角三角形 (D)直角三角形
4．已知銳角△ABC的頂點A到垂心H的距離等於它的外接圓的半徑．則∠A的度數是( )．
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
5．設K是△ABC內任意一點，△KAB、△KBC、△KCA的重心分別為D、E、F．則S△DEF：S△ABC的值為( )．
(A) (B) (C) (D)
6．袋中裝有5個紅球、6個黑球、7個白球．現從袋中摸出15個球，摸出的球中恰好有3個紅球的概率是( )．
(A) (B) (C) (D)

二、填空題(每小題7分，共28分)
1．設 ， 是 的小數部分， 是 的小數部分．則 .
2．對於一切不小於2的自然數 ，關於 的一元二次方程 的兩個根記作 ．則
= .
3．已知直角梯形ABCD的四條邊長分別為AB=2，BC=CD=10，AD=6，過B、D兩點作圓，與BA的延長線交於點E，與CB的延長線交於點F．則BE-BF的值為 。
4．若 和 均為四位數，且均為完全平方數，則整數 的值為 。
第二試
A卷
一、(20分)設 為正整數，且 如果對一切實數 ，二次函數
的圖像與 軸的兩個交點間的距離不小於 ，求 的值．

二、(25分)如圖l，四邊形ABCD是梯形，點E是上底邊AD上一點，CE的延長線與BA的延長線交於點F．過點E作BA的平行線交CD的延長線於點M，BM與AD交於點N．證明：∠AFN=∠DME．

三、(25分)已知 是正整數．如果關於 的方程 的根都是整數，求 的值及方程的整數根．
B卷
一、(20分)設 為正整數，且 二次函數 的圖像與 軸的兩個交點間的距離為 ，二次函數 的圖像與 軸的兩個交點間的距離為 ．如果 對一切實數 恆成立，求 的值。
二、(25分)同A卷第二題．
三、(25分)設 是正整數，二次函數 反比例函數 ．如果兩個函數的圖像的交點都是整點(橫、縱坐標都是整數的點)，求 的值．
C卷
一、(20分)同B卷第一題．
二、(25分)同A卷第二題．
三、(25分)設 是正整數．如果二次函數 和反比例函數 的圖像有公共整點(橫、縱坐標都是整數的點)，求 的值和對應的公共整點．
2006年全國初中數學聯賽
第一試
一、選擇題(每小題7分，共42分)
1．已知四邊形ABCD為任意凸四邊形，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點用S、p分別表示四邊形ABCD的面積和周長；S1、p1，分別表示四邊形EFGH的面積和周長．設 ．則下面關於 的說法中，正確的是( )．
(A) 均為常值 (B) 為常值， 不為常值
(C) 不為常值， 為常值 (D) 均不為常值
2．已知 為實數，且 是關於 的方程 的兩根．則 的值為( )．
(A) (B) (C) (D)1
3．關於 的方程 僅有兩個不同的實根．則實數 的取值范圍是( )．
(A)a＞0 (B)a≥4 (C)2＜a＜4 (D)0＜a＜4
4．設 則實數 的大小關系是( )．
(A) (B) (C) (D)
5． 為有理數，且滿足等式 ,則 的值為( )．
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
6．將滿足條件「至少出現一個數字0且是4的倍數的正整數」從小到大排成一列數：20，40，60，80，100，104，…．則這列數中的第158個數為( )．
(A)2000 (B)2004 (C)2008 (D)2012
二、填空題(每小題7分，共28分)
1．函數 的圖像與 軸交點的橫坐標之和等於 ．
2．在等腰 中，AC=BC=1，M是BC的中點，CE⊥AM於點E，交AB於點F，則S△MBF= 。
3．使 取最小值的實數 的值為 ．
4．在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點坐標分別為O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC內部(邊界及頂點除外)一格點P滿足 。
就稱格點P為「好點」．則正方形OABC內部好點的個數為 ．
註：所謂格點，是指在平面直角坐標系中橫、縱坐標均為整數的點．
第二試
A卷
一、(20分)已知關於 的一元二次方程 無相異兩實根．則滿足條件的有序正整數組 有多少組?
二、(25分)如圖l，D為等腰△ABC底邊BC的中點，E、F分別為AC及其延長線上的點．已知∠EDF=90°．ED=DF=1，AD=5．求線段BC的長．

三、(25分)如圖2，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分別與BC、DC的延長線交於點E、F，點O、O1分別為△CEF、△ABE的外心．求證：
(1)O、E、O1三點共線；
(2)
B卷
一、(20分)同A卷第一題．
二、(25分)同A卷第二題．
三、(25分)如圖2，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分別與BC、DC的延長線交於點E、F，點O、O1分別為△CEF、△ABE的外心．
(1)求證：O、E、01三點共線；
(2)若 求 的度數．
C卷
一、(20分)同A卷第二題．
二、(25分)同B卷第三題．
三、(25分)設 為正整數，且 ．在平面直角坐標系中，點 和點 的連線段通過 個格點 ．證明：
(1)若 為質數，則在原點O(0，0)與點 的連線段 上除端點外無其他格點；
(2)若在原點O(0，0)與點 的連線段 上除端點外無其他格點，則p為質數．
回答者： mian500 - 助理 二級 4-4 17:37
2001年全國初中數學聯賽第一試
一、選擇題（每小題7分，共42分）
1、a，b，c為有理數，且等式 a + b√2 + c√3 = √(5 + 2√6) 成立，則 2a + 999b + 1001c 的值是（ ）
（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）不能確定
2、若ab≠1，且有 5a2 + 2001a + 9 = 0及 9b2 + 2001b + 5 = 0，則 a/b 的值是（ ）
（A）9/5 （B）5/9 （C）-2001/5 （D）-2001/9
3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，則AC的長為（ ）
（A）2 + √3 （B）2 - √3 （C）3/10 （D）√3 - √2
4、在△ABC中，D是邊AC上的一點，下面四種情況中，△ABD∽△ACB不一定成立的情況是（ ）
（A）AD·BC = AB·BD （B）AB2 = AD·AC （C）∠ABD = ∠ACB （D）AB·BC = AC·BD
5、①在實數范圍內，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根為 x = -b/2a ± √(b2-4ac)/2a；②在△ABC中，若 AC2 + BC2 ＞ AB2，則△ABC是銳角三角形；③在△ABC和△A'B'C'中，a，b，c分別為△ABC的三邊，分別為的三邊，若a＞a'，b＞b'，c＞c'，則△ABC的面積S大於△A'B'C'的面積S'。以上三個命題中，假命題的個數是（ ）
（A）0（B）1（C）2（D）3
6、某商場對顧客實行優惠，規定：①如一次購物不超過200元，則不予折扣；②如一次購物超過200元但不超過500元的，按標價給予九折優惠；③如一次購物超過500元的，其中500元按第②條給予優惠，超過500元的部分則給予八折優惠。某人兩次去購物，分別付款168元和423元；如果他只去一次購物同樣的商品，則應付款是（ ）
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8
二、填空題（每小題7分，共28分）
1、已知點P在直角坐標系中的坐標為（0，1），O為坐標原點，∠QPO=1500，且P到Q的距離為2，則Q的坐標為______。
2、已知半徑分別為1和2的兩個圓外切於點P，則點P到兩圓外公切線的距離為 ______ 。
3、已知x,y是正整數，並且xy+x+y=23 則x2+y2= ______ 。（非原題）
4、一個正整數，若分別加上100和168，則可得到兩個完全平方數，這個正整數為 _______ 。

2008年全國初中數學聯賽
2008年4月13日上午8：30—9：30
一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）
1、設a 2 + 1 = 3 a，b 2 + 1 = 3 b，且a ≠ b，則代數式 + 的值為（ ）
（A）5 （B）7 （C）9 （D）11
2、如圖，設AD，BE，CF為△ABC的三條高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，則線段BE的長為（ ）
（A） （B）4 （C） （D）
3、從分別寫有數字1，2，3，4，5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數字作為十位數字，第二張卡片上的數字作為個位數字，組成一個兩位數，則所組成的數是3的倍數的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、在△ABC中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM和CN分別是這兩個角的外角平分線，且點M，N分別在直線AC和直線AB上，則（ ）
（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小關系不確定
5、現有價格相同的5種不同商品，從今天開始每天分別降價10％或20％，若干天後，這5種商品的價格互不相同，設最高價格和最低價格的比值為r，則r的最小值為（ ）
（A）( ) 3 （B）( ) 4 （C）( ) 5 （D）
6、已知實數x，y滿足( x – ) ( y – ) = 2008，
則3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值為（ ）
（A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1
二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）
1、設a = ，則 = 。
2、如圖，正方形ABCD的邊長為1，M，N為BD所在直線上的兩點，且AM = ，∠MAN = 135°，則四邊形AMCN的面積為 。
3、已知二次函數y = x 2 + a x + b的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標分別為m，n，且| m | + | n | ≤ 1。設滿足上述要求的b的最大值和最小值分別為p，q，則| p | + | q | = 。
4、依次將正整數1，2，3，…的平方數排成一串：149162536496481100121144…，排在第1個位置的數字是1，排在第5個位置的數字是6，排在第10個位置的數字是4，排在第2008個位置的數字是 。
答案： B、D、C、B、B、D；– 2、 、 、1。

2003年全國初中數學聯賽
一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）
1. 2√(3-2√2) + √(17-12√2) 等於
A.5-4√2 B.4√2-1 C.5 D.1
2.在凸10邊形的所有內角中，銳角的個數最多是
A.0 B.1 C.3 D.5
3.若函數 y = kx (k＞0) 與函數 y = 1/x 的圖象相交於A，C兩點，AB垂直x軸於B，則△ABC的面積為
A.1 B.2 C.k D.k2
4.滿足等式 x√y + y√x - √(2003x) - √(2003y) + √(2003xy) = 2003 的正整數對的個數是
A.1 B.2 C.3 D.4
5.設△ABC的面積為1，D是邊AB上一點，且 AD/AB = 1/3．若在邊AC上取一點E，使四邊形DECB的面積為 3/4，則 CE/EA 的值為
A. 1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5
6.如圖，在平行四邊形ABCD中，過A，B，C三點的圓交AD於E，且與CD相切．若AB=4，BE=5，則DE的長為
A.3 B.4 C.15/4 D.16/5
二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）
1.拋物線 y = ax2 +bx +c 與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C．若△ABC是直角三角形，則ac=__________．
2.設 m 是整數，且方程 3x2 + mx - 2 = 0 的兩根都大於 -9/5 而小於 3/7，則 m = ____________．
3.如圖 AA'，BB'，分別是∠EAB，∠DBC的平分線．若 AA' = BB' = AB，則∠BAC的度數為_____________．
4.已知正整數a，b之差為120，它們的最小公倍數是其最大公約數的105倍，那麼a，b中較大的數是_________．
2007年全國初中數學聯賽
第一試
一、選擇題(每小題7分，共42分)
1．已知 滿足 則 的值為( )．
(A)1 (B) (C) (D)
2．當 分別取值 2，…，2006，2007時，計算代數式 的值，將所得的結果相加，其和等於( )．
(A)-1 (B)l (C)0 (D)2007
3．設 是 的三邊長，二次函數 在 時取最小值 ．則△ABC是( )．
(A)等腰三角形 (B)銳角三角形
(C)鈍角三角形 (D)直角三角形
4．已知銳角△ABC的頂點A到垂心H的距離等於它的外接圓的半徑．則∠A的度數是( )．
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
5．設K是△ABC內任意一點，△KAB、△KBC、△KCA的重心分別為D、E、F．則S△DEF：S△ABC的值為( )．
(A) (B) (C) (D)
6．袋中裝有5個紅球、6個黑球、7個白球．現從袋中摸出15個球，摸出的球中恰好有3個紅球的概率是( )．
(A) (B) (C) (D)

二、填空題(每小題7分，共28分)
1．設 ， 是 的小數部分， 是 的小數部分．則 .
2．對於一切不小於2的自然數 ，關於 的一元二次方程 的兩個根記作 ．則
= .
3．已知直角梯形ABCD的四條邊長分別為AB=2，BC=CD=10，AD=6，過B、D兩點作圓，與BA的延長線交於點E，與CB的延長線交於點F．則BE-BF的值為 。
4．若 和 均為四位數，且均為完全平方數，則整數 的值為 。
第二試
A卷
一、(20分)設 為正整數，且 如果對一切實數 ，二次函數
的圖像與 軸的兩個交點間的距離不小於 ，求 的值．

二、(25分)如圖l，四邊形ABCD是梯形，點E是上底邊AD上一點，CE的延長線與BA的延長線交於點F．過點E作BA的平行線交CD的延長線於點M，BM與AD交於點N．證明：∠AFN=∠DME．

三、(25分)已知 是正整數．如果關於 的方程 的根都是整數，求 的值及方程的整數根．
B卷
一、(20分)設 為正整數，且 二次函數 的圖像與 軸的兩個交點間的距離為 ，二次函數 的圖像與 軸的兩個交點間的距離為 ．如果 對一切實數 恆成立，求 的值。
二、(25分)同A卷第二題．
三、(25分)設 是正整數，二次函數 反比例函數 ．如果兩個函數的圖像的交點都是整點(橫、縱坐標都是整數的點)，求 的值．
C卷
一、(20分)同B卷第一題．
二、(25分)同A卷第二題．
三、(25分)設 是正整數．如果二次函數 和反比例函數 的圖像有公共整點(橫、縱坐標都是整數的點)，求 的值和對應的公共整點．
2006年全國初中數學聯賽
第一試
一、選擇題(每小題7分，共42分)
1．已知四邊形ABCD為任意凸四邊形，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點用S、p分別表示四邊形ABCD的面積和周長；S1、p1，分別表示四邊形EFGH的面積和周長．設 ．則下面關於 的說法中，正確的是( )．
(A) 均為常值 (B) 為常值， 不為常值
(C) 不為常值， 為常值 (D) 均不為常值
2．已知 為實數，且 是關於 的方程 的兩根．則 的值為( )．
(A) (B) (C) (D)1
3．關於 的方程 僅有兩個不同的實根．則實數 的取值范圍是( )．
(A)a＞0 (B)a≥4 (C)2＜a＜4 (D)0＜a＜4
4．設 則實數 的大小關系是( )．
(A) (B) (C) (D)
5． 為有理數，且滿足等式 ,則 的值為( )．
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
6．將滿足條件「至少出現一個數字0且是4的倍數的正整數」從小到大排成一列數：20，40，60，80，100，104，…．則這列數中的第158個數為( )．
(A)2000 (B)2004 (C)2008 (D)2012
二、填空題(每小題7分，共28分)
1．函數 的圖像與 軸交點的橫坐標之和等於 ．
2．在等腰 中，AC=BC=1，M是BC的中點，CE⊥AM於點E，交AB於點F，則S△MBF= 。
3．使 取最小值的實數 的值為 ．
4．在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點坐標分別為O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC內部(邊界及頂點除外)一格點P滿足 。
就稱格點P為「好點」．則正方形OABC內部好點的個數為 ．
註：所謂格點，是指在平面直角坐標系中橫、縱坐標均為整數的點．
第二試
A卷
一、(20分)已知關於 的一元二次方程 無相異兩實根．則滿足條件的有序正整數組 有多少組?
二、(25分)如圖l，D為等腰△ABC底邊BC的中點，E、F分別為AC及其延長線上的點．已知∠EDF=90°．ED=DF=1，AD=5．求線段BC的長．

三、(25分)如圖2，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分別與BC、DC的延長線交於點E、F，點O、O1分別為△CEF、△ABE的外心．求證：
(1)O、E、O1三點共線；
(2)
B卷
一、(20分)同A卷第一題．
二、(25分)同A卷第二題．
三、(25分)如圖2，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分別與BC、DC的延長線交於點E、F，點O、O1分別為△CEF、△ABE的外心．
(1)求證：O、E、01三點共線；
(2)若 求 的度數．
C卷
一、(20分)同A卷第二題．
二、(25分)同B卷第三題．
三、(25分)設 為正整數，且 ．在平面直角坐標系中，點 和點 的連線段通過 個格點 ．證明：
(1)若 為質數，則在原點O(0，0)與點 的連線段 上除端點外無其他格點；
(2)若在原點O(0，0)與點 的連線段 上除端點外無其他格點，則p為質數．