高二數學競賽試題

1. 今天的創新杯數學競賽高二試題

創新杯數學競賽試題
一、選擇題(5』×10＝50』) 以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的字母填在下面的表格中。明陽教育
1．與30以內的奇質數的平均數
最接近的數是
A．12 B．13 C．14 D．15

2．把10個相同的小正方體按如圖所示的位置堆放，它的外表含有

若干個小正方形，如圖將圖中標有字母A的一個小正方體搬去，

這時外表含有的小正方形個數與搬動前相比

A．不增不減 B．減少1個

C．減少2個 n．減少3個

3．一部電視劇共8集，要在3天里播完，每天至少播一集，則安排

播出的方法共有________種。

A．21 B．22 C．23 D．24

4．甲、乙、丙三人出同樣多的錢買同樣的筆記本，最後甲、乙都比丙多得3本，甲、乙都給了丙2.4元，那麼每本筆記本的價格是________元．

A．0.8 B．1.2 C．2.4 D．4.8

5．用0，1，2，…，9這十個數字組成一個四位數，一個三位數，一個兩位數與一個一位數，每個數字只許用一次，使這四個數的和等於2007，則其中三位數的最小值是：C，1736+204+58+9=2007

A．201 B．203 C．204 D．205

6．有2007盞亮著的燈，各有一個拉線開關控制著，拉一下拉線開關燈會由亮變滅，再拉一下又由滅變亮，現按其順序將燈編號為1，2，…，2007，然後將編號為2的倍數的燈線都拉一下，再將編號為3的倍數的燈線都拉一下，最後將編號為5的倍數的燈線都拉一下，三次拉完後亮著的燈有_________盞．

A．1004 B．1002 C．1000 D．998

7．已知一個三位數的百位、十位和個位分別是a，b，c，而且a×b×c=a+b+c，那麼滿足上述條件的三位數的和為

A．1032 B，1132 C．1232 D．1332

8．某次數學考試共5道題，全班52人參加，共做對181題．已知每人至少做對1題；做對1道題的有7人，做對2道題的人和做對3道題的人一樣多，做對5道題的有6人，那麼做對4道題的人數是

A．29 B．31 C．33 D．35

9．一個三角形將平面分成2個部分，2個三角形最多將平面分成8個部分，…，那麼5個三角形最多能將平面分成的部分數是

A．62 B．92 C．512 D．1024

10．一條單線鐵路上有5個車站A，B，C，D，E，它們之間的路程如圖所示．兩輛火車同時從A，E兩站相對開出，從A站開出的每小時行60千米，從E站開出的每小時行50千米．由於單線鐵路上只有車站才鋪有停車的軌道，要使對面開來的列車通過，必須在車站停車，才能讓開行車軌道．那麼應安排在某個站相遇，才能使停車等候的時間最短．先到這一站的那一列火車至少需要停車的時間是

二、填空題(5』×12二60』)

11．觀察5*2＝5十55二60，7*4＝7+77+777+7777＝8638，推知9* 5的值是_111105_____•

12．如圖，將寬2米的一些汽車停在長度為30米的未劃停

車格的路邊，最好的情況下可停___15____部車，最差的情況下可停____8_____部車．

13.如圖，一個圓被四條半徑分成四個扇形，每個扇形的周長為7.14cm，那麼該圓的面積為______12.56_____cm2(圓周率π取3.14)．

14．按以下模式確定，在第n個正方形內應填人的數是(n+1)( n+2)( n+3)-3n-7_________________，其中，n是非零的自然數．

15．籃子里裝有不多於500個蘋果，如果每次二個，每次三個，每次四個，每次五個，每次六個地取出來，籃子中都剩下一個蘋果，而如果每次七個地取出，那麼沒有蘋果剩下，籃子中共有蘋果_____301_____個．

16．一個國家的居民不是騎士就是無賴，騎士不說謊，無賴永遠說謊．我們遇到該國居民A，B，C，A說：「如果C是騎士，那麼B是無賴．」C說：「A和我不同，一個是騎士，一個是無賴．」那麼這三個人中____B______是騎士，____AC____是無賴．

17．甲、乙兩人對同一個數做帶余數除法，甲將它除以8，乙將它除以9，現知甲所得的商數與乙所得的余數之和為13，那麼甲所得的余數是___4______•

明陽

18．如圖，以△ABC的兩條邊為邊長作兩個正方形BDEC和ACFG，已知S△ABC:S四邊形BDEC＝2:7，正方形BDEC和正方形 ACFG的邊長之比為3：5，那麼△CEF與整個圖形面積的最簡整數比是_____9：137______•

19．一個口袋中裝有3個一樣的球，3個球上分別寫有數字2，3和4．若第一次從袋子中取出一個球，記下球上的數字a，並將球放回袋中．第二次又從袋子中取出一個球，記下球上的數字b．然後算出它們的積．

則所有不同取球情況所得到的積的和是____53____

20．如圖，A，B是圓的一條直徑的兩端，小張在A點，小王在B點， 同時出發逆時針而行，第一周內，他們在C點相遇．在D點第二次相遇．已知C點離A點80米，D點離B點60米．則這個圓的周長是____360_____米．明陽教育

21．九個連續的自然數，它們都大於80，那麼其中質數至多有___4___個．

22．把從1開始的奇數1，3，5，…，排成一行並分組，使得第n組有n個數，即

(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，…

那麼2007位於第___45____組，是這一組的第___27___個數．

三、解答題(共40分)

23．(20分)如圖，A，B兩地相距1500米，實線表示甲上午8時由A地出發往B地行走，到達B地後稍作休息，又從B地出發返回A地的步行情況；又虛線表示乙上午8時從B地出發向A地行走，到了A地，立即返回B地的步行情況．

(1)觀察此圖，解下列問題：

①甲在B地休息了多長時間?算一算，休息前、後步行的速度各是多少?15分，75、75

②乙從B地到A地，又從A地到B地的步行速度各是多少?50、50

(2)甲、乙二人在途中相遇兩次，結合圖形、算一算，第一次，第二次相遇的時刻各是幾點幾分?8：12，8：45
24．(20分)
如上圖，將2008個方格排成一行，在最左邊的方格中放有一枚棋子，甲、乙二人交替地移動這枚棋子，甲先乙後，每人每次可將棋子向右移動若干格，但移動的格數不能是合數，將棋子移到最右邊格子的人獲勝．

(1)按每人每次移動的格子數分類，有哪4類走法?

共以下4類走法：1、兩人移動的棋子格數為即不是質數，也不是合數的數字：1

2、個位數字為2的質數：2

3、個位數字為5的質數：5

4、個位數字為1、3、7、9的質數。

也有老師認為這樣分：奇奇、奇偶，偶偶，偶奇。即指兩人拿的奇偶性來分。但是我認為這樣分的話，和下面「對於乙的四類走法」這句問話想矛盾。

請大家發表自己的看法，你們是怎麼分的呢？

(2)如果甲第1次走了3格，對於乙的四類走法，甲應分別採取怎樣的對策才能保證自己(甲)一定獲勝?並簡單說明，為什麼採取這樣的對策，甲一定獲勝?

甲第一次移了3格後，剩下2004。現在輪到乙移。乙移動後又該輪到甲。也就是說甲總是最後移。所以甲要想獲勝，他倒數每二次拿後一定要留下至少4個，這樣乙才不能拿完。這樣甲就必勝。

當乙拿1個時，甲就拿3個，或者其他和1加起來是4的倍數的質數。這樣就會留下4的倍數個格子。最後甲必勝。

當乙拿2個，甲也拿2個。保證甲留的是4的倍數。

當乙拿5個及和其他質數也同樣的道理。只要甲每次在乙拿完後，再拿和乙加起來是4的倍數的數。這樣，最後總是甲勝。

2. 奧林匹克高中數學競賽歷屆二試題

《江雪》作者:柳宗元 千山鳥飛絕，萬徑人蹤滅。

3. iap高二數學競賽復賽的試題有沒有 明天就考試了

試題都是保密的，找不到的。而且IAP競賽以給學生出具學習評估報告見長，主要就是分析學生的各方面學習情況，就像醫生給病人看病一樣，如果提前真的找到了試題，那再去參加比賽還有什麼意義呢

4. 求：高中數學競賽試題及答案

人教論壇有

5. 歷屆高中數學競賽試題及答案

2011年全國高中數學聯賽江西省預賽
試 題

一、填空題（每小題10分，共 分）
、 是這樣的一個四位數，它的各位數字之和為 ；像這樣各位數字之和為 的四位數總共有 個．
、設數列 滿足: ,且對於其中任三個連續項 ,都有: .則通項 ．
、以拋物線 上的一點 為直角頂點，作拋物線的兩個內接直角三角形 與 ，則線段 與 的交點 的坐標為 ．
、設 ，則函數 的最大值是 ．
、 ．
、正三棱錐 的底面邊長為 ，側棱長為 ，過點 作與側棱 都相交的截面 ，那麼， 周長的最小值是 ．
、滿足 的一組正整數 ．
、用 表示正整數 的各位數字之和，則 ．
二、解答題（共 題，合計 分）
、（20分）、設 ，且滿足： ，求 的值．

、（ 分）如圖， 的內心為 ， 分別是
的中點， ，內切圓 分別與邊 相切於 ；證明： 三線共點．

、（ 分）在電腦屏幕上給出一個正 邊形，它的頂點分別被塗成黑、白兩色；某程序執行這樣的操作：每次可選中多邊形連續的 個頂點（其中 是小於 的一個固定的正整數），一按滑鼠鍵，將會使這 個頂點「黑白顛倒」，即黑點變白，而白點變黑；
、證明：如果 為奇數，則可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成白色，也可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成黑色；
、當 為偶數時，是否也能經過有限次這樣的操作，使得所有的頂點都變成一色？證明你的結論．

解 答

、 ．提示：這種四位數 的個數，就是不定方程 滿足條件 ， 的整解的個數；即 的非負整解個數，其中 ，易知這種解有 個，即總共有 個這樣的四位數．（註：也可直接列舉．）
、 ． 提示：由條件得，
，
所以
，
故 ，而 ；

；
於是
；
由此得
.

、 ．提示：設 ，則

，
直線 方程為
，
即 ，因為 ，則
，
即
，
代人方程得
，
於是點 在直線 上；
同理，若設 ，則 方程為
，
即點 也在直線 上，因此交點 的坐標為 ．
、 ．提示：由

所以，
，
即
，
當 ，即 時取得等號．
、 ．提示：

．
、 ．提示：作三棱錐側面展開圖，易知 ∥ ，且由周長最小，得 共線，於是等腰 ， ，
，
即 ， ，
，
所以 ，由 ，則
．
、 ．提示：由於 是 形狀的數，所以 必為奇數，而 為偶數， 設 ， ，代人得
，
即
. ①
而 為偶數，則 為奇數，設 ，則
，
由①得，
， ②
則 為奇數，且 中恰有一個是 的倍數，當 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為
，
即 ，於是 ；
若 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為 ，即 ，它無整解；
於是 是唯一解： ．
（另外，也可由 為偶數出發，使

為 的倍數，那麼 是 的倍數，故 是 形狀的偶數，依次取 ，檢驗相應的六個數即可．）

、 ．提示：添加自然數 ，這樣並不改變問題性質；先考慮由 到 這一千個數，將它們全部用三位數表示，得到集 ，易知對於每個 ，首位為 的「三位數」恰有 個： ，
這樣，所有三位數的首位數字和為
.
再將 中的每個數 的前兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合仍是 ，
又將 中的每個數 的首末兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合也是 ，由此知
．
今考慮四位數：在 中，首位（千位）上，共有一千個 ，而在
中，首位（千位）上，共有一千個 ，因此
；
其次，易算出， . 所以，
．
、由
，
即
，
平方得

所以

，
即
，
所以
．

、如圖，設 交於點 ，連 ，由於中位線 ∥ ，以及 平分 ，則 ，所以 ，因 ，得 共圓．所以 ；又注意 是 的內心，則
.
連 ，在 中，由於切線 ，所以
，
因此 三點共線，即有 三線共點．
、 證明：由於 為質數，而 ，則 ，據裴蜀定理，存在正整數 ，使
, ①
於是當 為奇數時，則①中的 一奇一偶．
如果 為偶數， 為奇數，則將①改寫成：
，
令 ，上式成為 ，其中 為奇數， 為偶數．
總之存在奇數 和偶數 ，使①式成立；據①，
, ②
現進行這樣的操作：選取一個點 ，自 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了奇數次（ 次），從而改變了顏色，而其餘所有頂點都改變了偶數次（ 次）狀態，其顏色不變；稱這樣的 次操作為「一輪操作」，由於每一輪操作恰好只改變一個點的顏色，因此，可以經過有限多輪這樣的操作，使所有黑點都變成白點，從而多邊形所有頂點都成為白色；也可以經過有限多輪這樣的操作，使所有白點都變成黑點，從而多邊形所有頂點都成為黑色．
、當 為偶數時，也可以經過有限多次這樣的操作，使得多邊形所有頂點都變成一色．具體說來，我們將有如下結論：
如果給定的正多邊形開初有奇數個黑點、偶數個白點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全黑，而不能變成全白；反之，如果給定的正多邊形開初有奇數個白點、偶數個黑點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全白，而不能變成全黑；
為此，採用賦值法：將白點改記為「 」，而黑點記為「 」，改變一次顏色，相當於將其賦值乘以 ，而改變 個點的顏色，即相當於乘了 個（偶數個） ，由於 ；
因此當多邊形所有頂點賦值之積為 ，即總共有奇數個黑點，偶數個白點時，每次操作後，其賦值之積仍為 ，因此無論操作多少次，都不能將全部頂點變白．
但此時可以變成全黑，這是由於，對於偶數 ，則①②中的 為奇數，設 是多邊形的兩個相鄰頂點，自點 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了偶數次（ 次），從而顏色不變，而其餘所有 個頂點都改變了奇數次（ 次）狀態，即都改變了顏色；再自點 開始，按同樣的方法操作 次後，點 的顏色不變，其餘所有 個頂點都改變了顏色；於是，經過上述 次操作後，多邊形恰有 兩個相鄰頂點都改變了顏色，其餘所有 個點的顏色不變．
現將這樣的 次操作合並，稱為「一輪操作」；每一輪操作，可以使黑白相鄰的兩點顏色互換，因此經過有限輪操作，總可使同色的點成為多邊形的連續頂點；
於是當多邊形開初總共有偶數個白點時，每一輪操作又可將相鄰兩個白點變成黑點，使得有限輪操作後，多邊形所有頂點都成為黑色．
同理得，如果給定的正多邊形開初總共有奇數個白點、偶數個黑點，經過有限次操作，可以使多邊形頂點變成全白，而不能變成全黑；（只需將黑點賦值為「 」，白點賦值為「 」，證法便完全相同）．

6. 高中數學競賽題

我曾經參加過全國高中數學競賽。初賽的題目比任何學校公開的數學考試的最後一題都難。建議你買一本高中數學競賽題看一下，上面有很多例子。初賽的題目目標是讓百分之五十的人題目意思都看不懂，讓百分之九十九的人根本無從下手如何解題。只讓百分之一的人能做出來。

7. 高中數學競賽題

這個不是很難，關鍵是我們只需考慮x大於0的情況，因為x小於零和x大於零是一樣的。

8. 河北省高二數學競賽試題

有數列的題，一些求通項公式的呀。有三角函數、集合、平面幾何、解析幾何、平面向量、空間幾何、空間向量、初等數論、排列組合等