2013北京高考數學

A. 求2013北京高考數學理科卷，帶有每道題的難度統計的數據。

1．答案：B
解析：{－1,0,1}∩{x|－1≤x＜1}＝{－1,0}．
2．答案：D
解析：∵(2－i)2＝3－4i，∴該復數對應的點位於第四象限，故選D.
3．答案：A
解析：∵φ＝π，∴y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，
∴曲線過坐標原點，故充分性成立；
∵y＝sin(2x＋φ)過原點，
∴sin φ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z.
故必要性不成立．故選A.
4．答案：C
解析：依次執行的循環為S＝1，i＝0；，i＝1；，i＝2.故選C.
5．答案：D
解析：依題意，f(x)向右平移1個單位之後得到的函數應為y＝e－x，於是f(x)相當於y＝e－x向左平移1個單位的結果，∴f(x)＝e－x－1，故選D.
6．答案：B
解析：由離心率為，可知c＝a，∴b＝a.
∴漸近線方程為，故選B.
7．答案：C
解析：由題意可知，l的方程為y＝1.
如圖，B點坐標為(2,1)，

∴所求面積S＝4－＝4－＝，故選C.
8．答案：C
解析：圖中陰影部分表示可行域，要求可行域內包含y＝x－1上的點，只需要可行域的邊界點(－m，m)在y＝x－1下方，也就是m＜m－1，即.故選C.

第二部分(非選擇題共110分)
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．
9．答案：1
解析：在極坐標系中，點對應直角坐標系中坐標為(，1)，直線ρsin θ＝2對應直角坐標系中的方程為y＝2，所以點到直線的距離為1.
10．答案：22n＋1－2
解析：由題意知.
由a2＋a4＝a2(1＋q2)＝a1q(1＋q2)＝20，
∴a1＝2.∴Sn＝＝2n＋1－2.
11．答案：4
解析：設PD＝9k，則DB＝16k(k＞0)．
由切割線定理可得，PA2＝PD·PB，
即32＝9k·25k，可得.
∴PD＝，PB＝5.
在Rt△APB中，AB＝＝4.
12．答案：96
解析：連號有4種情況，從4人中挑一人得到連號參觀券，其餘可以全排列，則不同的分法有4×＝96(種)．
13．答案：4
解析：可設a＝－i＋j，i，j為單位向量且i⊥j，
則b＝6i＋2j，c＝－i－3j.
由c＝λa＋μb＝(6μ－λ)i＋(λ＋2μ)j，
∴解得
∴.
14．答案：
解析：過E點作EE1垂直底面A1B1C1D1，交B1C1於點E1，
連接D1E1，過P點作PH垂直於底面A1B1C1D1，交D1E1於點H，
P點到直線CC1的距離就是C1H，

故當C1H垂直於D1E1時，P點到直線CC1距離最小，
此時，在Rt△D1C1E1中，C1H⊥D1E1，D1E1·C1H＝C1D1·C1E1，∴C1H＝.
三、解答題共6小題，共50分．解答應寫出文字說明，演算步驟．
15．解：(1)因為a＝3，，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得.
所以.故cos A＝.
(2)由(1)知，cos A＝，
所以sin A＝.
又因為∠B＝2∠A，
所以cos B＝2cos2A－1＝.
所以sin B＝.
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.
所以c＝＝5.
16．解：設Ai表示事件「此人於3月i日到達該市」(i＝1,2，…，13)．
根據題意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝(i≠j)．
(1)設B為事件「此人到達當日空氣重度污染」，則B＝A5∪A8.
所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
(2)由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2，且
P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列為：

X

0

1

2

P

故X的期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
(3)從3月5日開始連續三天的空氣質量指數方差最大．
17．解：(1)因為AA1C1C為正方形，所以AA1⊥AC.
因為平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直於這兩個平面的交線AC，所以AA1⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.
由題知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A－xyz，則B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．

設平面A1BC1的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令z＝3，則x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．
同理可得，平面B1BC1的法向量為m＝(3,4,0)．
所以cos〈n，m〉＝.
由題知二面角A1－BC1－B1為銳角，
所以二面角A1－BC1－B1的餘弦值為.
(3)設D(x，y，z)是直線BC1上一點，且＝λ，
所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．
解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.
所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
由·＝0，即9－25λ＝0，解得.
因為∈[0,1]，所以在線段BC1上存在點D，使得AD⊥A1B.
此時，.
18．解：(1)設，則.
所以f′(1)＝1.
所以L的方程為y＝x－1.
(2)令g(x)＝x－1－f(x)，則除切點之外，曲線C在直線L的下方等價於g(x)＞0(x＞0，x≠1)．
g(x)滿足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.
當0＜x＜1時，x2－1＜0，ln x＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)單調遞減；
當x＞1時，x2－1＞0，ln x＞0，所以g′(x)＞0，故g(x)單調遞增．
所以，g(x)＞g(1)＝0(x＞0，x≠1)．
所以除切點之外，曲線C在直線L的下方．
19．解：(1)橢圓W：＋y2＝1的右頂點B的坐標為(2,0)．
因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分．
所以可設A(1，m)，代入橢圓方程得＋m2＝1，即m＝.
所以菱形OABC的面積是|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.
(2)假設四邊形OABC為菱形．
因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，所以可設AC的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由消y並整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
設A(x1，y1)，C(x2，y2)，
則，.
所以AC的中點為M.
因為M為AC和OB的交點，所以直線OB的斜率為.
因為k·≠－1，所以AC與OB不垂直．
所以OABC不是菱形，與假設矛盾．
所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形．
20．解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.
(2)(充分性)因為{an}是公差為d的等差數列，且d≥0，
所以a1≤a2≤…≤an≤….
因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1,2,3，…)．
(必要性)因為dn＝－d≤0(n＝1,2,3，…)，
所以An＝Bn＋dn≤Bn.
又因為an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1.
於是，An＝an，Bn＝an＋1，
因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，
即{an}是公差為d的等差數列．
(3)因為a1＝2，d1＝1，
所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.
故對任意n≥1，an≥B1＝1.
假設{an}(n≥2)中存在大於2的項．
設m為滿足am＞2的最小正整數，
則m≥2，並且對任意1≤k＜m，ak≤2.
又因為a1＝2，所以Am－1＝2，且Am＝am＞2.
於是，Bm＝Am－dm＞2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2.
故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，與dm－1＝1矛盾．
所以對於任意n≥1，有an≤2，即非負整數列{an}的各項只能為1或2.
因為對任意n≥1，an≤2＝a1，
所以An＝2.
故Bn＝An－dn＝2－1＝1.
因此對於任意正整數n，存在m滿足m＞n，且am＝1，即數列{an}有無窮多項為1.
15題三角函數，可能一度有很多人覺著此題出的不好。但是個人卻還是很喜歡這種出題方式。
理由一：題目短小，數學一定是以簡單為美的學科。有的時候冗長的題干讀起來就不舒服，想心平氣和的往下做本身已經不是易事了，更何況做對？
理由二：解法簡單，很多時候我們的數學局限於看到題目後先想這是什麼題型，有些什麼方法去做。其實這樣的學生，往往數學沒法學的很好。而真正重要的所謂方法，就是會用定義：比如這道三角函數，第一問第二問都是很直接的用定義簡單求解。這其實是一個對於很多孩子學習數學有非常大的好處，不要拐彎抹角玩些「花花綠綠」的東西。真正數學好的人，絕不是會很多技巧會很多奇特方法，真正數學好的人，其實永遠是那些用最「老土」的方法就可以解答很多問題的人。比如定義，其實就是最最「老土」的解題思路。
理由三：嚴謹性。第二問有可能會有兩種結果。而在很多情況下，兩種結果，一般是一正一負，但是此題，兩個都是正的。似乎無法一眼就舍掉。那麼回頭檢驗時必須的步驟了。
數學是一邏輯、嚴謹著稱的學科，而很多時候，我們卻忽略的他的嚴謹性該如何落實。那麼這道題其實可以說是一個非常好的提醒。

16、17、18三道題很常規。
17題概率大題，幾乎就是考試說明的翻版：既有離散隨機變數分布，又有方差平均數的基本量計算。可以說這是很嚴格的按照考試說明來出題的，相信各位同學之前一定做出過很多相關訓練，應該不會有太大問題。
18題考察導數，考前，就大概估計到了導數會回歸基礎，不會很難，但是結果居然連分類討論都沒有考到，所以我並不覺得這種回歸基礎的題目是一個好題。
19題，一個看上去很新穎的陳年爛題。
其實各位同學仔細想一想，為什麼題目里反復出現菱形？因為對角線垂直平分啊！有了這個東西，是不是菱形很重要麼？
20題其實是最讓人失望的題目，三問的設置一改北京以往的半蒙半猜的出題風格，並沒有設置太大難度。從看題到解答，對於數學思維還不錯的同學來說，思路會非常清晰。絕對沒有以前的20題那種「雲里霧里」的感覺。這也許是一件好事情，但是作為一場選拔性考試，壓軸題以這樣的難度出現，確實有點失去了選拔的意味。

總的來說，整張試卷所謂穩中求變體現的一點也不充分，是有一些和常規不太一樣的地方，但是似乎都是往更簡單的方向變。
那麼其實可以這么理解：對於高中數學的考察，要回歸到最基礎的地方，考察數學最核心的定義和理論。而對於一些技巧性的東西，考察力度越來越小。
那麼其實這一點對於我們高二高一的孩子可能更有幫助。在今後學數學的過程中，一定要注意基礎知識的把控。

B. 今年北京市高考數學比2020試卷

1、為了順應未來的高考數學文理合卷的趨勢，預計2020年試卷文理同題的比例還會有所增加，復習中要對文理交匯處的知識點予以充分重視。從多種渠道了解今年的課程改革，關注對數學教學內容的調整，對於刪減內容從輕處理，體現新理念的部分要濃墨重彩。
2、是考查數學思維能力，減少繁雜的數學運算。從「解題」走向「解決問題」被認為是2019年高考數學的一大亮點，2020年應該會繼續秉承這個理念，多考如何去想，少考如何去算。
3、是加強數學應用能力、創新能力的考查。如何用所學的數學知識解決現實生產、生活中存在的問題，一直是數學學習的最高要求，高考試題中每年都會有專門的試題考查學生數學應用能力，在如今的大數據時代，整理數據，分析數據，進行決策和判斷是數學應用的大方向。

C. 北京高考數學理科最後一題通常是什麼題

大題最後一般是和數列結合的新知識題（臨時讓你學一個東西讓你理解並運用做題）
選擇和填空最後一題一般都是函數和解析幾何或立體幾何結合的創新題，根據已有圖片做出關系推論，在變中找不變

D. 2013年北京高考理科數學和英語試卷

數學和英語都貼在了這個文檔中。請查收。